1、共 8 页 第 1 页幂函数的性质与图像教学案例松江一中 陈克 2011-12-12一、 【教学内容分析】幂函数是在学生系统学习了函数概念与函数性质之后，全面掌握有理指数幂和根式的基础上来研究的一种特殊函数，从教材的整体安排看，学习幂函数是为了让学生进一步获得比较系统的函数知识及研究函数的方法，为今后学习其他函数打下良好的基础。对幂函数进行系统的理论研究，在研究过程中得出相应的结论固然重要，但更为重要的是，要让学生了解系统研究一类函数的方法。这节课要特别让学生去体会研究的方法，以便能将该方法迁移到对其他函数的研究中。二、 【学情分析】从学生思维特点来和认知结构看，学生在初中学过了一次函数、二次
2、函数、反比例函数，学生对抽象的幂函数及其图像有些感性认识，缺乏在理解理性的基础上来运用幂函数的性质。但只要从实际问题出发，使他们从感性认识提高到理性认识，多运用数形结合的方法解决问题，提高学生分析问题、解决问题的能力。三、 【教学目标】1、理解幂函数的意义，能通过几个有代表性的幂函数图象的求作、观察、分析、归纳体会幂函数图象变化规律及幂函数的性质，体会从特殊到一般的研究问题的数学方法并能进行简单应用。2、增强自我抽象概括和识图能力，运用性质解决问题时，进一步体会数形结合思想。形成竞赛机制，使学生认识到传统和现代技术在数学认知过程中的作用，从而激发学生的学习欲望，提高学生的学习能力，养成积极主动
3、，勇于探索，不断创新的学习习惯和品质。四、 【教学重点难点】【重点】幂函数的概念；幂函数的图像与性质。【难点】画具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律；幂函数的性质的应用。五、 【教法学法分析】教和学是不可分的。通过课前学案的创设疑问，学生对问题的共同探究，通过课堂教师的点拨，启发学生主动观察、思考、动手操作、合作和探究来达到对知识的发现和接受。逐步解决问题。采用引导发现式的教学方法，充分利用多媒体辅助教学。具体安排如下：共 8 页 第 2 页1、通过小组利用学案探究完成【探究一】及【探究二】2、通过课堂交流研讨展示成果，并及时地发现自己的不足，并能及时修正。3、让学生课前通过
4、传统画图探索图象的特征，部分学生课上利用用几何画板应用软件画函数图像的方法归纳出图象的特征和性质。并加以应用。六、 【教学过程】（一） 、复习 正分数指数幂，负分数指数幂的定义？，mna1mna（二） 、创设情景，引入新课（设计意图：建立模型，由特殊开始，又可加强定义域的标示）【问题 1】如果圣诞节卡片每张 1 元，买 张卡片需 元，那么 关于 的函数解析xyx式为 。Nxy,【问题 2】如果正方形的边长为 ，正方形的面积为 ，那么 关于 的函数解析式为 。0,【问题 3】如果正方体的边长为 ，正方体的体积为 ，那么 关于 的函数解析式xyx为 。,xy【问题 4】如果正方形场地面积为 ，正方
5、形的边长为 ，那么 关于 的函数解析式为 0,21xy【问题 5】如果某人 秒内骑车行进了 ，他骑车的速度 ，那么 关于 的函数km1yx解析式为 ,1xy以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？（三） 、新课讲解1、幂函数的概念（设计意图：由特殊到一般）你能根据以上的生活实例得到怎样的函数式？幂函数的定义：幂函数的概念：一般地，我们把形如： （ 是常数， ）kxyQk的函数称为幂函数，其中 是自变量；（即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函x数称为幂函数。 ）共 8 页 第 3 页概念理解练习：（设计意图：应用，强化巩固）【例 1】判断下列函数那
6、些是幂函数？（1 ） （2） （3） （4） （5）x.0y51y3xy21yx2xy（6 ） ， （7） （8）0x【例 2】已知幂函数 的图象过 ，试求出这个函数的解析式；()yf(2,)2、几个常见幂函数的图象和性质【探究一】 （设计意图：通过自主传统手工描点法画图探索图象的特征，鼓励合作探究学习 ，培养观察、概括能力）（1 ） 在初中我们已经学习了幂函数 的图象和性质，请同学们在同一12xy,xy坐标系中画出它们的大致图象。（2 ） 你能在上述坐标系内再画出函数的大致图象吗？ 213xy,情景一：各学习小组选派两名代表展示最清晰图像，互相比拼，各学习小组不记名选出最差图像，主要是 一段
7、聚到一起了，校正错误，1,0有竞争意识。A 同学说：我下次一定画的比 B 好。（3 ） 观察函数 的图象，将你发现的结论写在下表内。12132xy,xy,xy2321xy1xy定义域值域奇偶性单调性共 8 页 第 4 页图像所在象限情景二：由第一小组 C、D、 E、F 、G 完成，学生表述精准。（4 ） 根据上表的内容并结合图象，试总结幂函数的性质：（1）所有的幂函数在 上都有定义，并且图像都过点 ；(0,)1,(（2）如果 ，则幂函数的图像通过原点 ，并在区间 上是增函数；k )0,(0（3 ）如果 ，则幂函数在 上是减函数；在第一象限，图象向上与 轴无限接(,) y近，向右与 轴无限接近。
8、x情景三：由第二小组完成，其他小组完善。性质理解练习：（设计意图：简单应用）【例 3】比较下列各组数中两个值的大小（在横线上填上“” ）(1) _ (2) _214.213)8.0(39.0(3) _ 5.3、几个幂函数的图象和性质的探究（设计意图：（1）回归课本（2）性质应用，让学生亲身经历知识的发生发展过程，印象更加深刻。学生成果展示讲解，几何画板加强图示规范，进一步加深概念形式理解和性质应用。 ）【探究二】（1 ） 研究函数 的定义域、奇偶性和单调性，并作出其图像。 （P79，例 1）21xy情景四：由第三小组口答完成，规范解题过程，注意与下一题要求的区别（2 ） 求下列幂函数的定义域，
9、并指出其奇偶性、单调性，并作出其大致图像。（1 ） （2） （3） （4 ）3xy1xy23xy32xy情景五：由第四小组完成，这一组图像难度大，质量有差异，有两位画的很好，尤其是小 H 同学能充分利用奇偶性、单调性画图像，解释到位。当老师让 H 在几何画板中把指数输入后，图像出来后，同学们都兴奋起来。（此处课前学案不放） （3）幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在直线 的右侧，幂函数的图象幂指数按从 到 分布；1x（2）幂函数 的图象必过第 象限，必不过第 象限，有可能过第 ky共 8 页 第 5 页象限，具体看幂函数 的奇偶性。 是偶函数时，图象还在第 象限出现，kxykxy是奇函数
10、时，图象还在第 象限；也有可能既不是奇函数也不是偶函数，但不可能既是奇函数也是偶函数. 情景六：同学踊跃完成上述内容！ （此处课前学案不放）性质理解加深练习：思考题：如图中曲线是幂函数 在第一象限的图象，已知 取 ， 四个值，yx12则相应与曲线 、 、 、 的 值依次为（ ）1C234B， ， ，()A， ， ， B2， ， ， ()C11， ， ，D情景七：题目一出同学集体喊出： ！ B七、 【课堂小结】（设计意图：整理、归纳所学知识，完善学生的认知结构，明确本节学习内容）1、幂函数的概念。2、常见幂函数的性质：（1）所有的幂函数在 上都有定义，并且图像都过点 ；(0,)1,(（2）如果
11、，则幂函数的图像通过原点 ，并在区间 上是增函数；k )0,(0（3 ）如果 ，则幂函数在 上是减函数；在第一象限，图象向上与 轴无(,) y限接近，向右与 轴无限接近。x3、幂函数的图象在第一象限的分布规律：（1）在直线 的右侧，幂函数的图象幂指数按从 到 分布；1（2）幂函数 的图象必过第 象限，必不过第 象限，有可能过第 kxy象限，具体看幂函数 的奇偶性。 是偶函数时，图象还在第 象限出现，kxy是奇函数时，图象还在第 象限；也有可能既不是奇函数也不是偶函数，但不可能既是奇函数也是偶函数。共 8 页 第 6 页4、两个数学思想方法：分类讨论（对指数的讨论）和数形结合。5、本节作图用方法
12、是描点法，下节有变换法，对前者，要注意对函数性质的研究；对后者，要熟悉常见函数及图象的变换法则。情景八：1、2、3、4 框架学生顺利完成，5 教师提及。八、 【布置作业】见检测与反馈九、 【教学反思】这节课是幂函数的第一课时，主要教学目标是幂函数的概念和图像以及幂函数的性质。教和学是不可分的。本节通过课前学案的精心设计，完成了学生对问题的共同探究，通过课堂教师的点拨，启发学生主动观察、思考、动手操作、合作和探究来达到对知识的发现和接受，进而逐步解决问题。充分利用多媒体辅助教学。具体安排如下：1、通过小组利用学案探究，利用描点法画图探索图象的特征，鼓励合作探究学习 ，培养观察、概括能力，完成【探
13、究一】及【探究二】 。2、回归课本，通过课堂交流研讨展示成果，并及时地发现自己的不足，并能及时修正。3、让学生课前通过传统画图探索图象的特征，部分学生课上利用用几何画板应用软件画函数图像的方法归纳出图象的特征和性质，加强图示规范，进一步加深概念理解和性质应用。让学生在获得一定的感性认识的基础上，通过归纳、比较上升为理性认识，从而形成对概念与性质的完整认识。最后通过例题，让学生利用图像与性质，比较两个数的大小，从而提高学生获取知识的能力。通过师生、生生之间不断对话合作交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生的发散思维和严谨性。让学生在探究中解决问题。并整理、归纳所学知识，完善学生的认
14、知结构，明确本节学习内容。共 8 页 第 7 页附：检测与反馈 姓名 学号 一、选择题：1、下列函数中，是幂函数的是（ ）A、 B、 C、 D、x2y3x2yx1yx2y2、下列结论正确的是（ ）A、幂函数的图象一定过原点B、当 时，幂函数 是减函数0xyC、当 时，幂函数 是增函数D、函数 既是二次函数，也是幂函数2xy3、下列函数中，在 是增函数的是（ ）0,A、 B、 C、 D、3xy2xyx1y23xy4、已知 ，求 的取值范围125、函数 的值域是 （ ）2()yxA B C D0,(,1(0,),16、若 ，则 的取值范围是 （ ）12aaA B C Daa二、解答题:7、画出函数（1） （2） （3 ） （4） 的大致图象，并写4xy413xy53xy出函数的定义域，并指出它们的奇偶性、单调性。共 8 页 第 8 页8、已知 ，求 的取值范围。1133()(2)xx9、已知幂函数 （ ）的图象与 轴、 轴都无交点，且关于原点对23myxZxy称，求 的值。10、函数 在第二象限内单调递增，求 的最大负整数。21myxm同伴评 （优、良、中、须努力）共 8 页 第 9 页自 评 （优、良、中、须努力）教师评 （优、良、中、须努力）
