1、1复 数 的 综 合 复 习例 1 填空题：（1）若复数 所对应的点在第三象限内，则实数 的取值范围是 2(3)()ki k。（2）设 ，当 时， ；当22(4)(56)zmmi()RmzR时， ；当 时， 为纯虚数；当 时， 。CRz 0（3）满足 的实数 ，纯虚数 。|1|2zz（4）在复数集上，方程 的解集是 。210xx解（1）复数 所对应的点在第三象限2(3)()ki， 。20()32k或 (3,2)(,3)k（2） ；zR56m16m或；C20(,)(,)为纯虚数 ；z23456416或且 4m。020mm或或 1（3）当 时， ；zR|1|2z2z3z或当 为纯虚数时，设 ，则b
2、i(,0)R|1|1|2bi214b， 。33zi（4）原方程 221()()0xx21()()0xx或1()0或 ，2201xx或 xi132i2 原方程的解集为 。13,22iii例 2 单项选择题：（1）设复数 满足关系式 ，那么 的值为 （ ）z|ziz（ ） ； （ ） ； （ ） ； （ ） 。A34iB34C34iD34i（2）与命题“复数 、 、 不都为零”等价的命题是 （ ）1z23（ ） ； （ ） ；1230zB1230z（ ） ； （ ） 。C3|zD（3）把复数 对应的向量绕原点顺时针旋转 ，得到的向量所对应abi()R、 9的复数是 （ ）（ ） ； （ ） ； （
3、 ） ； （ ） 。AiBaiCabiDbai（4）虚数 、 互为共轭复数的充要条件是 （ ）1z2（ ） ； （ ） ；RB12zR（ ） ； （ ）以上都不对。C1212zz且 D解（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。DC例 3 已知 ，求复数 模的取值范围。25cos(in)(02)z解： ，2271| isi44z当 时， ；当 时， ， 。2sin0max1|z2inmin|z14|,z例 4 关于 的方程 有实数解，求复数 的模的最小值。2860i解：由方程的常数项非零知方程没有零根，设方程的非零实根为 ，则0x，20860xzi0086()zxi，222200011|()()
4、3zxxx3等号成立 ，201x40x201x01 。min|6z例 5 已知 ，求 在复平面中的对应点的轨迹。cos2zi()R解：设 ，则 ，消去参数 得xyi()、 2cos()s1xRy ，由 ，故 在复平面中的对应点的轨迹是抛物线的一部分，21yR1,z即， 。2yx1,例 6 已知 满足 ，求复数 在复平面内对应点 所围z12|log()zzCzz成区域的面积解： 12|log1()zz|1|20|z|1|25z， 。|5z2(5)1S例 7 已知平行四边形 的四个顶点按逆时针排列，其三个顶点 、 、 所ABCDABC对应的复数分别是 、 、 ，求1ii3（1）向量 、 对应的复数
5、；（2）点 对应的复数。解（1）记 ， ， ，它们在复平面上对应的向量分别为 ，AziBziCzO， 。由OBC向量 对应的复数是 ，(1)2)13BABziii向量 对应的复数是 ；BC53Cz（2）注意到 ，则由 向量 ，即点 对应ADODOD的复数是。(1)52)43DABCziii例 8 正三角形的一个顶点在原点，中心为 ，求正三角形另外两个顶点的坐标。(1,)P4解：由条件可得，正三角形另外两个顶点 、 关于直线 ： 对称，设ABOPyx交 于 ，记 、 、 在复平面上对应的复数分别为 、 、 ，OPABCOP0z1iCz由 分为： ，则2，21OCPz32Pzi由 、 关于点 对称
6、可设 ， ，则AB3(,)2C(,)Aab(,)B 又， ，则|3OP|3|P 26ab解、联立的方程组得： 或 ，因而正三角形另外两个顶点为：32b32b。33(,)(,)2和例 9 已知方程 。21)(0xititR（1）若方程有实根，求 的值与相应方程的根；t（2）若方程有纯虚数根，求 的值与相应方程的根。解（1）设方程的实根为 ，则原方程 ，2(3)(1)0xtxi2301xt21()3xt当 时，原方程 ，设方程的另一根为 ，由韦达定理得：12t2()()4ii； ，原方程的解集为 。i1i12t1,2i（2）设方程的纯虚数根为 ，则y(,0)R原方程 2()3)yiti2(3)(1
7、0ytyi5，当 时，2301yt13ytt原方程 ，设方程的另一根为 ，由韦达定理得：2()()xii； ，原方程的解集为 。1iy13t1,i例 10 方程 两根为 、 且 ，求实数 的2(4)02xm|7m值。解： 21()()81 当 ，即 时， ，0,R、22|(|)|2|(4)|m，则2106,(0)|4|, 8)m或，矛盾；或201679或；38|4|m或 0284m或 472 当 ，即 时， ， ，则0(,)CR、 ；2 1|2| 27m 2综合可得： 。74m或例 11 求同时满足下列两个条件的所有复数 ：z（1） 且 ；（2） 。0zR106zReIZ、解： ，10()zz
8、10()z若 ，则 ，由 与 同号得： ，不符合0zz |266条件（1） ，必有 ，则 或 ，0z10z1z|0z1z又， 且 。 或 ；2Re(,6Re(,32eZRe23由 或 ，22(Im)|(e)10()ezzzZ、 1ImzI1z 。3i或例 12 已知复数 、 满足 ，且 ，求 、 的值。1z212|z123zi1z2解： ， 设 ，由221233|()zi12abiz()R、121221|zzz|()|1aib2()1ab，123ab123zi123()ziz122()3ziz12()313izi21z，312()1z2zi2122()3ziz123()1izi12z；12()z123zi7综合可得： 。112233zzii或
