1、 复数的概率与运算一、知识网络二、高考考点1.虚数单位 的定义与 的方幂的周期性应用；2.复数的四则运算，特别是除法法则下“实化分母”的运算；3.复数的分类，重点是复数为实数的充要条件以及复数是纯虚数的充要条件 的应用；4.复数的几何意义：在复平面内复数对应点的位置的判定。三、知识要点（一）复数的概念为了解决解方程的过程中负数不能开方的问题，人们引入了一个新数 ，叫做虚数单位，并规定：（1）它的平方等于-1，即 ；（2）实数可以与它进行四则运算，并且进行四则运算时，原有的加，乘运算率仍然成立。1定义：（1）形如 a+bi(a，bR)的数，叫做复数，通常用字母 z 表示，即：z=a+bi(a，b
2、R)将复数表示成 a+bi(a，bR)形式，叫做复数的代数形式，其中 a 与 b 分别叫做复数 a+bi 的实部与虚部，全体复数构成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示。（2）分类：对于复数 z=a+bi(a，bR)，当 b=0 时，z=a 是实数；当 b0 时，z=a+bi叫做虚数；其中当 a =0 时且 b0 时，叫做纯虚数。复数 （3）相等如果两个复数的实部和虚部分别相等，则说这两个复数相等。即如果 a, b ,c d R，那么 a + bi=c+ di a=c, b=d特例：a + bi =0 a=0,b=0提醒：任意两个实数都可以比较大小，但对于任意两个复数只能说相等或不相等，而不能
3、比较大小，即如果所给两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小，而只能说相等或不相等。（4）几何意义注意到复数 z=a + bi (a，bR)与有序实数对（a, b）之间存在的一一对应关系，将复数 z=a + bi (a，bR)用点 Z（a, b）表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，其中，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。认知：在此规定之下，复数与点建立一一对应关系：Z（a, b）其中点 Z 是复数 z 的一个几何意义。实轴上的点都表示实数；除了原点之外，虚轴上的点表示纯虚数（但要注意：虚数上的长度单位是 1，而不是 ）。（二）复数的运算1复数的加法与减法（1）法则：两个复数相
4、加（减）就是把实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即：(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i.（2）运算律：复数的加法满足交换律与结合律，即对任何 2复数的乘法与除法（1）乘法乘法法则规定复数的乘法按照如下法则进行：设 即两个复数相乘，类似两个多项式相乘，但要注意的是要在所得结果中把换成 -1，并且把实部或虚部分别合并。运算律复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，即对任何（2）除法除法的定义：规定复数的除法是乘法的逆运算，即把满足或 操作程序两个复数相除，由于一般不能直接约分化简，因此使用的操作程序是1）将两个复数的商写成分式形式；2）将分子，分母都乘以分母的共轭复数以
5、“实化分母”；3）将上述所得结果化简整理。即 共轭复数1）定义：当两个复数的实部相等，而虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。复数 z 的共轭复数记作 ，即若 z=a+bi(a,bR), 则 =a-bi.特例：任一实数的共轭复数为自身： 2）性质：其一： 设 z=a+bi(a,bR)，则有 （此为除法运算时实数化分母的依据）；其二： （三）数系的扩充1数系的扩充过程 反序观察数系的扩充过程，便得到人们熟悉的数系表点评：数系表中实与虚，整与分，有理与无理，纯与非纯，这一组组对偶既相互对立，又相互联系和相互依存，充分展示了数学这一“辩证的辅助工具和表现形式”，为我们运用辩证思维解决数学问题
6、奠定了天然的基础。（四）复数集 C 中的实系数一元二次方程（1）求根公式对于实系数一元二次方程 ，当判别式 时，方程的求根公式为，即 （2）认知当 时，实系数一元二次方程的两个根为两个共轭虚数，即实系数一元二次方程的虚根成对。 对于 时的实系数一元二次方程，尽管求根公式有所变化，但韦达定理仍然适用。事实上，对于复系数一元二次方程， 失去判别作用，但韦达定理仍然适用。四、典例剖析1.【2010浙江】对任意复数 i,Rzxy， i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A. 2zy B. 22z C. 2zx D. zxy2.【2010全国卷 2 理数】复数 31i（ ）A. 34i B. 4i C.
7、 4i D.34i3.【2010陕西文数】复数 z= 在复平面上对应的点位于（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.【2010辽宁理数】设 a,b 为实数，若复数 1+2iab，则（ ）A. 31,2ab B. 3,1ab C. 3, D. ,3ab 5.【2010江西理数】已知（x+i） （1-i）=y，则实数 x，y 分别为（ ）A.x=-1，y=1 B. x=-1，y=2 C. x=1，y=1 D. x=1，y=26.【2010安徽文数】已知 21i，则 i( 3i)=（ ）A. 3i B. 3 C. D. 3i7.【2010浙江文数】设 i 为虚数单位，则 51
8、i（ ）A.-2-3i B.-2+3i C.2-3i D.2+3i8 【2010山东文数】已知 2,aibaR，其中 i为虚数单位，则 ab（ ）A. 1 B. 1 C. 2 D. 39.【2010北京文数】在复平面内，复数 6+5i, -2+3i 对应的点分别为 A,B.若 C 为线段AB 的中点，则点 C 对应的复数是（ ）A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i10.【2010四川理数】 i 是虚数单位，计算 i i2 i3（ ）A.1 B.1 C. D.11.【2010天津文数】i 是虚数单位，复数 1i=（ ）A.1+2i B.2+4i C.-1-2i D.2-i12 【
9、2010天津理数】i 是虚数单位，复数 32i（ ）A.1i B.55i C.-5-5i D.-1i 13.【2010广东理数】若复数 z1=1+i， z2=3-i，则 z1z2=（ ）A4+2i B. 2+i C. 2+2i D.314.【2010福建文数】 i是虚数单位, 4i()-等于 ( )Ai B-i C1 D-115.【2010全国卷 1 理数】复数 32i（ ）A.i B. i C.12-13i D. 12+13i16.【2010山东理数】已知 2(,)aib2aib（a,bR） ，其中 i 为虚数单位，则 a+b=（ ）A.-1 B.1 C.2 D.317.【2010安徽理数】
10、 i是虚数单位， 3i （ ）A. 1342iB. 142iC. 126iD. 1326i18.(2009 年广东卷文)下列 n 的取值中，使 ni=1(i 是虚数单位）的是 A.n=2 B .n=3 C .n=4 D .n=519. （ 2009 广 东 卷 理 ） 设 z是复数， ()az表示满足 1nz的最小正整数 n，则对虚数单位 i， ()aA. 8 B. 6 C. 4 D. 220.（ 2009 浙江卷理）设 1zi（ 是虚数单位） ，则 z ( )A 1i B C D 1i 21.（ 2009 浙江卷文）设 zi（ 是虚数单位） ，则 2z （ ）A i B 1 C i D 1i
11、 22.（ 2009 北京卷理）在复平面内，复数 (2)zi对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 23.(2009 山东理)复数 31i等于（ ）. A i21 B. 2i C. i D. 2i 24.(2009 山东卷文)复数 i等于（ ）. A i B.1 C. i D. i 25.（ 2009 全国卷理）已知 iZ =2+i,则复数 z=（ ） （A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i26.（ 2009 安徽卷理）i 是虚数单位，若 17(,)2iabiR，则乘积 ab的值是 （A）15 （B ）3 （C）3 （D）15 27.（200
12、9 安徽卷文）i 是虚数单位，i(1+i)等于A1+i B. -1-i C.1-i D. -1+i28.（ 2009 江西卷理）若复数 2(1)(zxi为纯虚数，则实数 x的值为A 1 B 0 C D 1或 29.(2009 湖北卷理)投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 m 和 n,则复数（m+ni）(n-mi)为实数的概率为A、 3 B、 4 C、 16 D、 2 30.（ 2009 全国卷理） 10i2-A. -2+4i B. C. +4i D. 2-4i31.（ 2009 辽宁卷理）已知复数 zi，那么 1z=32.（ 2009 宁夏海南卷理）复数 32ii（A）0 （B）2 （C ）
13、-2i (D)2 33.（ 2009 辽宁卷文）已知复数 1zi，那么 z（A） 5i （B） 52i （C） 125i （D） 125i34.（ 2009 天津卷文） i是虚数单位， i=A 21 B C 21 D i 35 .已知 z 是纯虚数, iz-是实数,那么 z 等于 （A）2i (B)i (C)-i (D)-2i 36.（ 2009 宁夏海南卷文）复数 32i（A） 1 （B） 1 （C） i (D) i37.（ 2009 天津卷理）i 是虚数单位， 5i=（A）1+2i （B）-1-2i （C）1-2i （D）-1+2i 38.（2009 四川卷理）复数2(1)34i的值是.
14、. . i . i39.（ 2009 重庆卷理）已知复数 z的实部为 1，虚部为 2，则 5iz=（ ）A 2i B i C 2iD i 40当实数 a 分别取何值时，复数 （1） 分别为实数，虚数，纯虚数，零；（2） 在复平面内的对应点位于第四象限。41已知 x 是实数，y 是纯虚数，且满足 ，求 x 与y。提醒：本例求解时易犯的错误：由已知等式得错误原因：未从本质上把握复数的代数形式。42已知复数 求 k 的值。43若方程 有实根，求实数 m 的值，并求出此实根。44.设复数 ，且 ，求实数 a，b 的值。点评：（1）条件求值或化简，是先代入再化简为上，还是先化简再代入更好？需 要在入手前
15、细细 斟酌，果断敲定；（2）在复数运算时，记住一些常用结论有益于提高运算效率.如等。复数测试题 （一）选择题（12*5=60 分）1.（2005全国卷 A）复数 =（ ）A. i B. i C. D. 2.（2005重庆卷） （ ）A. i B. i C. D. 3.（2005山东卷） （ ）A. i B. i C. 1 D. 14.（2005湖南卷）复数 的值是（ ）A. 1 B. 0 C. 1 D. i5.（2005湖北卷） （ ）A. 2-i B. 2+i C. 2-i D. 2+i6.（2005福建卷）复数 的共轭复数为（ ）A. B. C. 1-i D. 1+i7.（2005辽宁卷）
16、复数 ，在复平面内，z 所对应的点在（ ）A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.（2005浙江卷）在复平面内，复数 对应的点位于（ ）A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.（2005全国卷 B）设 a,b,c,dR，若 为实数，则（ ）A. B. C. D. 10.（2005天津卷）若复数 ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数 a 的值为（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 611.（2005江西卷）设复数 ，若 为实数，则 x=（ ）A. 2 B. 1 C. 1 D. 212.（2005广东卷）若 ，其中 ，则 （ ）A. 0 B. 2 C. D. 5（二）填空题（2*5=10 分）13.（2005北京卷）若 ，且 为纯虚数，则实数 a 的值 为 。14.（2005全国卷 C）已知复数 ，复数 z 满足 ，则 z= 。（三）解答题（15 题 10 分,16 题 20 分）15设 z 为纯虚数，且满足 ，求 z 16复数的运算（1）计算 （2）已知 ， ，求 （3）已知 ，求 的值；（4）已知 ，求 的值。
