1、1xBAyoFBAyoF抛物线中焦点弦的有关问题-新疆实验中学强少华一直以来，焦点弦都是圆锥曲线中的重要知识点，也是高考中的热点问题，针对“抛物线的几何性质”这节课，笔者认为，教师在讲完之后，可适当延伸一些有关“焦点弦”的问题：知识点 1：若 是过抛物线 的焦点 的弦。设AB02pxyF,1yx，则（1） ；（2） 2,yxB41px21证明：如图，（1）若 的斜率不存在时，A依题意 ,21px421x若 的斜率存在时，设为 则 ，与 联立，得B,k2:pkyABpxy2042222 xxpxk综上：.421.21p（2）接上， ，yx2,21,21421pyp但 2121,0pyy（2）另证
2、：设 与 联立，得:mxABpxy2212,py知识点 2：若 是过抛物线 的焦点 的弦。设0xyF,1yx，则（1） （2）设直线 的倾斜角为 ，则,yxB;1pxABAB。2sinpA证明：（1）由抛物线的定义知 ,2,1pxBFx12BAoyFBAoyFBAoyFK（2）若 由（1）知,2,901px则 2sinpAB若 联立，得xykyAB,:, 与设 0422222 pkxpxk，而 ，,221k2211kABtan22sintappAB知识点 3：若 是过抛物线 的焦点 的弦，则以 为直径的圆0xyFB与抛物线的准线相切。证明：过点 分别向抛物线的准线引垂线，垂足分别为BA、过 中
3、点 向准线引垂线，垂足为,1、 M,N设以 为直径的圆的半径为 ,r. 221rNMBAF以 为直径的圆与抛物线的准线相切。AB知识点 4：若 是过抛物线 的焦点 的弦。过点 分别向抛02pxyF、物线的准线引垂线，垂足分别为 则 。,1BA、 019证明略知识点 5：若 是过抛物线 的焦点 的弦，抛物线的准线与 轴AB02pxyFx相交于点 ，则K.KF证明：过点 分别作准线的垂线，垂足分别为、 .1A、11/BFAFBKA111,而3CFBAoyBAoyF，而BAK1BK10119KBA 1F知识点 6：若 是过抛物线 的焦点 的弦， 为抛物线的顶点，A02pxyFo连接 并延长交该抛物线
4、的准线于点 则O,C./OB证明：设 ，则,1yx2B11,: xpAB122112ypxyC由知识点 1 知 2y2ypCOFBC/逆定理：若 是过抛物线 的焦点 的弦，过点 作 交AB02x /抛物线准线于点 则 三点共线。,CO、证明略知识点 7：若 是过抛物线 的焦点 的弦，设02pxyF则,nBFmA.21p证法一：（1）若 轴，则 为通径，而xAB,2ppnm.21pn（2）若 与 轴不垂直，设 ， 的斜率为 ，则ABx,1yxA2BAk与 联立，得2:pkyly4BAoyF0422222 pkxkxpxk,221k.421p由抛物线的定义知 2,1pxBFnxAFmpn42121
5、1方法二：利用极坐标系下抛物线的方程 cosp设 则,AFx 1,cos12npmpncos1知识点 8：已知抛物线 中， 为其过焦点 的弦，02pxyABF则,BFmAnpSO42证明：设 则,AFxBOOBSSsin4sin2121mpp而 mnppmnp22si,i,cos1,cos1 .442nSAOB逆定理：已知抛物线 中， 为其弦且与 轴相交于点 ，若02pxyABxM5且 则弦 过焦点。,nBMmA,42nmpSAOBAB证明：设 ， ，则,1yx2,x0tM=BOMAOBSSsin21sisintt 而 ,sin,si21ymymy212i21i2121ytmnytnSAOB
6、而 422 pmpAB 21pt又可设 02:2taypxytal ty21由得 t恒过焦点AB0,2可配套练习：1过抛物线 的焦点 作一直线交抛物线于 两点，若 与 的长2axyFQP、 FQ度分别为 则 （ ）,qp、 nm1A B C Da2a24a42直线 经过抛物线 的焦点 ，且与抛物线交于 两点，由l0pxyFQP、分别向其准线引垂线 垂足分别为 如果 ， 为QP、 ,QSPR、 ,SR、 bFa,M的中点，则 （ ）RSMFA B C Dbaba21ab3直线 经过抛物线 的焦点 ，且与抛物线交于 两点，与其准线l 0pxyFBA、6相交于点 若 则此抛物线方程可能为（ ）,C,3,2AFBA B C D32xyxy929xyxy324经过抛物线 的焦点 作一直线与抛物线交于 两点， 为其准02p BA、 M线上任意一点，记 若 则 与 的., MFOAMF,大小关系为（ ）A B C D不确定5设 为抛物线 的顶点， 为其过焦点 的弦，若O02pxyPQ,aOF，求bPQ.PQS6以抛物线 的一条焦点弦 为直径的圆与准线相切于点 ，求2xyAB3,2此抛物线和圆的方程。当然，在高考中，直线与抛物线的位置关系不仅仅考查焦点弦问题，有关抛物线的切线形成的几何问题最近几年也一直是高考的热点，在学习导数之后，教师不妨再和学生一起来集中归纳总结，仅供读者参考。
