1、关于抛物线焦点弦的弦长公式在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介绍了开口向右时的焦点弦的长度计算问题：(1)已知：抛物线的方程为 ，过焦点 F 的弦 AB 交抛物线于 A B 两点，pxy2)0(且弦 AB 的倾斜角为 ，求弦 AB 的长。解：由题意可设直线 AB 的方程为 将其代入抛物线方程整理得：)(k2，且0)84(222 kxxptan设 A,B 两点的坐标为 则： ，),(,21ykxp221421xsi2212241| pAB当 时，斜率不存在， ，|AB|=2p.即为通径sin而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口
2、向右时的弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。现在我们来探讨这个问题。(2)已知：抛物线的方程为 ，过焦点的弦 AB 交抛物线于 A,B 两点，)0(2pyx直线 AB 倾斜角为 ，求弦 AB 的长。解：设 A,B 的坐标为 ，斜率为 k ，而焦点坐标为 ，),(,21 )tan()2,0(p故 AB 的方程为 ，将其代入抛物线的方程整理得：kxpy2从而 ，,02xpxpk2121,弦长为： )(cos)(2224| AB，即为通径。p|,1cos,0而 与（1）的结果一样， 与（2）的结果一样，但是（1）与pxy2pyx2（2）的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动
3、即可。现将改动陈述于下：（3）已知：抛物线的方程为 ，过焦点 F 的弦 AB 交抛物线于 A x2)0(，B 两点，且弦 AB 与抛物线的对称轴的夹角为 ，求弦 AB 的长。解：由题意可设直线 AB 的方程为 将其代入抛物线方程整理)2(pxky得：，0)84(22 xkp若倾斜角 ，则 ；tant,k若倾斜角 则 。,2)(设 A,B 两点的坐标为 ),(),21yx则： ，kxp2214)(sin)(ta2 44222 12(11|pABkp 而 ，故 ；sin)si(,)(si2|pAB当 时， ，|AB|=2p.即为通径。21in而 与（3）的结果一样pxy同理：（4）已知：抛物线的方
4、程为 ，过焦点的弦 AB 交抛物线于 A,B)0(2pyx两点，直线 AB 与抛物线的对称轴的夹角为 ，求弦 AB 的长。解：设 A,B 的坐标为 ，若倾斜角为 ，斜率为 k，),(,21则 ，而焦点坐标为 ，tank,0p故 AB 的方程为 ，将其代入抛物线的方程整理得：kxy2从而 ，,2xpkxpk2121,弦长为： )(cos)(2224| pAB当倾斜角 ，则 ； in)sco,当倾斜角 则,2 sin)2cos(, 所以 恒成立。)(sin|pAB当 时， ，|AB|=2p.即为通径。21而 与（4）的结果一样。pyx故只要直线 AB 与抛物线的对称轴的夹角为 ，那么不论抛物线的开口向上，向下，向左还是向右，过焦点的弦的弦长都可以用一个公式表示，即 。这个公)(sin2|pAB式包含了抛物线的四种开口形式，没有了因为开口不同而导致的公式不同，便于记忆，便于应用，是一个很好的弦长公式，这里推荐给大家使用。
