1、北 京 四 中 撰 稿：安东明 编 审：安东明 责 编：辛文升 本周重点：圆锥曲线的定义及应用 本周难点：圆锥曲线的综合应用 本周内容： 一、圆锥曲线的定义 1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：P| |PF 1|+|PF2|=2a, (2a|F1F2|)。 2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即P|PF 1|-|PF2|=2a, (2a1 时为双曲线。 二、圆锥曲线的方程。 1.椭圆： + =1（ab0）或 + =1（ab0）（其中，a 2=b2+c2） 2.双曲线： - =1
2、（a0, b0）或 - =1（a0, b0）（其中，c 2=a2+b2）3.抛物线：y 2=2px（p0），x 2=2py（p0）三、圆锥曲线的性质 1.椭圆： + =1（ab0） （1）范围：|x|a，|y|b（2）顶点：(a,0)，(0,b) （3）焦点：(c,0) （4）离心率：e= (0,1) （5）准线：x=2.双曲线： - =1（a0, b0） （1）范围：|x|a, yR （2）顶点：(a,0) （3）焦点：(c,0) （4）离心率：e= (1,+) （5）准线：x=（6）渐近线：y= x3.抛物线：y 2=2px(p0) （1）范围：x0, yR （2）顶点：（0,0） （3）
3、焦点：（ ,0） （4）离心率：e=1 （5）准线：x=-四、例题选讲： 例 1.椭圆短轴长为 2，长轴是短轴的 2 倍，则椭圆中心到准线的距离是_。 解：由题：2b=2，b=1，a=2，c= = ，则椭圆中心到准线的距离： = =。 注意：椭圆本身的性质（如焦距，中心到准线的距离，焦点到准线的距离等等）不受椭圆的位置的影响。 例 2.椭圆 + =1 的离心率 e= ，则 m=_。 解：（1）椭圆的焦点在 x 轴上，a 2=m，b 2=4，c 2=m-4，e 2= = = m=8。 （2）椭圆的焦点在 y 轴上，a 2=4，b 2=m，c 2=4-m，e 2= = = m=2。 注意：椭圆方程
4、的标准形式有两个，在没有确定的情况下，两种情况都要考虑，切不可凭主观丢掉一解。 例 3.如图：椭圆 + =1（ab0），F 1 为左焦点，A 、B 是两个顶点，P 为椭圆上一点，PF 1x 轴，且 PO/AB，求椭圆的离心率 e。 解：设椭圆的右焦点为 F2，由第一定义：|PF 1|+|PF2|=2a, PF 1x 轴， |PF 1|2+|F1F2|2=|PF2|2， 即(|PF 2|+|PF1|)(|PF2|-|PF1|)=4c2, |PF1|= 。 PO/AB， PF 1OBOA, = c=b a= c, e= = 。 又解， PF 1x 轴， 设 P(-c, y)。 由第二定义： =e
5、|PF1|=e(x0+ )= (-c+ )= , 由上解中 PF1OBOA，得到 b=c e= 。 例 4.已知 F1，F 2 为椭圆 + =1 的焦点，P 为椭圆上一点，且F 1PF2= ，求 F1PF2的面积。 分析：要求三角形的面积，可以直接利用三角形的面积公式，注意到椭圆中一些量之间的关系，我们选用面积公式 S= absinC。 解法一：S = |PF1|PF2|sin |PF 1|+|PF2|=2a=20，436=4c 2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos ，即(|PF 1|+|PF2|)2-3|PF1|PF2|=436，|PF 1|PF2|=
6、S = = 。 解法二：S = |F1F2|yP|= 12yP=6|yP|，由第二定义： =e |PF1|=a+exP=10+ xP，由第一定义：|PF 2|=2a-|PF1|=10- xP，4c 2=|F1F2|2=(10+ xP)2+(10- xP)2-2(10+ xP)(10- xP)cos ，144=100+ = ， =64(1- )=64 ，S =6|yP|=6 = 。 注意：两个定义联合运用解决问题。从三角形面积公式均可得到结果。初学时最好两种办法都试试。 例 5.椭圆 + =1 的焦点为 F1 和 F2，点 P 在椭圆上，若线段 PF1 的中点在 y 轴上，求：|PF1|，|PF
7、 2|。 分析：先要根据题意画出图形，然后根据已知量，将关于|PF 1|，|PF 2|的表达式写出来，再求解。 解：如图，O 为 F1F2 中点， PF1 中点在 y 轴上，PF 2/y 轴，PF 2x 轴， 由第一定义：|PF 1|+|PF2|=2a=4 ，|PF 1|2-|PF2|2=|F1F2|2， (|PF 1|-|PF2|)(|PF1|+|PF2|)=49=36，。 例 6.椭圆： + =1 内一点 A（2，2），F 1，F 2 为焦点，P 为椭圆上一点，求|PA|+|PF 1|的最值。 解：|PA|+|PF 1|=|PA|+2a-|PF2|=10+|PA|-|PF2|AF2|+10
8、=2 +10， |PA|+|PF 1|=|PA|+10-|PF2|=10-(|PF2|-|PA|)10-|AF2|=10-2 。 注意：利用几何图形的性质：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 例 7.已知：P 为双曲线 - =1（a0, b0）上一点，F 1，F 2 为焦点，A 1，A 2 为其顶点。求证：以 PF1 为直径的圆与以 A1，A 2 为直径的圆相切。 证明：不妨设 P 在双曲线的右支上，设 PF1 中点为 O , A1A2 中点为 O， |OO|= |PF2|，圆 O 半径为 |A1A2|，圆 O半径为|PF1| 由双曲线定义：|PF 1|-|PF2|=|A1A2|
9、|PF1|- |A1A2|= |PF2|=|OO| 两个圆相内切。 注意：可以自己证出 P 在左支时，两圆相外切。 例8.已知：过抛物线 y2=2px(p0)焦点 F 的直线与抛物线交于P，Q 两点。求证：以线段 PQ 为直径的圆与准线相切。 证明：由定义知，如图：|PP|=|PF|, |QQ |=|QF| |PQ|=|PP|+|QQ|， |PQ|= (|PP|+|QQ|)，故圆心到准线的距离等于圆的半径，即圆和准线相切。 五、课后练习1. 椭圆 + =1 上一点 P 与椭圆两焦点连线互相垂直，则 PF1F2 的面积为（ ） A、20 B、22 C、28 D、24 2. 若点 P(a,b)是双
10、曲线 x2-y2=1 右支上一点，且 P 到渐近线距离为 ，则 a+b=( ) A、- B、 C、-2 D、2 3. 焦点在直线 3x-4y-12=0 上的抛物线的标准方程是（ ） A、y 2=16x 或 x2=16y B、y 2=16x 或 x2=-16y C、x 2=-12y 或 y2=16x D、x 2=16y 或 y2=-12x 4. 已知：椭圆 + =1（ab0）上两点 P、Q，O 为原点，OPOQ ，求证：+ 为定值。 六、练习答案： 1. D 2. B 3. C 4. 设 P(|OP|cos, |OP|sin), Q(|OQ|cos(+90), |OQ|sin(+90)，利用两点距离公式及三角公式， + = 。
