1、与抛物线焦点弦有关的几个结论 在抛物线与直线的关系中，过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重要，这是因为在这一关系中具有一些很有用的性质，这些性质常常是高考命题的切入点 不妨设抛物线方程为 y22px(p0)，则焦点 ，准线 l 的方程： . 过焦点 F 的直线交抛物线于 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)两点，又作 AA1l , BB1l，垂足分别为A1、B 1. ABx 轴时， , , 此时弦 AB 叫抛物线的通径，它的长|AB|2p AB 与 x 轴不垂直也不平行时，设弦 AB 所在直线的斜率为 k(k0)，则方程为 (如图) 由方程组 消去 y，得 , 或消去 x, 得 . 结论
2、 1： (定值)， , 结论 2：y 1y2-p 2(定值) ， . 结论 3：弦长 . 结论 4：若此焦点弦 AB 被焦点 F 分成 m，n 两部分，则 为定值 事实上，若 ABx 轴，则 mnp， . 若 AB 与 x 轴不垂直，则 . . 结论 5：抛物线 y22px(p0)的焦点弦中通径最小 证法 1：设弦 AB 所在的直线方程为 . 由方程组 消去 x，得 y2-2pmy-p2=0. y 1+y2=2pm, y 1y2=-p2. 当且仅当 m0，即弦 AB 为抛物线的通径时，它的长度最小且为 2p 证法 2：设过焦点 F 的弦 AB 所在直线的倾斜角为 ，则 |AF|=|AA 1|=
3、p+|AF|cos , |BF|=|BB1|=p-|BF|cos , . , 当且仅当 =90时，即弦 AB 为抛物线的通径时，它的长度最小且为 2p 结论 6：以焦点弦 AB 为直径的圆与抛物线的准线 l 相切 (如图) 事实上，取弦 AB 的中点 C，作 CC1l，垂足为 C1. 则 . 这表明圆心 C 到准线 l 的距离等于半径，故以焦点弦 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 结论 7：以抛物线焦半径|AF|为直径的圆与 y 轴相切 事实上， . 设 AF 的中点为 D，则 ， D 到 y 轴的距离. 这表明圆心 D 到 y 轴的距离等于半径，故以抛物线焦半径 |AF|为直径的圆与 y 轴相切 结论 8：A 1FB 1F（如图） 事实上，设 ，则 ， 。 。 由结论 2 有 y1y2=-p2, , 即 A1FB 1F。 结论 9：若 M 为 A1B1 的中点，则 MFAB。 事实上，当 ABx 轴时，显然有 MFAB。 当 AB 与 x 轴不垂直时， 。 由结论 2，有 ， ， ，即 MFAB。 结论 10：在梯形 AA1B1B 中，两对角线 AB1 与 BA1 相交于点抛物线顶点 O。 事实上，当 ABx 轴时，此时易得 ，结论显然成立。 当 AB 与 x 轴不垂直时，设 、 ， 则 ， ， ， AB 1 经过原点 O。 同理 A1B 经过原点 O。
