1、复变函数期末模拟试题1复变函数模拟考试试题复变函数考试试题（一）一、 判断题（4x10=40 分）：1、若函数 f(z)在 z0 解析，则 f(z)在 z0 的某个邻域内可导。 （ ）2、有界整函数必在整个复平面为常数。 （ ）3、若函数 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续。),(),()yxivuzf( )4、cos z 与 sin z 在复平面内有界。 （ ）5、若 z0 是 的 m 阶零点，则 z0 是 1/ 的 m 阶极点。 （ ）)(f )(zf6、若 f(z)在 z0 处满足柯西-黎曼条件，则 f(z)在 z0 解析。 （ ）7、若 存在且有限，则 z
2、0 是函数的可去奇点。 （ ）li0z8、若 f(z)在单连通区域 D 内解析，则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有。 （ ）Cd9、若函数 f(z)是单连通区域 D 内的解析函数，则它在 D 内有任意阶导数。 （ ）10、若函数 f(z)在区域 D 内的解析，且在 D 内某个圆内恒为常数，则在区域 D内恒等于常数。 （ ）二、填空题（4x5=20 分）1、若 是单位圆周，n 是自然数，则 _。CCndz)(102、设 ，则iyxzyxixyzf ),sn(1)2() 2_。lim1z3、设 ，则 f(z)的定义域为_。1)(2zf4、 的收敛半径为_。0n5、 _。),(Resnz复变函数期
3、末模拟试题2三、计算题（8x5=40 分）：1、设 ，求 在 内的罗朗展式。)2(1)(zf )(zf 1|0:zD2、求 。 3|1| 41sinzz dide3、求函数 的幂级数展开式。)2i(34、求 在 内的罗朗展式。)(1zzf |z25、求 ，在|z|0，则 z0 是 的_零点。)(f7、若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是 D 内复变函数期末模拟试题6_。 、8、函数 的不解析点之集为_。|)(zf9、 _，其中 n 为自然数。0,Resnz10、公式 称为_.xiixsco三、计算题（8x5=40 分）：1、设 ，其中 ，试求Cdzzf173)(2
4、 3|:zC).1(if2、求 。 3|1| )4(2sinzzie3、设 ，求)(2zf .,Refs4、求函数 在 内的罗朗展式。ze1|05、求复数 的实部与虚部。w6、求 .21ii四、证明题（6+7+7=20 分）：1、设 是函数 f(z)的可去奇点且 ，试证：CAzfz)(lim。)li),(Refsz2、若整函数 f(z)将复平面映照为单位圆内部且 ，则 。0)(f )(0)Czf3、证明 方程在 内仅有 3 个根。03642|1z复变函数期末模拟试题7复变函数考试试题（四）一、判断题（3x10=30 分）：1、若函数 f(z)在 z0 解析，则 f(z)在 z0 的某个邻域内可
5、导。 （ ）2、如果 z0 是 f(z)的本性奇点，则 一定不存在。 （ ）0lim()zf3、若 存在且有限，则 z0 是 f(z)的可去奇点。 ( )lim0z4、若函数 f(z)在 z0 可导，则它在该点解析。 （ ）5、若数列 收敛，则 与 都收敛。 （ ）nRenzInz6、若 f(z)在区域 D 内解析，则|f(z)| 也在 D 内解析。 （ ）7、若幂级数的收敛半径大于 0，则其和函数必在收敛圆内解析。 （ ）8、存在整函数 f(z)将复平面映照为单位圆内部。 （ ）9、若函数 f(z)是区域 D 内的解析函数，且在 D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域 D 内恒等于常数
6、。 （ ）10、 。 （ ）)(1|sin|Cz二、填空题（2x10=20 分）1、函数 ez 的周期为 _。2、幂级数 的和函数为_。0n3、函数 ez 的周期为 _。4、设 ，则 的孤立奇点有_。21)(f)(zf的收敛半径为_。5、幂级数 的和函数为_。0nx6、若函数 f(z)在区域 D 内除去有限个极点之外处处解析，则称它是 D 内的_。复变函数期末模拟试题87、若 ，则 _。nzlimnzzn.li218、 _，其中 n 为自然数。)0,(Rens9、方程 在单位圆内的零点个数为_。08325z10、函数 的幂级数展开式为_。21)(f三、计算题（5x6=30 分）：1、 .)(9
7、2|zdzi2、求 .,Res2iz3、 .6limnni4、求函数 在 内的罗朗展式。ze1|05、求方程 在单位圆内零点的个数。142586、求 。nnil四、证明题（6+7+7=20 分）1、设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证：f(z)在 D 内为常数的充要条件是 在)(zfD 内解析。2、如果函数 在 上解析，且 ，则)(f1|:)1|(|)|zf。1|)(|zf3、设方程 证明：在开单位圆内根的个数为 5。04258z复变函数期末模拟试题9复变函数考试试题（五）一、判断题（3x10=30 分）：1、若函数 f(z)在 z0 解析，则 f(z)在 z0 连续。 （ ）2、若函数
8、f(z)在 z0 处满足 Cauchy-Riemann 条件，则 f(z)在 z0 解析。 （ ）3、若函数 f(z)在 z0 解析，则 f(z)在 z0 处满足 Cauchy-Riemann 条件。( )4、若函数 f(z)在是区域 D 内的单叶函数，则 。 （ ）)(Dzf5、若 f(z)在单连通区域 D 内解析，则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有。 （ ）0Cd6、若 f(z)在区域 D 内解析，则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有 。 （ 0)(dzf）7、若 ，则函数 f(z)在是 D 内的单叶函数。 （ ）)(0)zf8、若 z0 是 f(z)的 m 阶零点，则 z0 是 1/
9、f(z)的 m 阶极点。 （ ）9、如果函数 f(z)在 上解析，且 ，1|:D)1|(|zf则 。 （ ）)|(|z10、 。 （ ）)(1|sin|Cz二、填空题（2x10=20 分）1、若 ，则 _。nniz)(2nzlim2、设 ，则 的定义域为_。1)(2ff3、函数 sin z 的周期为_ 。4、 _。22cosin5、幂级数 的收敛半径为_。0nz复变函数期末模拟试题106、若 z0 是 f(z)的 m 阶零点且 m1，则 z0 是 的_零点。)(f7、若函数 f(z)在整个复平面处处解析，则称它是_。8、函数 f(z)=|z|的不解析点之集为_。9、方程 在单位圆内的零点个数为
10、_。0832510、公式 称为_。xieixsnco三、计算题（5x6=30 分）：1、 .62limnni2、设 ，其中 ，试求Cdzzf173)(2 3|:zC).1(if3、设 ，求2()zefR(),.sfi4、求函数 在 内的罗朗展式。63sinz|0z5、求复数 的实部与虚部。1w6、求 的值。ie3四、证明题（6+7+7=20 分）1、方程 在单位圆内的根的个数为 6。016937zz2、若函数 在区域 D 内解析， 等于常数，则 在),(),()yxivuf v(x,y)()fxD 内恒等于常数。3、若 z0 是 的 m 阶零点，则 z0 是 1/ 的 m 阶极点。)(f )(
11、zf复变函数期末模拟试题11复变函数考试试题（六）一、判断题（3x8=24 分）1、若函数 f(z)在 z0 解析，则 f(z)在 z0 的某个邻域内可导。 （ ）2、若函数 f(z)在 z0 处解析，则 f(z)在 z0 满足 Cauchy-Riemann 条件。 （ ）3、如果 z0 是 f(z)的可去奇点，则 一定存在且等于零。( )lim0z4、若函数 f(z)是区域 D 内的单叶函数，则 。 （ ）()Dzf5、若函数 f(z)是区域 D 内的解析函数，则它在 D 内有任意阶导数。 （ ）6、若函数 f(z)在区域 D 内的解析，且在 D 内某个圆内恒为常数，则在区域 D内恒等于常数
12、。 （ ）7、若 z0 是 f(z)的 m 阶零点，则 z0 是 1/ f(z)的 m 阶极点。 （ ）8、 。 （ ）1|sin|C二、填空题（2x10=20 分）1、若 ，则 _。1si()nnzilinz2、设 ，则 的定义域为_。2()fzf3、函数 的周期为_。ze4、 _。22cosin5、幂级数 的收敛半径为_。20nz6、若 z0 是 f(z)的 m 阶零点且 m1，则 z0 是 的_零点。)(f7、若函数 f(z)在整个复平面处处解析，则称它是_。8、函数 f(z)=|z|的不解析点之集为_。复变函数期末模拟试题129、方程 在单位圆内的零点个数为_。830z10、 _。),
13、(Resn三、计算题（5x6=30 分）1、求 .21ii2、设 ，其中 ，试求Cdzzf73)( 3|:zC).1(if3、设 ，求2()zefR(),0.sf4、求函数 在 内的罗朗展式。(1)z|2z5、求复数 的实部与虚部。zw6、利用留数定理计算积分： 20,(1).cosdxa四、证明题（6+7+7=20 分）1、方程 在单位圆内的根的个数为 7。7632491zz2、若函数 在区域 D 内解析， 等于常数，则),(),()yxivuf |()|fz在 D 内恒等于常数。()fz3、若 z0 是 的 m 阶零点，则 z0 是 1/ 的 m 阶极点。)(f )(zf五、计算题（10
14、分）求一个单叶函数，去将 z 平面上的上半单位圆盘 保形映射为:|1,I0zzw 平面的单位圆盘 。:|1w复变函数期末模拟试题13复变函数考试试题（七）一、 判断题（2x10=20 分）1、若函数 f(z)在 z0 可导，则 f(z)在 z0 解析。 （ ）2、若函数 f(z)在 z0 处满足 Cauchy-Riemann 条件，则 f(z)在 z0 解析。 （ ）3、如果 z0 是 f(z)的极点，则 一定存在且等于无穷大。( )lim0fz4、若 f(z)在单连通区域 D 内解析，则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有。 （ ）Cd5、若函数 f(z)在 z0 处解析，则它在该点的某个邻域
15、内可以展开为幂级数。 （ ）6、若 f(z)在单连通区域 D 内解析，则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有。 （ ）0Cd7、若函数 f(z)在区域 D 内的解析，且在 D 内某一条曲线上恒为常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数。 （ ）8、若 z0 是 f(z)的 m 阶零点，则 z0 是 1/ f(z)的 m 阶极点。 （ ）9、如果函数 f(z)在 上解析，且 ，则1|:)1|(|zf。 （ ）1|)(|zf10、 。 （ ）lize二、填空题（2x10=20 分）1、若 ，则 _。2sin(1)nzinzlim2、设 ，则 的定义域为_。()ifzf3、函数 sin z 的周期为
16、_ 。4、 _。22cosin复变函数期末模拟试题145、幂级数 的收敛半径为_。0nz6、若 z0 是 f(z)的 m 阶零点且 m1，则 z0 是 的_零点。)(f7、若函数 f(z)在整个复平面除去有限个极点外，处处解析，则称它是_。8、函数 的不解析点之集为_。9、方程 在单位圆内的零点个数为_。8320150zz10、 _。2Res(,)三、计算题（5x6=30 分）1、 .6limnni2、设 ，其中 ，试求Cdzzf173)(2 3|:zC).1(if3、设 ，求2()zefR(),.sfi4、求函数 在 内的罗朗展式。(1)z|2z5、求复数 的实部与虚部。zw6、利用留数定理
17、计算积分 。24109xdx四、证明题（6+7+7=20 分）1、方程 在单位圆内的根的个数为 6。6937zz2、若函数 在区域 D 内解析， 等于常数，则),(),()yxivuf ),(yxu在 D 内恒等于常数。()fz3、若 z0 是 的 m 阶零点，则 z0 是 1/ 的 m 阶极点。)(f )(zf五、计算题（10 分）求一个单叶函数，去将 z 平面上的带形区域 保形映射为 w 平面:I2z复变函数期末模拟试题15的单位圆盘 。:|1w复变函数考试试题（八）二、 判断题（4x10=40 分）：1、若函数 f(z)在 z0 解析，则 f(z)在 z0 的某个邻域内可导。 （ ）2、
18、如果 z0 是 f(z)的本性奇点，则 一定不存在。 （ ）)(lim0fz3、若函数 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续。),(,yxivu( )4、cos z 与 sin z 在复平面内有界。 （ ）5、若 z0 是 的 m 阶零点，则 z0 是 1/ 的 m 阶极点。 （ ）)(f )(zf6、若 f(z)在 z0 处满足柯西-黎曼条件，则 f(z)在 z0 解析。 （ ）7、若 存在且有限，则 z0 是函数的可去奇点。 （ ）li0z8、若 f(z)在单连通区域 D 内解析，则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有。 （ ）Cd9、若函数 f(z)是单连通区域
19、 D 内的解析函数，则它在 D 内有任意阶导数。 （ ）10、若函数 f(z)在区域 D 内的解析，且在 D 内某个圆内恒为常数，则在区域 D内恒等于常数。 （ ）二、填空题（4x5=20 分）1、函数 ez 的周期为 _。2、幂级数 的和函数为_。0n复变函数期末模拟试题163、设 ，则 f(z)的定义域为_。1)(2zf4、 的收敛半径为_。0n5、 _。),(Resnz三、计算题（8x5=40 分）：1、 .)(92|zdzi2、求 .,1Res23、 。nnii4 设 。求 ，使得 为解析函数，2(,)ln()uxyy),(yxv ),(),()yxivuzf且满足 。其中 （D 为复
20、平面内的区域） 。1fiz5、求 ，在|z|1 内根的个数04z复变函数期末模拟试题17复变函数考试试题（九）一、判断题。 （正确者在括号内打，错误者在括号内打，2 5=10 分）1当复数 时，其模为零，辐角也为零。 （ ）0z2若 是多项式 （ ）的根，则 也是01)( azaPnnn0z的根。 （ ）)(z3如果函数 为整函数，且存在实数 ，使得 ，则 为f Mzf)(Re)(zf一常数。 （ ）4设函数 与 在区域 D 内解析，且在 D 内的一小段弧上相等，)(1zf2f则对任意的 ，有 。 （ ）)(1zf2f5若 是函数 的可去奇点，则 。 （ ）z 0)(Rezfsz二、填空题（每
21、题 2 分）1 。_65432iii2设 ，且 ， ，当 时，0yxz zarg2arctn2xy0,yx。arctng3函数 将 平面上的曲线 变成 平面上的曲线zw11)(2yxw。_复变函数期末模拟试题184方程 的不同的根为 。)0(4az _5 。_)1(i6级数 的收敛半径为 。nnz0)1(2 _7 在 （n 为正整数）内零点的个数为 。zcos| _8函数 的零点 的阶数为 。)6(si6)(3zzf 0z_9设 为函数 的一阶极点，且 ，则a)(f 0)(,)(,)(aa。_)(Rezfsaz10设 为函数 的 m 阶极点，则 。f _)(Rezfsaz三、计算题。 （50
22、分）1设 。求 ，使得 为解析函数，)ln(21),(2yxyxu),(yxv ),(),()yxivuzf且满足 。其中 （D 为复平面内的区域） 。 （15 分）if z2求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶） 。 （10 分）（1） ； （5 分） （2） 。 （5 分）z2tan1ze3计算下列积分。 （15 分）（1） （8 分） ， （2） （7 分） 。dzz4| 34219)()( 02cos1d4叙述儒歇定理并讨论方程 在 内根的个数。 （10 分）5247|z四证明题。 （20 分）1设 是上半复平面内的解析函数，证明 是下半复平),(),()yxivuz
23、f )(zf面内的解析函数。 （10 分）复变函数期末模拟试题192设函数 在 内解析，令 。证明：)(zfR| )0(|,)|max)(| RrzfrMrz在区间 上是一个上升函数，且若存在 及 （ ） ，rM,0 1221使 ，则 常数。 （10 分）)()21r)(zf复变函数试卷( 十)一、填空题。(每题 2 分)1、设 ，则 。sin(corz_1z2、设函数 ， ， ，则 ),(),)yxvuf 0ivuA0iyxz的充要条件是 。Azz(lim0 _3、设函数 在单连通区域 内解析，则 在 内沿任意一条简单闭曲)fD)(zfD线 的积分 。C_(dzC4、设 为 的极点，则 。a
24、z)f _)(limzfaz5、设 ，则 是 的 阶零点。zfsin(06、设 ，则 在 的邻域内的泰勒展式为21)(fz。_7、设 ，其中 为正常数，则点 的轨迹曲线是 。baz| a, z_8、设 ，则 的三角表示式为 。6cossinz_复变函数期末模拟试题209、 。_cos40dz10、 设 ，则 在 处的留数为 。 2)(ef)(zf0_二、计算题。1、计算下列各题。(9 分)(1) ; (2) ; (3) icos32ln(ii32、求解方程 。(7 分)083z3、设 ，验证 是调和函数，并求解析函数 ，使之xyu2u ivuzf)(。(8 分)iif1)(4、计算积分。(10
25、 分)(1) ，其中 是沿 由原点到点 的曲线。Cdziyx(2C2xyiz1(2) 。积分路径为自原点沿虚轴到 ，再由 沿水平方向向i102) i右到 。i5、试将函数 分别在圆环域 和 内展开为洛)2(1)(zzf 1|0z2|z朗级数。(8 分)6、计算下列积分。(8 分) (1) ; (2) .dzz2| 2)1(5dzz4|2)1(sin7、计算积分 。(8 分)x48、求下列幂级数的收敛半径。(6 分)（1） （2）1nz nnz1!)(9、讨论 的可导性和解析性。(6 分)2|)(f三、 证明题。1、设函数 在区域 内解析， 为常数，证明 必为常数。(5 分)(zfD|)(|zf
26、 )(zf复变函数期末模拟试题212、试证明 的轨迹是一直线，其中 为复常数， 为实常数。(5 分)0bzaab复 变函数考试试卷 (十一)一、填空题。(每题 2 分)1、设 ，则 。sin(corz_nz2、设函数 ， ， ，则 ),(),)yxvuf 0ivuA0iyxz的充要条件是 。Azz(lim0 _3、设函数 在单连通区域 内解析，则 在 内沿任意一条简单闭曲)fD)(zfD线 的积分 。C_(dzC4、设 为 的可去奇点，则 为。az)f )(limzfaz5、设 ，则 是 的 阶零点。1(2zef 0_6、设 ，则 在 的邻域内的泰勒展式为2)(fz。_7、设 ，其中 为正常数
27、，则点 的轨迹曲线是 。baz| a, z_8、设 ，则 的三角表示式为 。cossinz_9、 。_1dzei复变函数期末模拟试题2210、设 ，则 在 处的留数为 。 zzf1sin)(2)(f0z_二、计算题。1、计算下列各题。(9 分)(1) ; (2) ; (3) 43(iLn61ie i1)(2 求解方程 。(7 分)02z3 设 ，验证 是调和函数，并求解析函数 ，使之yxu)1(u ivuzf)(。(8 分)if)4、计算积分 。积分路径为(1)自原点到 的直线段；(2) i dzixy102( i1自原点沿虚轴到 ，再由 沿水平方向向右到 。(10 分)i5、试求 在 的邻域内的泰勒展开式。(8 分)2)(zf16、计算下列积分。(8 分)(1) ; (2) .dzz2| 2)(sindzz4|2)3(7、计算积分 。(6 分) 20cos35d8、求下列幂级数的收敛半径。(6 分)（1） （2）nnzi0)( nnz12)!(9、设 为复平面上的解析函数，试确定 的值。)()323lxyixmyzf nml,(8 分)三、 证明题。1 设函数 在区域 内解析， 在区域 内也解析，证明 必为常数。)(zfD)(zfD)(zf(5 分)2 试证明 的轨迹是一直线，其中 为复常数， 为实常数。(5 分)0bzaab复变函数期末模拟试题23
