1、2018届湖北省荆州中学高三上学期第一次半月考数学（理）试题2017.9.14一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合 2,|146xyA， (,)|3xBy，则 AB的子集的个数是A 4 B3 C 2 D12设 1zi，则 z（ ）A. B. 2 C. 32 D. 23下列选项中，说法正确的是A.若 0ab，则 1122loglab B. 向量 (,)(,)m()mR共线的充要条件是 0mC. 命题“ *13nnN”的否定是“ *1,3(2)nnN” D. 已知函数 ()fx在区间 ,ab上的图象是连续不断的，则命题
2、“若 ()0fab，则 ()fx在区间(,)ab内至少有一个零点”的逆命题为假命题4. 已知实数 ,y满足 01xy，则下列关系式恒成立的是（ ）A. 221x B. 22lnly C. sinxy D. 3xy 5底面边长为 ，侧棱长为 36的正三棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ )A. 32 B. 4 C. 2 D. 43 6.函数34()1xf的图象大致是（ ）A B C. D 7. 在 BC 中， 4， 边上的高为 13C，则 cos=A（ ） A. 103 B. 10 C. 0 D. 108. 我国古代名著九章算术用“更相减损术”求两个正整数的最大 公约数是一个伟大创举
3、.这个伟大创举与我国古老的算法“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入 6102,6ab时，输出的 a（ ）A54 B9 C12 D189. 函数 sin0,2fx的最小正周期是 ，若其图象向右平移 6个单位后得到的函数为奇函数，则函数 fx的图象（ ）A关于点 ,012对称 B关于直线 12对称C关于点 ,6对称 D关于直线 6x对称10定义在 R 上的奇函数 ()fx满足 )(xff， )(2(ff， 1,0x时1(log)(243xf，则函数 |log3y的零点个数是（ ）A 2 B 4 C6 D 811以抛物线 C的顶点为圆心的圆交 于 A， B两点，交 的准
4、线于 , E两点.已知 |42AB, 25DE，则 的焦点到准线的距离为（ ）.A. 2 B. 4 C. 6 D.812. 已知 1()sincos(,)4fxxR，若 ()fx的任何一条对称轴与 x轴交点的横坐标都不属于区间 ,3，则 的取值范围是（ ）A. 1982 B. 53(,128 C. 71,28 D. 3917(,482二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分)13如图，一矩形靶 OABC由抛物线2yx分成区、区、区三个区域，现随机向该靶射击一次（假定每次射击不会 脱靶） ，则击中区的概率为 14设平面点集 0)1(|),(xyxA， 4|),(2yxB，则 B所表
5、示的平面图形的面积为 .15. 已知椭圆 C： )0(12bayax的右焦点为 (,0)Fc，圆 22:()Mxayc，双曲线以椭圆 C 的焦点为顶点，顶点为焦点，若双曲线的两条渐近线都与圆 相切，则椭圆C 的离心率为 .16.已知函数 0,123)(xexf，若 nm，且 )(nff，则 m的取值范围是 .三、解答题（本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 （本题满分 12 分）设 ABC 的内角 ,的对边分别为 ,abc，且 ()()cabc（）求 ；（）若 31sin4，求 C18.（本题满分 12 分） AO1yx2C 第 13 题图如图，三棱柱 1
6、-ABC中， 1160ACBAB， .（）证明： ；（）平面 平面 1， ，求直线1AC与平面 1B所成角的正弦值.19.（本题满分 12 分）在淘宝网上，某店铺专卖当地某种特产由以往的经验表明，不考虑其他因素，该特产每日的销售量y（单位：千克）与销售价格 x（单位：元/ 千克， 15x）：当 13x时满足关系式2(3)1bax， （ ,a为常数） ；当 3时满足关系式 7049y已知当销售价格为2 元/千克时，每日可售出该特产 700 千克；当销售价格为 3 元/ 千克时，每日可售出该特产 150 千克（）求 ,的值，并确定 y 关于 x 的函数解析式；（）若该特产的成本为 1 元/千克，试
7、确定销售价格 x 的值，使店铺每日销售该特产所获利润 ()fx最大 （x 精确到 0.01 元/千克） 20. (本题满分 12 分)点 ,yxM与定点 0,1(F的距离和它到直线 4:xl的距离的比是常数 21（）记点 的轨迹为曲线 C，求 的方程（写出详细的过程） ；（）过点 ,P的动直线与 C 交于 A，B 两点，设 O 为坐标原点，是否存在常数 ，使得7OAB？请说明理由21(本题满分 12 分)已知函数 2e1xfab，其中 ,abR， e2.718为自然对数的底数.C 1CBB1A1A（）设 gx是函数 fx的导函数，讨论 )(xg在 1,0上的单调性；（）设 12ln3)(eh，
8、证明：当 2e时， 0)(xh；（）若 10f，函数 fx在区间 ,内有零点，求 a的取值范围.22.（本题满分 10 分）已知函数 )(1)(log)(242Rxmxxf 是偶函数（）求常数 m的值，并写出函数 f的单调区间（不要求证明） ；（）若实数 a满足 )()(3logfa，求 a的取值范围 .高三练（1）数学（理科）参考答案一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）ABDDD ACDBC BC二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分）13 61 14 3 15 2 16 312ln,(三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明
9、过程或演算步骤）17.（1）因为 abcac，所以 22cbac.由余弦定理得221cosB，因此 0B. 6 分（2）由（1）知 60AC，所以 coscosACsinACcossin2in 13224，故 3或 3，因此 15或 4.12 分18 （1）证明：如图（1）所示，取 AB的中点 O，连接 C， 1A， B.因为 =C，所以 OCAB.由于 1， 160，故 1 为等边三角形，所以 .因为 ，所以 1OAC平 面 .又 11ACO平 面 ，故 1B.5 分（2）由（1）知 A， 1，又 1ABCB平 面 平 面 ，交线为 A，所以 1CB平 面 ，故 ,O两两相互垂直.以 O为坐
10、标原点，的方向为 x轴的正方向，为单位长，建立如图（2）所示的空间直角坐标系 xyz.由题设知 1,0,30,31,0ACB，图 2yxzABC A1C1B1O则 =1,03BC， 1,30BA， 13,AC，.设 nxyz是平面 C的法向量，则 1,0B即 ,30.zxy可取 3,1n故 110cos, 5ACn. 所以 1AC与平面 1所成角的正弦值为 05 .12 分19.（）解：（I）因为 x=2 时，y=700；x=3 时，y=150，所以15027ba解得 40,3ab每日的销售量2()(13)04935xxy； 4 分（II）由（I）知， 当 13x时：每日销售利润 230()4
11、0()(1)fxx240(3)10x3759（ ）()fx2(31)当 5,或 时 (0fx当 ()3x时 ， )单增；当 5(,3)x时 (0fx， ()f单减是函数 ()fx在 1,3上的唯一极大值点， 32470；9 分当 35x时：每日销售利润 ()7049)(1fxx= 270(8)x()fx在 4有最大值，且 (63f5f综上，销售价格 51.673x元/ 千克时，每日利润最大 12 分20.（1）推导过程略 点 M的轨迹方程为2143xy 5 分 （2）当过点 P的直线 AB的斜率存在时，设直线 AB的方程为 1ykx，设 AB、 两点的坐标分别为1,xy， 2,，联立得 143
12、ykx，化简 23480kx，所以 1228430xk恒 成 立， 6 分所以 12122()1OABPxyxy 211k228()814343k 22k243k， 所以当 时， 7OABP； 10 分当过点 P的直线 的斜率不存在时，直线即与 y轴重合，此时 0,3,AB， ，所以3(1)32AB ，所以当 2时， 7OABP；综上所述，当 2时， 7OABP 12 分21.（）由 2e1xfab，有 e2xgxfab.所以 xg.当 21a时， 0)(，所以 gx在 0,1上单调递增.当 e时， xg，所以 在 上单调递减.当 时，令 =，得 ln2,xa.所以函数 gx在区间 0,ln2
13、a上单调递减，在区间 ln2,1a上单调递增. 4 分（） 12ln3)(exxh， )2ln()( xxh 令 0)2ln(1)( xxh得 2e )(在 ),21e上递增， ),(上递减 所以 0)(maxe所以当 a时， 0xh 7 分（）设 0x为 f在区间 ,1内的一个零点，则由 0ffx可知， fx在区间 0,x上不可能单调递增，也不可能单调递减.则 g不可能恒为正，也不可能恒为负.故 gx在区间 0,内存在零点 1.同理 g在 0,1区间内存在零点 2x.所以 g在区间 0,1内至少有两个零点.由（I）知，当 1a时， x在 ,上单调递增，故 gx在 ,内至多有一个零点.当 2e
14、时， g在 0,上单调递减，故 在 0,1内至多有一个零点.所以 1e2a.此时 x在区间 ln2上单调递减，在区间 ln2a上单调递增. 因此 1,la， 2l,1xa，必有 gb， 1e0gb.由 0f，有 eb，有 0e0，e20g.解得 .又由第（2）问当 1e2a，012ln3)(lneaag由此可知 fx在 10,上单调递增，在 12,x上单调递减，在 2,1x上单调递增.所以 1， 20fxf，故 f在 1,内有零点.综上可知， a的取值范围是 e, . 12 分22.（） )(xf是偶函数， )(xff24242 1)log1logmm0,m 3 分)()(xxf单调递增区间为 ,0，递减区间为 0,( 5 分（） 由 题意 23loga，即 21log3a，解得 3a 10 分
