1、1教师辅导讲义年 级： 高一 辅导科目： 数学 课时数：3课 题 函数的基本性质教学目的 通过综合的练习与巩固，是学生掌握对一些基本函数的性质进行研究的方法教学内容【知识梳理】 函数的基本性质：奇偶性、单调性、周期性、函数的最值、函数的零点（周期性后面讲）【典型例题分析】例 1、函数 f（x ）的定义域为 R，且对任意 x、y R ，有 f（x+y ）= f（x）+f（y） ，且当 x0 时，f（x）0，f（1）=2.（1）证明 f（x ）是奇函数；（2）证明 f（x ）在 R 上是减函数；（3）求 f（x）在区间 3，3上的最大值和最小值.（ 1） 证 明 ： 由 f（ x+y） =f（ x
2、） +f（ y） ， 得 f x+（ x） =f（ x） +f（ x） ， f（ x） + f（x）=f（0）.又f（0+0）=f（0）+ f（0） ，f （0）=0.从而有 f（x）+f（x）=0.f（x）=f（x ）.f（x）是奇函数.（2）证明：任取 x1、x 2R，且 x1x 2，则 f（x 1）f （ x2）=f（x 1）fx 1+（x 2x 1） =f（x 1）f（x 1）+f（ x2x 1） =f（x 2x 1） .由 x1x 2，x 2x 10.f（x 2x 1）0.f（x 2x 1）0，即 f（x 1）f（x 2） ，从而 f（x）在 R 上是减函数.（3）解：由于 f（x
3、）在 R 上是减函数，故 f（x）在3，3上的最大值是 f（3） ，最 小 值 是 f（ 3） .由f（ 1） = 2， 得 f（ 3） =f（ 1+2） =f（ 1） +f（ 2） =f（ 1） +f（ 1+1） =f（ 1） +f（ 1） +f（ 1） =3f（ 1） =3（ 2）= 6， f（ 3） = f（ 3） =6.从 而 最 大 值 是 6， 最 小 值 是 6.例 2、关于 x 的方程|x 24x+3|a=0 有三个不相等的实数根，则实数 a 的值是_.解析：作函数 y=|x24x+3|的图象，如下图.2x y O1 2 3 -1 1 2 3 由 图 象 知 直 线 y=1 与
4、 y=|x2 4x+3|的 图 象 有 三 个 交 点 ， 即 方 程 |x2 4x+3|=1 也 就 是 方 程 |x24x +3|1=0 有三个不相等的实数根，因此 a=1.答案：1例 3、已知二次函数 f（x ）= x2+bx+c（b0，cR ）.若 f（x）的定义域为 1，0时，值域也是1，0 ，符合上述条件的函数 f（x）是否存在？若存在，求出f（x）的表达式；若不存在，请说明理由.解：设符合条件的 f（x ）存在，函数图象的对称轴是 x= ，2b又 b0， 0.2当 0，即 0b1 时，1函数 x= 有最小值1，则2或 （舍去） .1,001240)( cbcbfb 3,4当1 ，
5、即 1b2 时，则（舍去）或 （舍去）.0,)0(2cfb0,c当 1，即 b2 时，函数在1，0上单调递增，则 解得 2 ,0)(1f.0,2cb综上所述，符合条件的函数有两个，f（x）=x 21 或 f（x ）=x 2+2x.变式练习：已知二次函数 f（x ）=x 2+（b+1 ）x +c（b0，cR）.若 f（x）的定义域为 1，0时，值域也是1，0 ，符合上述条件的函数 f（x）是否存在？若存在，求出f（x）的表达式；若不存在，请说明理由.解：函数图象的对称轴是x= ，又 b0， .212设符合条件的 f（x ）存在，3当 1 时，即 b1 时，函数 f（x ）在1， 0上单调递增，则
6、2b.0,0)()0( ccf当1 ，即 0b1 时，则21b0)(12fb（舍去）.0,0)()(2cc综上所述，符合条件的函数为 f（x ）=x 2+2x.例 4、设 f（x）是定义在1，1上的奇函数，且对任意 a、b1，1 ，当 a+b0 时，都有0.baf)(（1）若 ab，比较 f（a）与 f（b）的大小；（2）解不等式 f（x ）f（x ） ；2141（3）记 P=x|y=f（x c ），Q =x|y=f（xc 2），且 PQ = ，求 c 的取值范围.解：设1x 1x 21，则 x1x 20， 0.)(21ffx 1x 20，f（x 1）+f（x 2）0.f（x 1）f（x 2）
7、.又 f（x）是奇函数， f（x 2）=f （x 2）.f（x 1）f（x 2）.f（x）是增函数 .（1）ab，f（a）f（b）.（2）由 f（x ）f（x ） ，得241 x .,412,x245不等式的解集为x| x .245（3）由1xc 1，得1+c x1+c，P=x|1+ cx1+ c.由1xc 21，得1+c 2 x1+c 2，Q=x |1+c 2x 1+ c2.4PQ= ，1+c1+c 2 或1+c1+c 2，解得 c2 或 c1.例 5、建筑一个容积为 8000 m3、深 6 m 的长方体蓄水池（无盖） ，池壁造价为 a 元米 2，池底造价为 2a 元米 2，把总造价 y 元
8、表示为底的一边长 x m 的函数，其解析式为_，定义域为_.底边长为_ m 时总造价最低是 _元.解析：设池底一边长 x（m） ，则其邻边长为 （m ） ，池壁面积为 26x26 12（x ）x680 80680（m 2） ，池底面积为 x （m 2） ，根据题意可知蓄水池的总造价 y（元）与池底一边长 x（m）之间的函680数关系式为 y 12a（x ） a.30定义域为（0，）.x 2 （当且仅当 x= 即 x= 时取“=” ）.68x68040680320当底边长为 m 时造价最低，最低造价为（160 a a）元.3 8答案：y=12a（x + ）+ a （0，+ ） 160 a+ ax
9、680332030【课堂小练】1已知 是定义 上的奇函数，且 在 上是减函数下列关系式中正确的是 ( f,fx,)A B5ff 43ffC D2 82如果奇函数 在区间3，7 上是增函数且最小值为 5，那么 在区间 上是 ( )fx fx7,3增函数且最小值为 增函数且最大值为5 5减函数且最小值为 减函数且最大值为3下列函数中，在区间(0， 2)上为增函数的是 ( )A B C D1yxyx24yx2yx4对于定义域是 R 的任意奇函数 有 ( )fA B0fxf0fxfC D5求函数 的最大值，最小值21yxx56将长度为 l 的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆，要使正方形与圆的面
10、积之和最小，正方形的周长应为_7函数 的单调性是_0fxkb8函数 是偶函数，而且在 上是减函数，判断 在 上是增函数还是减函数，并加以证,fx,0明9如果二次函数 在区间 上是增函数，求 的取值范围215fxax1,22f10求函数 的最大值23yx11已知函数 判断 在区间(0，1 和 1，+)上的单调性，说明理由1fxfx12已知函数 是偶函数，且 时， 求fx0x1.xf(1) 的值，5f6(2) 时 的值；0fx(3)当 0 时， 的解析式f13作出函数 的图象，并根据函数的图象找出函数的单调区间21yx答案：7【课后练习】 （可作为单元测试卷）一、选择题1下面说法正确的选项 （ ）
11、8A函数的单调区间可以是函数的定义域B函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2在区间 上为增函数的是 （ ）)0,(A B1y 21xyC D2x3函数 是单调函数时， 的取值范围 （ ）cby),(bA B C D 2b4如果偶函数在 具有最大值，那么该函数在 有 （ ）,a,aA最大值 B最小值 C 没有最大值 D 没有最小值5函数 ， 是 （ ）pxy|RA偶函数 B奇函数 C不具有奇偶函数 D与 有关p6函数 在 和 都是增函数，若 ，且 那么（ ）)(f,ba),(dc ),(),(21dcxba21x
12、A B21xf)(21fxfC D无法确定)(f7函数 在区间 是增函数，则 的递增区间是 （ ）x3,)5(xfyA B C D8,32,75,03,28函数 在实数集上是增函数，则 （ ）bxky)1(A B C D2210b9定义在 R 上的偶函数 ，满足 ，且在区间 上为递增，则（ ）)(xf )()(xfxf0,1A B()3f )2(32fC D)2)(f10已知 在实数集上是减函数，若 ，则下列正确的是 （ ）)(xf 0baA B )(fba )()(bfaff 9C D)()(bfabfa )()(bfafbaf 二、填空题 11函数 在 R 上为奇函数，且 ，则当 ， .)
13、(xf 0,1)(xxf x)(f12函数 ，单调递减区间为 ，最大值和最小值的情况为 .|2y13定义在 R 上的函数 （已知）可用 的和来表示，且 为奇函数， 为偶)(xs)(,xgf )(xf)(xg函数，则 = .)(xf14构造一个满足下面三个条件的函数实例，函数在 上递减；函数具有奇偶性；函数有最小值为； .)1,(三、解答题 15已知 ，求函数 得单调递减区间.3,1,)2()xxf )1(xf16判断下列函数的奇偶性 ； ；xy13xxy21 ； 。4)0(22x17已知 ， ，求 .8)(3205xbaxf 1)(f)2(f1018函数 在区间 上都有意义，且在此区间上)(,
14、xgf,ba 为增函数， ；)(x0f 为减函数， .g)(xg判断 在 的单调性，并给出证明.)(xf,ba19在经济学中，函数 的边际函数为 ，定义为 ，某公司每月最多生产)(xf )(xMf )(1()xffxf100 台报警系统装置。生产 台的收入函数为 （单位元） ，其成本函数为203R（单位元） ，利润的等于收入与成本之差.405)(xC求出利润函数 及其边际利润函数 ；)(p)(xp求出的利润函数 及其边际利润函数 是否具有相同的最大值；xM你认为本题中边际利润函数 最大值的实际意义.)(xp20已知函数 ，且 ， ，试问，是否存在实数 ，使得1)(2xf )()(xfg)(xf
15、gG在 上为减函数，并且在 上为增函数.)(xG1,0,11参考答案一、CBBAB DBAA D二、11 ； 12 和 ， ； 13 ； 14 ；1xy0,21),412)(xsRxy,2三、15 解： 函数 ， ，2()(xxxf ,故函数的单调递减区间为 .1,16 解定义域 关于原点对称，且 ，奇函数.),0(),( )()(xff定义域为 不关于原点对称。该函数不具有奇偶性 .21定义域为 R，关于原点对称，且 ， ，故其不具有奇偶性.xxf4)( )()(44xf定义域为 R，关于原点对称，当 时， ；0x )(2()(2fxf当 时， ；x当 时， ；故该函数为奇函数.0x0)(f
16、17解： 已知 中 为奇函数，即 = 中 ，也即 ，xxba325 )(xgxba3205 )(xg)2(g，得 ， .108)()2(gf 18)(g68f18解：减函数令 ，则有 ，即可得 ；同理有 ，bxa2 0)(2x)(21xf0)(21xg即可得 ；)(12xff从而有 )(2xgf12)()()()( 221211 xgfxfxgfxf *显然 ， 从而*式 ，0)()(21f 0)()(21f故函数 为减函数.xg19解： .NxxCRp ,10,450)()(2xM1x ),40250(4)(250)(xx48；Nx,1，故当 62 或 63 时， 74120（元） 。Nxp,10,725)(20) max)(p因为 为减函数，当 时有最大值 2440。故不具有相等的最大值.xM48边际利润函数区最大值时，说明生产第二台机器与生产第一台的利润差最大.20解： .21)()1()( 422 xxfxfgxG4 )()()(21 )2()(11xx 242xx2x有题设当 时，121， ，0)(xx 421)2(21x则 当 时，4,40， ，0)(2121xx 421)2(21x则 故 .4,413
