1、目录摘要2关键字2Abstract2Keywords21 微积分介绍31.1 微积分的基本内容32 微分在几何问题中的应用52.1 一元微分的几何应用52.2 多元微分的几何应用73 积分在几何问题中的应用93.1 定积分的几何应用93.2 二重积分的几何应用163.3 三重积分的几何应用17结束语20参考文献21浅谈微积分思想在几何问题中的应用摘要：微积分思想在几何问题中的应用主要分为一元微分、多元微分、定积分、二重积分、三重积分分别在几何问题中的应用。一元微分可以求曲线的长；多元微分可以求曲线的切线、切平面、法线、法平面；定积分可以求曲线的长、图形的面积、立体的体积；二重积分可以求图形的面
2、积、立体的体积；三重积分可以求立体的体积。关键词：一元微分 多元微分 定积分 二重积分 三重积分 曲线的长 面积 体积Application of differential calculus thought in geometric problems.Lv DanqinAbstract: Application of differential calculus thought in geometric problems consists of a differential, multiple differential, integral, double integral, integral r
3、espectively three applications in geometric problems. A differential can find the length of the curve; tangent, multivariate differential can find the curve tangent plane, normal, normal plane; definite integral can be the length of the curve, the graph area, volume of solid; double integral can be
4、graphics area, three-dimensional volume; three points can be obtained three-dimensional volume. Keywords: A differential multiple differential ntegral double integral three integral curve length area volume1 微积分介绍1.1 微积分的基本内容1.1.1 一元微分定义：设有函数 ，若存在常数 A，使得对于自变量 的改变量 ，()fx xx函数的改变量 可以表示为：()yfx，则称 在点 处可
5、微，并称 为 在()0)yAxAx()f点 处的微分，记为 或 ，即 = 或 = .dy()fxdyAx()df几何意义： 表示曲线 在点 处的切线上的0()f()f0,My点的纵坐标相应于 的增量。x1.1.2 多元微分多元微分又叫全微分，是由两个自变量的偏导数相对应的一元微分的增量表示的。定义：设有二元函数 ，若存在常数 A,B 使得对于自变量(,)zfxy和 的改变量 和 ，函数 的改变量 可以表示为xyxzz则称函数(,)(,)()0zfyfAxBy在点 可微，并称 为 在点 处的全微)xx ,)fxy(,)xy分，记为 或 ，即 或 .dz(,)fydzx(dAB1.1.3 定积分定
6、义：设函数 在区间 上有定义，用分点()fx,ab将区间 分成 n 个小区间，小区间的长度011.nax,为 ，记 ，在每个小区间 上任(,2.)ii1maxiin1,ix取一点 ，作乘积 和式1iiix(),2.)iif成为积分和，当 （即 n 无限增大）时积分和的极1()niiiSf0限如果存在，且此极限与 的分法及 的取法无关，则称函数,ab在区间 上是可积的，并称此极限为函数 在区间 上()fx,ab ()fx,ab的定积分，记作 。01()lim()niiafxdfx其中符号“ ”称为积分符号， 称为被积函数， 称为积分变量， f x区间 称为积分区间， 称为积分下线， 称为积分上限
7、。,abab1.1.4 二重积分定义：设 是定义在平面有界闭区域 上的有界函数对区域 的(,)fxyDD任意划分 以及任意属于 的点 ，作和式12.,nDi(,)iiP（其中 表示 的面积） 。当 时（ 为1(,)niiifii 1max0iindid的直径） ，如果不论对 怎样划分，点 怎样选取，上述和式都i i趋于同一常数，则称函数 在区域 上是可积的，并称该常数为(,)fxyD函数 在区域 D 上的二重积分，记作 ，即(,)fxy (,)fxyd。01,lim(,)niiDfdf其中 叫做被积函数， 叫做被积表达式， 叫做(,)fxy(,)fxydd面积元素， 和 叫做积分变量， 叫做积
8、分区域。D1.1.5 三重积分定义：设 是定义在空间有界闭区域 上的有界函数。对区域(,)fxyz 的任意划分 以及 任意取法，作和式123,.(,)iiiP（其中 表示 的体积） 。当 （ 为1(,)niiifvivi1max0iindi的直径） ，如果不论对 怎样划分，点 怎样选取，上述和式都i i趋于同一常数，则称函数 在区域 上是可积的，并称该常数(,)fxyz为函数 在区域 上的三重积分，记为 ，即(,)fxyz(,)fxyzdv。01,lim(,)niifdvfv其中 叫做被积函数， 叫做体积元素, 叫做积分变(,)fxyzdzyx,量， 叫做积分区域。2 微分在几何问题中的应用2
9、.1 一元微分的几何应用2.1.1 求平面曲线的切线若函数 在包含 的区间上可导，则曲线 在点()yfxu()yfx有切线，切线方程为 。(,)Auf ()()yfxuf例 1、写出过点 而与曲线 相切的直线的方程。)1,3(A1解:将曲线方程 写成函数形式 。设所求直线与曲线相xy()yfx切于点 ,则直线斜率为 。根据直线 斜率意义可得 (,)Buf fuAB。1(3)u将 和 代入上式得到关于 u 的方程()fu21f。21()uu整理后得二次方程 ，解得 或 ，2303u1即切点可能是 或 ；1(3,)(,)所以满足要求条件的切线有两条，用两点式直线方程写出整理后分别为： 和20xy9
10、60xy如图一图一2.1.2 求参数方程曲线的切线设曲线 由下列参数方程表示， ，(),()xutyvtI函数 和 都在区间 上可导，则对)(),(:Itvytux()xutyv于任意 ，当 时，对应的 上的点 处有切0I2200uv0(,)Pxy线 ，其方程为 。这里 。也L000()()utyvtx00(),()xutyvt就是说， 是曲线在 处切线的方向向量。(,v ,Py例 2、设曲线 的参数方程为 ，求曲线上对应于3sin2cosxtkt的点 处的切线方程.ut0(,)xy解：计算得 3cos,2sitkt故曲线上对应于 处的切线的方向向量为0()xy(3cos,2in)uk结合 ，
11、可得点 处的切线方程为00sin,csxuyku0(,)xy，3co(2)in3siu整理得 sico6kxy2.2 多元微分的几何应用2.2.1 空间曲线的切线与法平面设曲线 的参数方程为 ，并假设参数方程L(),(),xtytzt中三个函数的导数均存在，且在 的某一个确定值 处，三个导数不0同时为零。设取参数 时，对应曲线 上的点为0t L则有直线的两点式得割线方程为100(,)Mxyz。向量 为割线的方向向量，向量0(,)xyz同样是割线的方向向量，所以割线方程可表示为,xyztt。000zttt当 时，点 沿曲线 趋于点 ,因为 不同1ML0M00(),()xtyzt时为零，所以非零向
12、量 为曲线 在点 处的切0(),(,)sxtyztL线方向向量，切线的方程为 。000()()ttt向量 又称为曲线 在点 处的切向量，显00(),(,)sxtyztL0M然向量 s 又是曲线 上的点 处的法平面的法向量，所以曲线在点LM处的法平面方程为 。0M0000()()()xtytzt例 3、求柱面螺旋线 在 处的切线方程与cos,in,attb2t法平面方程。解：因为 ， ， ()sin,()2xtatxa()cos,()02ytty。(),()ztb故当 时，对应点为2t0(,)2bMa所以在点 处的切线方程为0()t022abzxybzayx或法平面方程为 ，或 。()20bxz
13、例 4、求曲线 在点（1,1,1）处切线方程。045322zyxx解：对方程两边同时对自变量 求导数并移项，得z的条件下，由克拉默法则，得061532zyJ在， ，4xy 2364910yxJz所以 ， 。15409()6y41()6z所以曲线在点（1,1,1）处的切向量为 ，9(,)6n 故曲线在点（1,1,1）处的切线方程为 ，11xyz即 。169xyz2.2.2 曲面的切平面与法线设曲面 的方程为 ，曲面上一点 ，设函数:(,)Fxyz00(,)Mxyz在点 处具有连续的偏导数（即 在点 处连续） ，(,)Fxyz0M,xyzF且不同时为零（不全为零） 。设曲面上过点 的任意一条曲线
14、的参0L数方程为 ，设 时，对应于曲面上的点(),(),()xtytztt，且 存在但不完全为零。向量00(,yz00垂直于曲面 上过点 的任意曲线 在该点)(,)xyznFMF0ML处的切线。这就是说，过点 M0的的所有曲面曲线在点 处的切线都0在过点 且垂直于向量 的平面 上，所以平面 为曲面 在点0n处的切平面，向量 即为切平面 的法向量。曲面 在点 处的0 0切平面方程为 。又因00000()()()xyzFFFMz为曲面 在点 处的的法向量 ，所以曲面 在点 处的法线方程Mn为 。000()()()xyz例 5、设曲面 上点 处有 ，求曲,Fx0(,)xyz2,xyzF面在此点处的切
15、平面方程及法线方程。解：由题意知曲面在给定点处的法向量 (,)n 切平面方程为 ，0002()()2xyz即 。002(2)xyzxyz法线方程为 。03 积分在几何问题中的应用3.1 定积分的几何应用3.1.1 求平面曲线的弧长设平面曲线方程 具有连续导数，则其弧长微分为()yfx，从而曲线位于区间a,b中的弧长为 。21dsyx 21baLydx例 6、计算曲线 的弧长（图二）32(0)x图二解：由于 ，故由弧长公式知3()2xf323220949811(5.1)037xsd3.5即曲线 的弧长约为 。32(0)yx53.例 7、设 为心脏线 的下半部，求 的弧长 .L1cos(0)raL
16、s解：心脏线下半部分的极坐标方程为 ，所以(1cos)(2)ra。故sinra222(1cos)(sin)Ldad2cso4ada3.1.2 求平面曲线的全长例 8、计算星形线 的全长。33cos,inxatyt解：因为 ， 。2 23(i)cost23sincoyat星形线是对称曲线，得204Sxydt2022220420(3sinco)(3sinco)1sic1si()6n6atatdttdtaa3.1.3 求曲线包围的面积由曲线 ，直线 所围成的底边在 轴上的曲边梯()yfxbx, x形的面积为 。bad由曲线 ，直线 所围成的底边在 轴上的曲边梯()xgydyc, y形的面积为 。dc
17、由曲线 ，直线 及 轴所围成的平面图形的面积()ygxbxa,为 。()baxfd由曲线 ，直线 及 轴所围成的平面图(),()yxdyc,形的面积为 。dc例 9、求由曲线 所围成的图形面积。21,03yxyx解：所围成的图形如图三，记为 S图三求曲线 的交点，解得 .yx211,2xy所以在区间0,1， 。21016Sxd在区间 ， 。1,322313412x故所围成图形的面积为 。126S例 10、计算包围在双纽线 内部及圆 外部图形的面积。2cosraar解：易见双纽线函数 的周期为 ，且根据双纽线函数的2cosra定义区间和余弦函数性质知在 即 部分没有图形，3234由周期性知在 也
18、没有图形。且其图形对称于极轴，从而574其图形分布在 及 之间。354设所求图形面积为 ，则有对称性知 应为第一象限部分面积的AA四倍。下图阴影部分是位于第一象限中的情形。图四（图中 q 即为 ）先求出两曲线交点: 得交点为 。从而 ar2cos2 ,6a226014(cos)Aad23sin63.1.4 求旋转体的表面积按照定积分的元素法，对于分点 ，因为11(,)(,)iiiiMxyx,所以可以将弦 绕 x 轴形成的侧面积来代替曲线10limiixM 1i弧 形成的侧面积，从而 1i当函数222()()()1ydAfxyfxx 可导时，yfab（以切线长带弦）2222()()()1()dx
19、yfxfx 对于曲线 绕 y 轴旋转的情况，1baAffxd )ycd可得， ，222()()()(yyff。2dcff例 11、求 的曲线绕 x 轴旋转所成图形的表面积。3(01)yx解：由 得21320()Axdx32134 4100 19(9)36x()273.1.5 求立体的体积3.1.5.1 旋转体体积由连续曲线 在区间 上围成的曲边梯形绕 轴旋转一()yfxba, x周形成的旋转体的体积为 。2()xaVfdx由曲线 ，直线 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴()xgyyc, y旋转而成的旋转体的体积为 。2()dycVgy例 12、求 ， ， 及 围成的图形围绕20xy20xx1轴旋转
20、所得的旋转体的体积。x解：易见所求旋转体体积等于 （即 ）在 区间2yx20xy1,上围绕 轴形成的旋转体与 （即 ）在 区间上x1,围绕轴 形成的旋转体的体积之差。由图五可知，在 区间上，1,021x图五所以 112 200()()Vxdxd122045321()()17920xxdxx3.1.5.2 已知平行截面表达式的立体体积设所给立体垂直于 轴的截面面积为 ， 区间 上连续，x()Axba,则对应于小区间 的体积元素为 ，因此所求立体,dV体积为 。()baVAxd例 13、设有一几何体，其底面为 xy 平面上的圆 ，22(0)xya而用任何位于 区间而垂直于 轴的平面去截该几何体，截
21、面都,x是正三角形。求其体积。解：过 轴上 区间任意点作垂直于 轴的平面与几何体相交，xa, x得截面为正三角形，因而其面积为221()2(3)3()Axyyax从而知该几何体体积为3223()aa xVxd 343.2 二重积分的几何应用3.2.1 求曲线围成的面积3.2.1.1 在直角坐标系下当所求区域 为 型区域 时，有Dx )()(,),( 21xybxay；baxyDbayx dfdfdxyf )()( 2121 ,),(当所求区域 为 型区域 时，则)()(,),( 2yxc有 。dcyxDdcyx dfyxfxyf )()( 2121 ,),(例 14、用二重积分求曲线 及 轴在
22、第一象限所围成os,sin的区域的面积。解：记所求区域为 ，其面积为 ，则DA 4040cosin )sin(c dxdyxdyAD12)cos(in403.2.1.2 在极坐标系下如果 ，则在极坐标系下有)()(,),( 21rrrD)(21sin,co),(r dfdxyf例 15、计算心脏线 所围成的平面区域的面积。ir解：因为对任意 ， ，所以心脏线 所围区域0sn1sin1r可表示为 ，故其面积为si,20),(rrDdddA22020sin1 )in1(202cosi130in41233.2.2 求立体的体积体积 ，其中 为曲顶柱体的曲顶。DdyxfV),( )0(,yxf例 16
23、、计算由三个平面 所围成的柱体被平面1,0及 截得的立体的体积。0zyx1解：所求立体是一个曲顶柱体，曲顶方程是： 。区域yxz，所以,:xyDdyxdyV10)()1(10 2102 )1()()( dxxx02362310 3 xd653.3 三重积分的几何应用（求立体的体积）3.3.1 在空间直角坐标系下设积分区域 由集合V所确定，这里),()(,),(,( 2121 bxayxyzyxzV 在 平面上的投影区域 是一个 型y ,D x区域，它对于平行于 轴且通过 内点的直线与的 边界至多交于两z V点。现设 在 上连续， 在上 连续，),(yxfV),(,21yxzD在 a,b上连续，
24、则有),(21y dzyxfdxydxyzufVDzx),(21),fbayxyxz)(),(2121),同样的，当把区域 投影到 平面或 平面上时，也可写出相Vzxyx应的累次积分。例 17、计算 ，其中 为由平面 与Vyxdz2 xyzx,02,1所围的区域。yz解： 在 平面上的投影区域 是 型区域，x 21,0),(xyxD这里 ，所以有yzyz),(0),(21 2102102xxV yddzxdxxyln)ln(210221l23.3.2 在柱面坐标下柱面坐标系与直角坐标系变量间的关系：，由于变换 的函数行列式.,20,sin,co: zrzryxTT，所以，三重积分的柱面坐标换元
25、公rrrJ10cossii),(式为 ，这里 为在 柱dzrrfdxyzfVV ),sin,co(),( V面坐标变换 下的原象。T例 18、计算 ，其中 是由曲面 与dxyzV)(2 zyx)(22为界面的区域。4z解： 在 平面上的投影区域 D 为 。按柱面坐标变换，区Vxy 22yx域 可表示为 所以有 .0,42),( rzrVV ddxyz32)(。3820242rz3.3.3 在球面坐标下球面坐标系与直角坐标系变量间的关系：，由于变换 的函数行列式.20,cosin,: rrzyxT T，当 在 上 sin0sincscosicoi),( 2rrrJ ,0取值时， 所以，三重积分的
26、柱面坐标换元公式为0in，drrrrfdxyzfVV sin)co,sin,cosi(),( 2这里 为 在球面坐标变换 下的原象。 T例 19、求由圆锥体 和球体 所确定cot2yxz 22)(azyx的立体体积，其中 和 为常数。,0)(a解：在球坐标变换下，球面方程 可表示成22)(azyx，锥面方程 可表示成 。因此 cos2arcot2z求得 的体积为.20,s0),( arrV V。)cos1(34in420co20 adrddV结束语微积分思想在几何问题中的应用主要分为一元微分、多元微分、定积分、二重积分、三重积分分别在几何中的应用，这些应用主要包括求曲线的长、求图形的面积、求立
27、体的体积。也许还有其他应用，这就需要我们去探索研究。参考文献1龚升.林立军.简明微积分发展史M.湖南：湖南教育出版社，2005.2王宝富.钮海.多元函数微积分（第二版）M.北京：高等教育出版社，2010.3李启文.谢季坚.微积分学习指导与解题指南（第二版）M.北京：高等教育出版社，2004.4于新凯.金少华.郭献洲.微积分典型问题分析与习题精选M.天津：天津大学出版社，2009.5张银升.安建业.微积分名师导学M.北京：中国人民大学出版社，2004.6张景中.直来直去的微积分M.北京：科学出版社，2010.7华东师范大学数学系.数学分析（下册 第三版）M.北京：高等教育出版社，2001.8贾晓峰.微积分与数学模型（上册）M.北京：高等教育出版社，1999.9美G.B.小托马士.R.L.芬尼.微积分与解析几何详解（上册）M.北京：晓园出版社，1994.
