1、 毕 业 论 文题 目： 浅谈微积分思想在几何 问题中的应用 学 院： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 毕业年限： 2013 年 学生姓名： * 学 号： * 指导教师： * 说 明： 1. 成 绩 评 定 均 采用五级分制，即优 、 良 、 中 、 及 格 、 不 及 格 。2. 评语内容包括：学术价值、实际意义、达到水平、学术观点及论证有无错误等。指 导 教 师 职 称 预 评 成 绩指导教师预评评语年 月 日答辩小组评定成绩 答辩委员会终评成绩答辩小组评审意见答 辩 小 组 组 长 （ 签 字 ） ：年 月 日答辩委员会终评意见答 辩 委 员 会 主 任 （ 签 章 ） ：年
2、月 日目录摘要2关键字2Abstract2Keywords21 微积分介绍31.1 微积分的基本内容32 微分在几何问题中的应用52.1 一元微分的几何应用52.2 多元微分的几何应用73 积分在几何问题中的应用93.1 定积分的几何应用93.2 二重积分的几何应用163.3 三重积分的几何应用17结束语20参考文献21浅谈微积分思想在几何问题中的应用*（西北师范大学数学与统计学院 甘肃 兰州 730070）摘要：微积分思想在几何问题中的应用主要分为一元微分、多元微分、定积分、二重积分、三重积分分别在几何问题中的应用。一元微分可以求曲线的长；多元微分可以求曲线的切线、切平面、法线、法平面；定积
3、分可以求曲线的长、图形的面积、立体的体积；二重积分可以求图形的面积、立体的体积；三重积分可以求立体的体积。关键词：一元微分 多元微分 定积分 二重积分 三重积分 曲线的长 面积 体积Application of differential calculus thought in geometric problems.Lv Danqin(College of mathematics and statistics, Northwest Normal University, Gansu Lanzhou 730070)Abstract: Application of differential calcu
4、lus thought in geometric problems consists of a differential, multiple differential, integral, double integral, integral respectively three applications in geometric problems. A differential can find the length of the curve; tangent, multivariate differential can find the curve tangent plane, normal
5、, normal plane; definite integral can be the length of the curve, the graph area, volume of solid; double integral can be graphics area, three-dimensional volume; three points can be obtained three-dimensional volume. Keywords: A differential multiple differential ntegral double integral three integ
6、ral curve length area volume1微积分介绍1.1 微积分的基本内容1.1.1 一元微分定义：设有函数 ，若存在常数 A，使得对于自变量 的改变量 ，函数的()fx xx改变量 可以表示为： ，则称y()0)y在点 处可微，并称 为 在点 处的微分，记为 或 ，即()fxx()fxdy(fx= 或 = .dyA()dfxA几何意义： 表示曲线 在点 处的切线上的点的纵0y()yfx0(,)My坐标相应于 的增量。x1.1.2 多元微分多元微分又叫全微分，是由两个自变量的偏导数相对应的一元微分的增量表示的。定义：设有二元函数 ，若存在常数 A,B 使得对于自变量 和 的改
7、变(,)zfxy xy量 和 ，函数 的改变量 可以表示为xyz则称函数 在(,)(,)()0zffxyABy(,)zfxy点 可微，并称 为 在点 处的全微分，记为 或,)xy(,fx, d，即 或 .(dfdzxy)dy1.1.3 定积分定义：设函数 在区间 上有定义，用分点()f,ab将区间 分成 n 个小区间，小区间的长度为011.naxx,，记 ，在每个小区间 上任取一点(,2.)ii1maxiin1,ix，作乘积 和式 成为积分和，1()iiix(,2.)iif 1()niiiSf当 （即 n 无限增大）时积分和的极限如果存在，且此极限与 的分法0,ab及 的取法无关，则称函数 在
8、区间 上是可积的，并称此极限为函数()fx,ab在区间 上的定积分，记作 。()fx,ab01()lim()niiafdxfx其中符号“ ”称为积分符号， 称为被积函数， 称为积分变量，区间f称为积分区间， 称为积分下线， 称为积分上限。,abab1.1.4 二重积分定义：设 是定义在平面有界闭区域 上的有界函数对区域 的任意划分(,)fxyDD以及任意属于 的点 ，作和式 （其中12,.,nDi(,)iiP1(,)niiif表示 的面积） 。当 时（ 为 的直径） ，如果不论对ii 1max0iindidi怎样划分，点 怎样选取，上述和式都趋于同一常数，则称函数 在区iP (,)fxy域 上
9、是可积的，并称该常数为函数 在区域 D 上的二重积分，记作D(,)fxy，即 。(,)fxyd 01(,)lim,niiDfxydf其中 叫做被积函数， 叫做被积表达式， 叫做面积元素，,f (,)fxydd和 叫做积分变量， 叫做积分区域。xy1.1.5 三重积分定义：设 是定义在空间有界闭区域 上的有界函数。对区域 的任意(,)fxz划分 以及 任意取法，作和式123.(,)iiiP（其中 表示 的体积） 。当 （ 为1(,)niiifvii 1max0iindi的直径） ，如果不论对 怎样划分，点 怎样选取，上述和式都趋于同一常i iP数，则称函数 在区域 上是可积的，并称该常数为函数
10、在区(,)fxyz (,)fxyz域 上的三重积分，记为 ，即 。(,)fxyzdv 01(,)lim,niifxyzdvfv其中 叫做被积函数， 叫做体积元素, 叫做积分变量， 叫(,)fxyzdvzyx,做积分区域。2微分在几何问题中的应用2.1 一元微分的几何应用2.1.1 求平面曲线的切线若函数 在包含 的区间上可导，则曲线 在点()yfxu()yfx有切线，切线方程为 。(,)Auf ()()yfxuf例 1、写出过点 而与曲线 相切的直线的方程。)1,3(A1解:将曲线方程 写成函数形式 。设所求直线与曲线相切于点xy()yfx,则直线斜率为 。根据直线 斜率意义可得 (,)Buf
11、 ()fuAB。1()3f将 和 代入上式得到关于 u 的方程()fu21fu。21()整理后得二次方程 ，解得 或 ，230u3u1即切点可能是 或 ；1(3,)(,)所以满足要求条件的切线有两条，用两点式直线方程写出整理后分别为： 和20xy960xy如图一图一2.1.2 求参数方程曲线的切线设曲线 由下列参数方程表示， ，(),()xutyvtI函数 和 都在区间 上可导，则对于任)(),(:Itvytux()xt意 ，当 时，对应的 上的点 处有切线 ，其方0I22000(,)PxyL程为 。这里 。也就是说，()()tyvtx0(),xutvt是曲线在 处切线的方向向量。0,uv0,
12、Py例 2、设曲线 的参数方程为 ，求曲线上对应于 的3sin,2cosxtykt ut点 处的切线方程 .0(,)xy解：计算得 3cos,2sitykt故曲线上对应于 处的切线的方向向量为0()x(3cos,2in)uk结合 ，可得点 处的切线方程为0sin,csxuyku0(,)xy，3co(2)in3siu整理得 sico6kxy2.2 多元微分的几何应用2.2.1 空间曲线的切线与法平面设曲线 的参数方程为 ，并假设参数方程中三个函L(),(),xtytzt数的导数均存在，且在 的某一个确定值 处，三个导数不同时为零。设取参t0数 时，对应曲线 上的点为 则有直线的两点式得0t10(
13、,)Mxyz割线方程为 。向量 为割线的方向向量，向量000xyz,同样是割线的方向向量，所以割线方程可表示为,yztt。000xzttt当 时，点 沿曲线 趋于点 ,因为 不同时为零，1ML000(),()xtyzt所以非零向量 为曲线 在点 处的切线方向向量，切00(),(,)sxtyztM线的方程为 。000()()ttt向量 又称为曲线 在点 处的切向量，显然向量,sxyzL0s 又是曲线 上的点 处的法平面的法向量，所以曲线在点 处的法平面方L0M0M程为 。0 00()()()xtytzt例 3、求柱面螺旋线 在 处的切线方程与法平面cos,in,xatytb2t方程。解：因为 ，
14、 ， ()sin,()2xtatxa()cos,()02ytty。(),()ztb故当 时，对应点为2t0(,)2bMa所以在点 处的切线方程为0()2Mt02abzxybzayx或法平面方程为 ，或 。()20bxz例 4、求曲线 在点（1,1,1）处切线方程。045322zyxx解：对方程两边同时对自变量 求导数并移项，得的条件下，由克拉默法则，得061532zyzJ在， ，4xy 2364910yxJz所以 ， 。109()6()z所以曲线在点（1,1,1）处的切向量为 ，91(,)6n 故曲线在点（1,1,1）处的切线方程为 ，xyz即 。169xyz2.2.2 曲面的切平面与法线设曲
15、面 的方程为 ，曲面上一点 ，设函数:(,)Fxyz00(,)Mxyz在点 处具有连续的偏导数（即 在点 处连续） ，且不同(,)Fxyz0M,xyzF时为零（不全为零） 。设曲面上过点 的任意一条曲线 的参数方程为0L，设 时，对应于曲面上的点 ，且(),(),()xtytztt 00(,)xyz存在但不完全为零。向量 垂直于曲00 0(),xyznFMF面 上过点 的任意曲线 在该点处的切线。这就是说，过点 M0的的所有曲0ML面曲线在点 处的切线都在过点 且垂直于向量 的平面 上，所以平面0Mn为曲面 在点 处的切平面，向量 即为切平面 的法向量。曲面 在点0n处的切平面方程为 。0 0
16、0000()()()xyzFFFz又因为曲面 在点 处的的法向量 ，所以曲面 在点 处的法线方程为0 M。000()()()xyzFMFM例 5、设曲面 上点 处有 ，求曲面在,x0(,)xyz2,xyzF此点处的切平面方程及法线方程。解：由题意知曲面在给定点处的法向量 (2,)n 切平面方程为 ，0002()()xyz即 。xyzz法线方程为 。00022xy3积分在几何问题中的应用3.1 定积分的几何应用3.1.1 求平面曲线的弧长设平面曲线方程 具有连续导数，则其弧长微分为 ，()yfx 21dsyx从而曲线位于区间a,b中的弧长为 。21baLydx例 6、计算曲线 的弧长（图二）32
17、(0)yx图二解：由于 ，故由弧长公式知3()2xf323220949811(5.1)037xsd3.5即曲线 的弧长约为 。32()yx53.例 7、设 为心脏线 的下半部，求 的弧长 .L1cos(0)raLs解：心脏线下半部分的极坐标方程为 ，所以1cos)(2)ra。故sinra222(1cos)(sin)Ldad2cso4ada3.1.2 求平面曲线的全长例 8、计算星形线 的全长。33cs,inxtyt解：因为 ， 。2 23o(i)cosaa23sincoyat星形线是对称曲线，得204Sxydt2022220420(3sinco)(3sinco)1sic1si()6n6atat
18、dttdtaa3.1.3 求曲线包围的面积由曲线 ，直线 所围成的底边在 轴上的曲边梯形的面()yfxbx, x积为 。()bafd由曲线 ，直线 所围成的底边在 轴上的曲边梯形的面xgydyc, y积为 。()dc由曲线 ，直线 及 轴所围成的平面图形的面积为yxbxa,。()bagxfd由曲线 ，直线 及 轴所围成的平面图形的面(),()yxdyc,积为 。()dc例 9、求由曲线 所围成的图形面积。21,03yxyx解：所围成的图形如图三，记为 S图三求曲线 的交点，解得 .yx211,2xy所以在区间0,1， 。21016Sxd在区间 ， 。1,322313412x故所围成图形的面积为
19、 。126S例 10、计算包围在双纽线 内部及圆 外部图形的面积。2cosraar解：易见双纽线函数 的周期为 ，且根据双纽线函数的定义区间和余弦函数性质知在 即 部分没有图形，由周期性知在3234也没有图形。且其图形对称于极轴，从而其图形分布在574及 之间。354设所求图形面积为 ，则有对称性知 应为第一象限部分面积的四倍。下AA图阴影部分是位于第一象限中的情形。图四（图中 q 即为 ）先求出两曲线交点: 得交点为 。从而 ar2cos2 ,6a226014(cos)Aad23sin63.1.4 求旋转体的表面积按照定积分的元素法，对于分点 ，因为11(,)(,)iiiiMxyx,所以可以
20、将弦 绕 x 轴形成的侧面积来代替曲线弧10limiixM 1i形成的侧面积，从而 当 1i 222()()()1ydAfyfxx 函数 可导时，()yfxab（以切线长带弦）2222()1()dAyfxfx对于曲线 绕 y 轴旋转的情况，可22()1()baAfxfdx ()xfycxd得， ，221dyy。2()()cff例 11、求 的曲线绕 x 轴旋转所成图形的表面积。301yx解：由 得21320()Axdx32134 4100 129(9)36x()73.1.5 求立体的体积3.1.5.1 旋转体体积由连续曲线 在区间 上围成的曲边梯形绕 轴旋转一周形成的()yfxba, x旋转体
21、的体积为 。2bxaVd由曲线 ，直线 及 轴所围成的曲边梯形绕 轴旋转而()gyyc, y成的旋转体的体积为 。2()dycg例 12、求 ， ， 及 围成的图形围绕 轴旋转20x0xx1x所得的旋转体的体积。解：易见所求旋转体体积等于 （即 ）在 区间上围绕2y20y,轴形成的旋转体与 （即 ）在 区间上围绕轴 形成x1xx1,x的旋转体的体积之差。由图五可知，在 区间上，1,02x图五所以 112 200()()Vxdxd12204532()()17920xxd3.1.5.2 已知平行截面表达式的立体体积设所给立体垂直于 轴的截面面积为 ， 区间 上连续，则对应x()Axba,于小区间
22、的体积元素为 ，因此所求立体体积为,xdV。()baVAd例 13、设有一几何体，其底面为 xy 平面上的圆 ，而用任何22(0)xya位于 区间而垂直于 轴的平面去截该几何体，截面都是正三角形。求其,x体积。解：过 轴上 区间任意点作垂直于 轴的平面与几何体相交，得截面为xa,x正三角形，因而其面积为221()2(3)3()Ayya从而知该几何体体积为322()aa xVxd 343.2 二重积分的几何应用3.2.1 求曲线围成的面积3.2.1.1 在直角坐标系下当所求区域 为 型区域 时，有Dx )()(,),( 21xybxay；ayxDbayx dfdfdyxf )()( 2121 ,
23、),(当所求区域 为 型区域 时，则有)()(,),( 2yxcx。dcyxDdcyx dfyfxyf )()( 2121 ,),(例 14、用二重积分求曲线 及 轴在第一象限所围成的区域的xos,sin面积。解：记所求区域为 ，其面积为 ，则DA 4040cosin )sin(c dxdyxdyA12)cos(in403.2.1.2 在极坐标系下如果 ，则在极坐标系下有)()(,),( 21rrrD)(21 )sin,co),(rD rdfdxyf例 15、计算心脏线 所围成的平面区域的面积。sir解：因为对任意 ， ，所以心脏线 所围区域可表示0n1sin1r为 ，故其面积为si,20),
24、(rrdddAD2020sin1 )sin1(202cosi130in41233.2.2 求立体的体积体积 ，其中 为曲顶柱体的曲顶。DdyxfV),( )(,yxf例 16、计算由三个平面 所围成的柱体被平面 及1,0 0z截得的立体的体积。yxz1解：所求立体是一个曲顶柱体，曲顶方程是： 。区域yxz，所以10,:xyDdyxdyV10)()(10 2102 )1()()( dxxx02362310 3 xd653.3 三重积分的几何应用（求立体的体积）3.3.1 在空间直角坐标系下设积分区域 由集合V所确定，这里 在),()(,),(,( 2121 bxayxyzyxzV V平面上的投影
25、区域 是一个 型区域，它对xy(D于平行于 轴且通过 内点的直线与的 边界至多交于两点。现设 在z V),(zyxf上连续， 在上 连续， 在a,b上连续，则有V),(,21yxz )(,21xydzfdduxfVDyxz),(21,),(yxfyxbazx)(),(2121),同样的，当把区域 投影到 平面或 平面上时，也可写出相应的累次积V分。例 17、计算 ，其中 为由平面 与 所围的Vyxdz2 xyzx,02,1yz区域。解： 在 平面上的投影区域 是 型区域，这里,0),(xyxD，所以有yxzyxz),(0),(21 21021022 xxyV yddzdxxyln)ln(210
26、21l23.3.2 在柱面坐标下柱面坐标系与直角坐标系变量间的关系：，由于变换 的函数行列式.,20,sin,co: zrzryxTT，所以，三重积分的柱面坐标换元公式为rrzrJ10cossini),(，这里 为在 柱面坐标dzrrfdxyzfVV ),sin,(),( V变换 下的原象。T例 18、计算 ，其中 是由曲面 与 为界面dxyzV)(2Vzyx)(224的区域。解： 在 平面上的投影区域 D 为 。按柱面坐标变换，区域 可表xy 22yx V示为 所以有.0,42),( rzrVVV dzdxy3。3820242rz3.3.3 在球面坐标下球面坐标系与直角坐标系变量间的关系：，
27、由于变换 的函数行列式.20,cosin,: rrzyxT T，当 在 上取 sin0sincscosicoi),( 2rrrJ ,0值时， 所以，三重积分的柱面坐标换元公式为0in，drrrrfdxyzfVV sin)co,sin,cosi(),( 2这里 为 在球面坐标变换 下的原象。 T例 19、求由圆锥体 和球体 所确定的立体cot2yxz 22)(azyx体积，其中 和 为常数。2,0)(a解：在球坐标变换下，球面方程 可表示成 ，22)(azyxcos2ar锥面方程 可表示成 。因此 cot2yxz求得 的体积为.20,s0),( arrV V。)cos1(34in420co20
28、adrddV结束语微积分思想在几何问题中的应用主要分为一元微分、多元微分、定积分、二重积分、三重积分分别在几何中的应用，这些应用主要包括求曲线的长、求图形的面积、求立体的体积。也许还有其他应用，这就需要我们去探索研究。参考文献1龚升.林立军.简明微积分发展史M.湖南：湖南教育出版社，2005.2王宝富.钮海.多元函数微积分（第二版）M.北京：高等教育出版社，2010.3李启文.谢季坚.微积分学习指导与解题指南（第二版）M.北京：高等教育出版社，2004.4于新凯.金少华.郭献洲.微积分典型问题分析与习题精选M.天津：天津大学出版社，2009.5张银升.安建业.微积分名师导学M.北京：中国人民大学出版社，2004.6张景中.直来直去的微积分M.北京：科学出版社，2010.7华东师范大学数学系.数学分析（下册 第三版）M.北京：高等教育出版社，2001.8贾晓峰.微积分与数学模型（上册）M.北京：高等教育出版社，1999.9美G.B.小托马士.R.L.芬尼.微积分与解析几何详解（上册）M.北京：晓园出版社，1994.
