1、第四节 向量的乘积,一、两向量的数量积,二、两向量的向量积,一、向量的数量积（点积，内积）,1、定义：数量积为数，大小为其中 为 的夹角， ，记,2、物理意义：一个物体受力 的作用，产生位移 ，则所作的功为 ，,功就是数量积。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3、与投影的关系：,向量 在数轴 上的投影记为,显然，若,投影是数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4、性质与运算规律：,分配律：,数乘结合律：,数量积对消去律不成立。,如 ,推不出 。 因为当 时 ，只能说明 且 。,交换律：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5、数量积的坐标表达式：,设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
2、两向量的夹角满足,若 ，则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,AMB即为向量MA与MB的夹角. 由,得:,cosAMB=,所以,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、向量的向量积（叉积，外积）,1、定义： 与 的向量积为一向量，,长度：,即以 与 为边的平行四边形面积，,方向：垂直 所在平面，构成右手系。,记,为向量 的单位向量。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2、性质与运算规律：,对任意两个非零向量 和 ，若 ，则,对于,反交换律：,分配律：,数乘结合律：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3、向量积的坐标表达式：,设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1：已知,计算,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2：已知,求与 均垂直的单位向量 。,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
