1、摘要在数学分析与微积分学中，极限的概念占有主要地位并以各种形式出现而贯穿全部内容，因此掌握好的计算方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就极限的计算方法和技巧做一个系统的概括和总结。极限概念是数学分析中最基本最重要的概念，是学习其他一切数学课程的基础，由于数学分析的许多重要概念如连续、导数微分和积分等有要用到极限概念来表达，有些计算方法也是建立在极限概念的基础上，因此掌握极限概念的理论和求极限的方法，对学习数学分析甚至整个大学数学都至关重要。极限计算不仅是数学分析中的一个重点部分，而且也是一个难点部分。因此用必要探讨极限计算的技巧，只有掌握极限的计算技巧，才能对大学数学专业知识真正的消化吸
2、收。关键词：极限、数列、一元函数、多元函数、夹逼准则、单调有界定理、洛必达法则、泰勒展开式AbstractAbstract ：In the mathematical analysis and the calculus, the concept of limit occupy a major position and appears in various forms and through all of the content, so master the calculation method is the study of mathematical analysis and calculus
3、is a key ring. This paper discusses the limit calculation method and skill to do a systematic summary.The concept of limit in mathematical analysis is the most fundamental and most important concept, is the study of all other mathematical courses, due to the mathematical analysis of the many importa
4、nt concepts such as continuous, derivative, differential and integral is to use the concept of limit to express, some calculations are based on the concept of limit based on the concept of limit, so to master the theory and the limit of the method, for the study of mathematical analysis and even the
5、 whole university mathematics are essential.Mathematical analysis of the limit calculation is not only a important part, but also a difficult part. Therefore necessary to explore the limits of computing skills, master only limit calculation skills, ability of university mathematics professional know
6、ledge really digestion and absorption.Key words: limit, sequence, a unary function, multiple functions, the squeeze theorem, monotone bounded theorem, LHospital Rule, Taylor expansion目录一、 绪论5二、 数列极限的求法52.1 迫敛性求极限52.2 四则运算法则求极限52.3 单调有界法则求极限62.4 利用子数列的性质求极限7三、 一元函数极限的求法73.1 利用两个准则求极限73.2 利用极限四则运算性质求极
7、限83.3 利用两个重要的极限公式求极限 103.4 利用函数的连续性求极限103.5 利用函数的导数求极限123.6 利用洛必达法则求极限123.7 利用泰勒展开式求极限143.8 利用定积分定义求和式极限153.9 利用无穷小量的性质求极限153.10 利用等价无穷小量的性质求极限163.11 利用中值定理求极限163.12 其它方法求极限17四、 多元函数极限的求法184.1 重极限的计算方法184.2 累次极限的计算方法20结论21参考文献21致谢22极限的计算技巧1 绪论极限是数学分析中最根本的概念之一，在我国古代很早就有有关极限的例子。例如：古代哲学家庄周所著庄子天下篇引用过一句话
8、：一尺之棰，日去其半，万世不竭。其含义是：一根为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限地进行下去。不难看出，随着截取的次数增加，剩下的木棒不断减少，直到最后无限地接近于 0.随着微积分的诞生，极限作为数学中的一个概念也就明确提出。但最初提出的这一概念是模糊不清的，因此在数学界引起很大争议甚至怀疑。直到 19 世纪，由 A-L 柯西、魏而斯特拉斯的工作，才将其置与严密的理论基础之上，从而得到举世一致的公认。数学分析中的基本概念的表述，都可以用极限来描述。极限是研究数学分析的基本工具，极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限要从以下两方面着手。1：考察所给函数是否存在极限；2：如何求出所给函数
9、的极限值。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下如何求的极限值。2 数列极限的求法2.1 迫敛性求极限数列极限的迫敛性：设收敛数列an,bn都以 a 为极限，数列cn满ancn bn,则 limcn=a.例1 求极限 lim1/(n2+n+1)+2/(n2+n+2)+n/(n2+n+n)解： 利用数列迫敛性解答该题的极限问题记 G=1/(n2+n+1)+2/(n2+n+2)+n/(n2+n+n),则1+2+n/(n2+n+n)N 时，有 nxynz且 limli,nnxxza则有 limnxya . 利用夹逼准则求极限关键在于从 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数
10、列 ny和 nz，使得 nnyxz。例1 22211.nx求 n的极限解：因为 x单调递减，所以存在最大项和最小项222211.n nn222211.n nxn则 221nx又因为 22limlixxnli1nx3.1.2 单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。例：1 证明下列数列的极限存在，并求极限。 123,nyaayayaa 证明：从这个数列构造来看 n 显然是单调增加的。用归纳法可证。又因为 21321,nnyayya 所以得 nn. 因为前面证明 是单调增加的。两端除以 ny得1n因为 1,
11、na则 n, 从而1nayy即 n 是有界的。根据定理 ny有极限，而且极限唯一。令 limyl 则 21lilim()na则 2la. 因为 0,ny 解方程得42l所以 14li2nal3.2 利用四则运算法则求函数极限极限的四则运算法则叙述如下：若 Axf)(lim0 Bxg)(li0(1) 0x 0fxBAxg)(lim0(2) f x)(li)(li 000(3)若 B0 则：BAxgfxf)(li)(lim00（4） （c 为常数）fcfxxli00上述性质对于 时 也 同 样 成 立,总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。通常在这一类型的题中，一般
12、都含有未定式不能直接进行极限的四则运算。首先对函数施行各种恒等变形。例如分之，分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项。例；求极限(1)21limx(2) 3lix(3) 31li()x(4) 已知 11,2()n n 求 limnx解：(1) 21limx 1()lix 1li2x 3 (2) 3lix 3()()lix3li()12)x 4(3) 31limx231lix 21()li1xx 21limx-1 (4) 因为 ,23()n n 1114 nn所以 1limli()x3.3 利用两个重要极限求函数的极限两个极
13、限公式 1sinlm)(0xAexBx)1(lim)但我们经常使用的是它们的变形： )(,)(1li)(,(sin( xexB3.3.1 利用 来求极限sin0x的扩展形为：1silm0x令 ，当 或 时，则有g0x或1sinl0x 1sinlgx例： xi解：令 t= .则 sinx=sin( t)=sint, 且当 时 x0t故 1sinsilml0txtx例：求 i21x解：原式= 21sin1sin2121lili xxxx3.3.2 利用 来求极限ex)(的另一种形式为 .事实上，令x)1(lime10)(lim.1x所以.0xxe)1(li10)(例: 求 的极限x10)2(li解
14、：原式= 21210)()(limexxx 利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。3.4 利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限包括：如函数 在 点连续，则)(xf0及若)(0lim0xffxaxx)(li0且 f(u)在点 a 连续，则)()(lili00ffxx例：求 的极限2arcsino10xxe解：由于 及函数 在 处连续，故 =lim0x41arcsi2x4euf1lim0x2arcsino1xe= 。20arcsino1lxe41e3.5 利用函数
15、的导数定义求极限例：求 2lim()xctgx解：取 f(x)= t.则22211li()li ()2limxxxcgttg 2()limxf/1()2f21sec)x13.6 利用洛必达法则求极限3.6.1 定理：若 Axgfxffi xgxuxggfixxx)(lim)(li()l)( 0)()(0)li,0)(l) 0000 ） ， 则或可 为 实 数 ， 也 可 为内 可 导 ， 且的 某 空 心 邻 域在与此定理是对 型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。注：运用洛必达法则求极限应注意以下几点：1、 要注意条件，也就是说，在没有化为 时不可求导。,02、 应用洛必达法则，要
16、分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。4、当 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此)(limxgfax时求极限须用另外方法。例： 求 lixx2tancos1解：容易检验f(x)=1+ 与 g(x)= 在 的邻域里满足定理的条件和，又因cosx2t0= = -limx)(gflix2sectanilimx21cos3故由洛比达法则求得，= =li0x)(gfli0x)(f21在此类题目中，如果 仍是 型的不定式极限，只要有可能，我0x)(gf0们可
17、再次利用洛比达法则，即考察极限 是否存在。当然，这是lim0x)(gf和 在 的某邻域内必须满足上述定理的条件。)(xfg0x3.6.2 型不定式极限若满足如下定理的条件，即可由如下定理计算出其极限。定理：若函数 f(x)和函数 g(x)满足： = =lim0x)(fli0x)(g在点 的某空心邻域 内两者都可导，且0xu 0)(xg =A， （A 可为实数，也可为 或 ） 。li0x)(gf 则 = =A。0x)(fli0x)(f3.6.3 例：(1) 求 0lnsimx(2)求 lix解：(1) 由 00nslinsxx所以上述极限是 待定型0lnsimx 0cosinlixmx 0sin
18、lxm13.6.3 其它类型不定式极限不定式极限还有 ， ， ， ， 等类型。这些类型经过简单的10变换，都可以化为 型和 型的不定式极限。0例：求 li0xn解：这是一个 型的不定式极限，作恒等变形 = ，将它转化为 型的1xln1不定式极限，并用洛比达法则得到= = =lim0xnli0x1li0x20)(m0xx这里就不一一举例。3.7 利用泰勒展开式求极限由于泰勒公式的特殊形式，对于求解某些函数的极限有简化求解过程的作用。 例：求 lim0x42cosex解：本题可用洛比达法则来求解，但是运算过程比较繁琐，在这里可用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母为 ，我们用麦克劳林公式表示极限的分子
19、， 4x（取 n=4）cosx=1- + + ( )2x4o5x=1- +2xe)(85cosx- =- ( )2x14o5x因而求得 =lim0x42cseli0x 12)(145xo3.8 利用定积分定义求和式极限例：求)211(linn解：把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算计算定积分，为此作如下变形： niJni11lm不难看出，其中的和式是函数发 在区间 上的一个积分和。xf1)(1,0（这里所取的是等分分割， （ ） ， 所,nxinii,2n以 2l)1ln(010xdJ当然，也可把 J 看作 在 上的定积分，同样有f,l1321xJ3.9 利用无穷小量的性质求极限无穷
20、小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。如果 0lim()xf,g(x)在某区间 00(,)(,)xx有界，那么0gx.这种方法可以处理一个函数不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。例：求sinlx解： 因为 si1 1lim0x所以 nlix03.10 用等价无穷小量的性质求极限所谓等价无穷小量即 称 与 是 时的等价无穷.1)(li0xgfx )(xfg0x小量，记作 )(xf定理：设函数 在 内有定义，)(,xh)0u且有 )(xfg.)(0x3.10.1若 则,lim0AfxAxhgx)(li03.10.2 若 则,)(0BfhxBx)(0例：求 的极限30s
21、intalx解：由 而 ；).cos1(it x)0(,inx（ ） ； （ ）,2cos1x03i,.故有 = 30sintalmxxli0x21cos13x注：由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量，如：由于 ，故有 又由于1sinl0xxsin).0(,故有 arctanx ，(x ).,1arctnli0xx 03.11 利用中值定理求极限3.11.1：微分中值定理：若函数 f(x) 满足 (i) 在 ,ab连续 .(i)在(a,b)可导；则在(a,b)内至少存在一点 ，使 / ()ff例 17：求 的极限 3sin02limxx解： 3sin3si
22、ni2x由微分中值定理得，（ 介于 与 之间）2lnsi2inxxsin原式= 62ln3cos12liin 20030i0 mlm xx xx 3.11.2 积分中值定理：设函数 f(x) 在闭区间 ,ab上连续;g(x) 在 ,ab上不变号且可积，则在 ,ab上至少有一点 使得 ()()baafxgfgxdab例：求 40limsnnxd解： 40linn li()nsx04 lim()4nn03.12 其它方法求极限3.12.1 换元法当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求。例：3 求 1limnx解：令 xt 则 l(1)t1linx 0li(
23、)t0lin()t1在实际学习中很多题是多种方法综合运用求解的。所以求极限时，首先观察数列或函数的形式选择适当方法，只有方法得当，才能准确、快速、灵活的求解极限。3.12.2 利用级数收敛的必要性求极限利用级数收敛的必要条件：若级数 1n收敛，则 0n运用这个方法首先判定级数 1n收敛，然后求出它的通项的极限例： 2 求 2lim!n解：设2!na则 211!()lilinna=lim()nn=01由比值判别法知 1na收敛由必要条件知 2lim!n04 多元函数极限的求法定义 1 设 f 为定义 在上的二元函数， 为 D 的一个聚点，A 是一2RD0P个确定的实数，若对任给正数 ，总存在某正
24、数 ，使得当时，都有 ，则称 f 在 D 上当 时，以 A);P(U0 A)P(f 0P为极限，记作 或)(flimDP0li0P当 P, 分别用坐标（x, y）, 表示时，也记作 0 )y,x(0例 A)x(fli),()y,x07li22)1,(y,x4.1 重极限定义 1 设 f 为定义 在上的二元函数， 为 D 的一个聚点，A 是一2RD0P个确定的实数，若对任给正数 ，总存在某正数 ，使得当时，都有 ，则称 f 在 D 上当 时，以 AD);P(U0 A)P(f 0P为极限，记作 或)(flimDP0li0P当 P, 分别用坐标（x, y）, 表示时，也记作 0 )y,x( )y,x
25、(flim),()y,x0说明：二元函数的极限运算法则与一元函数类似。这里的极限称重极限。例 依定义验证 。7)(li22)1,y,x( 例 设 证明)0,(y,x,0),f2 0)y,x(fli)0,y,x(例 （补充）求极限 2)0,(y,xsinlm判断极限存在的充要条件和极限不存在的方法及应用：定理 16、5 的充要条件是：对于 D 的任一子集 E，只要 是A)P(fliD0 0PE 的聚点就有 。)(flimEP0推论 1 设 ， 是 的聚点，若 不存在，则 也不101)P(flim1E0)P(flimD0存在。推论 2 设 ， 是它们的聚点，若存在极限 ，DE,210P 1PA)(
26、fli1E0但 ，则 不存在。2PA)(flim2E021)(flimDP0推论 3 极限 存在的充要条件是：对于 D 中任一满足条件)(fliDP0且 的点列 ，它所对应的函数列 都收敛。0nPnlin )P(fn例 讨论 当 时是否存在极限。2yx),(f)0,(,(例 讨论二元函数 当其 余 部 分 时当,0x,y1)y,x(f2时极限不存在。)0,(y,x(定义 2 设 D 为二元函数 f 的定义域， 为 D 的一个聚点，若对任0P)y,x(给正数 M，总存在 的一个 邻域，使得当 时，都有 0P);(U0，则称 f 在 D 上当 时，存在非正常极限+，记作 )P(f0或)y,x(li
27、m),()y,x0 )(flim0P类似可定义 ，)(fli0P )(fli0P例 证明 2)0,(y,xy31lim4.2 累次极限定义 3 设 ， 是 的聚点， 是 的聚点，二元函数 f 在RE,yx0xE0yE集合 上有定义，若对每一个 ，存在极限 ，D,)y,x(limEx0由于此极限一般与 y 有关，记作 ,而且进一步存在极限)yx(flim)y(Ex0，则称此极限为二元函数 f 先对 x 后对 y 的累次极限，)(limLyE0 )(0)(0并记作 , 或简记作 )yx(fli0yE ),(fliL0xy类似可定义先对 y 后对 x 的累次极限 )y,(flimK0yx说明：重极限
28、和累次极限的存在性没有必然的蕴涵关系（举例见教材的三个例子） 。但在一定条件下也有联系。定理 16、6 若 在点 存在重极限 与累次极限),(f)y,(0 ),x(fli)y,(),x0，则它们必相等。y,xlim0yx推论 1 若累次极限 ， 和重极限)y,x(flim0y)y,x(fli0yx都存在，则三者相等，)y,x(flim),()y,x0推论 2 若累次极限 与 存在但不相等，则重),(fli0xy ),(fli0yx极限 必不存在。),(fli)y,x(),0结论本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法,以上只是众多求解极限方法的一小部分，或许并不全面，大家如有兴趣可以继续探索
29、新的求解方法。因为数学知识博大精深，我们目前只接触到一点点而已，我们应不停的接受知识，虽然我们还处在那数学的基础层，但这并不妨碍我们对数学的喜爱与学习。参考文献1 华东师范大学数学系编 数学分析（上下册）第三版 高等教育出版社2 陈文灯，黄先开主编 考研数学复习指南（理工类） 世界图书出版公司3 侯风波主编 高等数学第二版 高等教育出版社4 陈守信编著 数学分析选讲 机械工业出版社致谢这次毕业论文能够得以顺利完成，自始至终都是由桂老师全面、具体的指导之下进行的。桂老师渊博的学识、敏锐的思维、民主而严谨的作风，使我受益非浅，终生难忘。桂老师严谨的治学态度和对工作的兢兢业业、一丝不苟的精神将永远激励和鞭策我认真学习、努力工作。在此还要感谢帮助过我的同学和一直关心支持着我的朋友对我的教诲、帮助和鼓励。我要在这里对他们表示深深的谢意！感谢身边所有的朋友与同学，谢谢你们四年来的关照与宽容，与你们一起走过的缤纷时代，将会是我一生最珍贵的回忆。
