1、第九讲 重积分1 二重积分及其性质的几何意义：表示以曲面 为曲项，母线 轴的柱面及,Dfxyd :,0zfxyz在 平面上的投影； 为所构成的柱体体积。xoyD性质： 为常数， ；k,DDkfdkfd 12, kfxyxy ；,kDDDff ， 为 的面积；dvA ； ；12kDD 12,kijD （比较定理）设 恒有 ，,xy,fxyg则有： ；DDfdgd（估值定理）设 恒有 ，,xy,mfxyM则有： ， 为 的面积；DmAfA（中值定理）设 在闭区域 上连续，则在 内至少 一个 ，使：,xyD,， 为 的面积；,Dfxydf（对称性） 设积分域 关于 轴对称，则：x *0, ,2,DD
2、fxyfxyfxfydfyd 当 对 为 奇 函 数当 对 为 偶 函 数其中， 为 在 轴的上半部分。*x 设积分域 关于 轴对称，则：y *0, ,2,DDfxyfxyffxdfxd 当 对 为 奇 函 数当 对 为 偶 函 数其中， 为 在 轴的上半部分。* 设积分域 关于直线 轴对称，则：Dyx。,fxydfd注意：当积分区域 的边界线与坐标轴的直线 的交点超过两个时，要将 划分成若l D干小块，使之满足要求。123DDI例 1：求下列积分（1） 2:xydxya（2）222:D Rab（3） sin:0,xydDxy解：（1）由对称性有： 223Dyd232DDxydx240ada（
3、2）由对称性有：2222,DDDxyxydb2 2211Dxyddaba22Dxyb2342 2011Rdaab（3） sinsinsinDDDIxydyxxyd。202 二重积分的计算一二重积分的解题程序 画出积分域 的草图； 选择坐标系，选系主要依据 的形状，又时也参照被积函数 的形式；D,fxy） 为折边形， ， ， 用直角坐标系，面积元素D；dxy） 为扇形或者圆形或者环形， ， ， ， 用极坐标系，面积元素 ；坐标变换dcosinx 选择积分次序，选序的原则：）先积分容易并能为后积分创造条件；）对积分域 的划分块越少，越好。D 确定累次积分的上下限：,Ddxfyfxyx定限口诀：后积
4、先定限 （上下限为常数）限内划条线 （该线坐标轴）先交下限写 （上下限或者为常数，或者为后积分变量的函数）后交上限见；21,bxaIdfyd 02 31 01, ,xxbxaxIffyd；,dycIfd例 2：交换 的积分次序后为： 10,xIdfyd（A） ； （B） ；10,xIyfx（C） ； （D） ； 选 D。10,Iyfx dd二极坐标系中累次积分限的确定 ?, cos,inDIfdf 当极点 在积分域 的边界外时：o；21s,iIfd 当极点 在积分域 的边界上时：；0cos,inIdfd 当极点 在积分域 的边界线内时：oD20,iIf21cosndd三重要题型 题型之一：更换
5、累次积分的积分次序解题程序： 由给出累次积分的上下限写出积分域 所满足的不等式组；D 由不等式组画出积分域 的草图； 写好新的累次积分，由定限口诀确定上下限。例 3：有极坐标系的累次积分 确定直角坐标系下的cos20,sinIdfd累次积分 ： （A） ； （B） ；210,yIdfx 10,yIfx（C） ； （D） 。2xdydd分析： ：D 222210coscosxyxy 例 4：更换如下积分的次序：（1） ；1214, ,y ydfxdfxd（2） ；20,0axfa解：（1） ， 1:D42y2:D1yx21,xIdfy（2） :D20axx由 22yya123DDI2 2 20
6、0, , ,ayaay ydfxdfxdfxd 例 5：计算 。10 0lnbaxb解： ；111000|b byyyaaaIddxxdln|l1bbaay例 6：计算 。2420sisinxxIdydy解： ， 1:Dxy2:D2y211sinsiny yxxIdddy222211co|cosinsi2y ydy212323484sin|题型之二：选择积分次序凡遇到积分： 22122,sin,cos,xxxededxd1in,xcos,d均应后积分；sin,l例 7：求下列积分：（1） 由 所围成的三角形；2,yDxed0,1,oAB（2） ：,lny5xy（3） 由 及 轴所围成的图形；,
7、1xDedln,2解：（1） 2 2113000yyIedxed22111000666tyyt te；1110| 3ttede（2） ；5551111ln|4lnxxIyyd （3） 2lnlnln10xy xyxDeIdee2 2l 201ln1 1| l|lxyx d题型之三：选择坐标系例 8：求由 所围成的形体的体积。,0zxyxy（注意柱面，旋转面，球面，椭球面，单叶双曲面，锥面，旋转抛物面的性质。 ）解： 10 724yDVdxdx例 9：求由 与 所围成的形体的体积和形体的表面积。2zxy2z复习： 与 轴的直线的交点只有一个，则曲面的面积的计算公,式为: ,其中的 是曲面在 平面
8、上的投影。21xyDAzdDxoy解：先求两面的交线： 22zxyz，即 ；25401,4()zz或 舍 21xy22 20 56DVxydd 表面积 锥的表面积+旋转面的表面积A；2 22,xyzxyzzyxx锥 2 ,x旋2221 14D DxyAdxxydy 212 204xdy3225杂例：例 10：设 连续，且 ，求 。fx220xytFtfxyd0,F解： ；2 20 0t tFtdfdf； ,t；2 2000limlilim0t t tfFftftt 例 11：求下列积分（1） 21:2DxyxdDy（2） 1:4y解：（1）令： 220yxx2 212110 209xDIdyd
9、y（2） 2xyx121 221DDDIydxydx20 015d3 三重积分的积分程序：,fxyzv 画出 的草图； 根据 的形状选择坐标系；）若 是由平面所围图形，用直角坐标系： ；dvxyz）若 是柱体，锥体或者由旋转面与平面所围形体，用柱坐标系；坐标变换：cosin,xyvzz）若 是锥体或球体，用球面坐标系；坐标变换： 2sicon,sinxrydvrdz 选择积分次序一般讲，求坐标系中积分的次序： 2sinco,sin,cosinIdfrrrdr）先一后二法： ；?,DIdxyfzd）先二后一法： ；?,Ify例 1：计算 ， 是由 与 及 所21Iyxdyz21xz21y围形体。
10、解：先二后一法：12DIdxydz221121xxzyd3210cosdrr3 3222111sxx3221 cosd。2sin452 163cos32854x 例 2：计算 ， 是柱面 与平面 及 所围2Ixydz216xy4zx0z的形体。解： 420xDIz2xydy40 512cos3d例 3：计算 ， 是由 与 所围形体。22Ixyzx2zxy1z解： ； ；1zcosr24y。1224cs00 1in6Idrd例 4：计算 ， 是由平面曲线 绕 轴旋转所得旋转面与2Ixyv20zyx所围形体。,8z复习： ；20yx 2,0fxzyx绕 旋 转绕 旋 转解： 旋转面：2zy21 28 82 2xyDDIxdzxydz2848220036
