1、1,经济数学 第一部分 微积分,国际商学院 蔡连侨,2,第1章 函数,1.1 预备知识 1.2 函数概念 1.3 函数的几何特征 1.4 反函数 1.5 复合函数 1.6 初等函数 1.7 常用经济函数,3,1.1 预备知识,1.集合:,具有某种特定性质的事物的总体.,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,有限集 列举法,无限集 描述法,4,数集分类:,N-自然数集(非负整数),Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,数集间的关系:,例如,不含任何元素的集合称为空集.,例如,规定,空集为任何集合的子集.,5,2.区间,称为开区间,称为闭区间,6,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限（无穷）
2、区间,有限区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为有限区间的长度.,7,3.绝对值:,运算性质:,绝对值不等式:,8,4.邻域:,9,有的书用如下记号:,10,1.常量与变量,在某过程中数值保持不变的量称为常量,通常用字母a, b, c等表示常量,而数值变化的量称为变量.,变量的取值范围称为变域。若为区间，则变量是连续变量，否则为离散变量.,用字母x, y, t等表示变量.,1.2 函数概念,11,因变量,自变量,2.函数概念,12,自变量,因变量,对应法则f,函数的两要素:,定义域与对应法则.,约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值，在实际背景的函数中的按实际意义确
3、定.,13,例1,解,14,3.函数表示法,15,16,(1) 取整函数 y=x x表示不超过 的最大整数,阶梯曲线,两个常见函数,17,(2) 取最值函数,18,1.3 函数的几何特征,有界,无界,1函数的有界性,19,20,2函数的单调性,21,22,例4,解,23,3函数的奇偶性,偶函数,24,奇函数,25,例5,解,26,4函数的周期性,27,1.4 反函数,28,29,1.5 复合函数,定义:,30,注意:,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,31,1.6 初等函数,2、幂函数,一、基本初等函数,1、常数函数,32,3、指
4、数函数,33,4、对数函数,34,5、三角函数,正弦函数,35,余弦函数,36,正切函数,37,余切函数,38,余割函数,39,正割函数,40,6、反三角函数,41,42,43,常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,44,二、初等函数,定义： 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,45,1.需求函数：,2.供给函数：,3. 总成本函数TC(Q)、总收入函数TR(Q)和总利润函数L(Q)： TR(Q)=P Q TC(Q)=固定成本FC+变动成本VC(Q),1.7 常见经济函数,46,4、常见生产
5、函数: （1）线性生产函数,（2）Cobb-Douglas生产函数,（3）常替代弹性生产函数,5 消费函数与储蓄函数,表示国民收入,表示居民的储蓄,储蓄函数,消费函数,表示居民的消费支出,47,47,第2章 极限与连续,2.1 数列极限 2.2 函数极限 2.3 无穷大量与无穷小量 2.4 函数的连续性,48,48,2.1 数列极限,一、概念的引入 二、数列的定义 三、数列极限的描述性定义,49,49,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,一、概念的引入,1、割圆术,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 刘徽,50,50,2、截杖问题,“一尺之棰，日
6、截其半，万世不竭”,51,51,二、数列的定义,例如,52,52,问题:,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,通过描点画图可观察到:,三、数列极限的定义,53,如果数列极限不存在,就说数列是发散的.,注：,54,几何解释:,其中,55,55,56,56,57,57,58,58,2.2 函数极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限 二、自变量趋向有限值时函数的极限,59,59,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,60,60,通过图形可观察到:,61,1、定义：,62,2、另两种情形:,63,3、几何解释:,64,64,二、自变量趋向有限值时函数的极限,65,1、定义：
7、,66,2、几何解释:,注：,67,例1,证,函数在点x=1处没有定义.,68,68,3.单侧极限:,例如,69,69,左右极限存在但不相等,例2,证,70,70,三、如何理解函数极限？,例3 求,解,71,2.3 函数极限的性质及运算法则,一、函数极限的运算法则 二、函数极限运算法则的应用,72,一、函数极限运算法则,推论1,73,二、函数极限运算法则的应用,例4,解,74,例5 求,原式,解,75,例6,解,小结:,(),76,两个重要极限,例7 求,解 原式,(),77,77,2.3 无穷大量与无穷小量,一、无穷大量与无穷小量 二、无穷小量阶的比较 三、等价无穷小量在极限运 算中的应用举
8、例,78,78,一、无穷大量与无穷小量,例如,79,79,特殊情形：正无穷大，负无穷大,性质：在同一过程中，有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量.,80,80,二、无穷小量阶的比较,例如,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,观察各极限,81,81,82,82,83,83,84,84,85,85,86,86,2.5 函数的连续性,一、函数的连续性 二、函数的间断点 三、初等函数的连续性 四、闭区间上连续函数的性质,87,87,一、函数的连续性,88,单侧连续(定义2.10),89,89,二、函数的间断点,90,90,例10,解,91,91,例11,解,跳跃间断点与可去间断点统
9、称为第一类间断点.,92,第二类间断点：,例12,解,93,例13,解,94,三、 连续函数的性质,性质2.16,例如,定理2.3 基本初等函数在定义域内是连续的.,一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,95,1、最大值和最小值定理,定义:,例如,四、闭区间上连续函数的性质,96,定理 2.5(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,定理2.4(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,97,2、介值定理,定义:,98,几何解释:,几何解释:,99,例14,证,由零点定理,100,100,作业 1、计算下列极限：
10、,2、设,，讨论,是否存在？,在,处连续，则a应为何值？,3、设,101,101,第3章 导数与微分,3.1 导数概念 3.2 导数运算与导数公式 3.3 复合函数求导法则 3.4 微分及其计算 3.5 高阶导数 3.6 导数和微分在经济学中的简单应用,102,102,一、问题的提出,1.自由落体运动的瞬时速度问题,如图,取极限得,3.1 导数概念,103,103,如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,极限位置即,2.切线问题,割线的极限位置切线位置,104,104,二、导数的定义,定义,105,105,其它形式,即,106,106,注:,2.导
11、函数(瞬时变化率)是函数平均变化率 的逼近函数.,107,107,例1,解,三、由定义求导数,108,108,2.右导数:,定义3.2 单侧导数,1.左导数:,四、函数在可导点的局部性质,109,109,例2,解,110,110,一、导数的四则运算,性质3.2,3.2 导数运算与导数公式,111,111,二、导数基本公式,112,112,例3,解,例4,解,同理可得,113,113,例5,解,114,114,一、复合函数的求导法则,性质3.3,即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则),3.3 复合函数求导法则,115,115,例6,解,推广,11
12、6,116,例7,解,例8,解,117,117,例9,解,118,118,二、隐函数求导法则,定义:,隐函数的显化,问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,119,119,例10,解,解得,120,120,三、分段函数求导,例11,解,121,121,122,122,3.4 微分及其计算 一、定义,定义3.3,(微分的实质),123,123,例12,解,性质,124,124,二、微分的几何意义及其在近似计算的应用,M,N,）,几何意义:(如图),125,125,例13,解,计算函数的近似值,126,126,127,127,三、微分的计
13、算,求法:,例14,解,128,128,一、高阶导数的定义,问题:变速直线运动的加速度.,定义3.4,3.5 高阶导数,129,129,记作,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,二阶导数的导数称为三阶导数,130,130,例15,解,131,131,3.6导数与微分在经济学中的简单应用,一、函数的变化率-边际函数,132,132,二、边际分析,133,133,134,134,135,135,136,136,三、弹性-函数的相对变化率,137,137,138,138,可以进一步分析价格变化对总收益的影响。,139,139,140,作业,一、计算下列函数的导数：,二、
14、设,是由方程,所确定的隐函数，求,三、设,，求,141,141,第四章 导数的应用,4.1 洛必达法则,4.2 函数的单调性与凹凸性,4.3 函数的极值与最大（小）值,4.4 函数作图,142,142,定义,例如,4.1 洛必达法则,143,143,法则4.1（ 型）,定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达（LHospital）法则(有的翻成“罗彼塔法则”).,144,144,法则4.2（ 型）,145,145,例1,解,例2,解,146,146,用洛必达法则时须注意三点：,例3,解,注1：结合其他方法（如等价无穷小量替换）使 用，效果更好,注2：有
15、时须连续使用该法则,147,147,例4,解,洛必达法则失效。,注4：洛必达法则的使用条件,极限不存在,148,148,一、一阶导数的符号与函数的单调性,性质,4.2 函数的单调性与凹凸性,149,149,问题:函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,函数在定义区间上的驻点（导数为零的点）和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法:,150,150,例5,解,严增区间为,1,2,严减区间为,151,151,例6,解,严减区间为,严增区间为,152,152,三、二阶导数符号与函数的凹凸性,问题:如何研究曲线的弯曲
16、方向?,图2：图形上任意弧段位 于所张弦的上方,图1：图形上任意弧段位于所张弦的下方,153,153,定义4.2,154,154,性质,（经济学中边际效用递减，从数学角度就是二阶导数小于零）,155,155,例7,解,注意到,156,156,定义4.3,157,157,例8,解,下凸,上凸,下凸,拐点,拐点,158,158,定义4.1,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,一、极值的概念,4.3 函数的极值与最大（小）值,159,159,性质4.4,二、极值的求法,160,160,性质4.5(第一充分条件),(是极值点情形),161,161,求极值的步骤:,(不是极值
17、点情形),162,162,例9,解,列表讨论,极大值点,极小值点,163,163,性质4.6(第二充分条件),例10,解,164,164,三、最值的求法,1.求驻点和不可导点，求 极大值（或极小值）;,165,165,2.,166,166,四、应用举例,例11,解,计算,比较得,167,167,实际问题求最值应注意:,(1)建立目标函数;,(2)求最值;,168,168,例12,某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？,解,租出去的房子有 套
18、，,每月总收入为,（唯一驻点）,故每月每套租金为350元时收入最高，最大收入为,169,169,例13,解,170,170,一、渐近线,1.垂直（或铅直）渐近线,4.4 函数作图,例如,有垂直渐近线两条:,171,171,2.水平渐近线,例,有水平渐近线两条:,172,172,3.斜渐近线,斜渐近线求法:,173,173,例14,解,174,174,175,175,二、作图举例,例15,解,非奇非偶函数,且无对称性.,176,176,列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点:,不存在,拐点,极值点,间断点,上凸,下凸,下凸,下凸,177,177,作图,178,作业,一、求极限.二、求极值.
19、,178,2.,； 2.,179,179,第五章 不定积分和定积分,5.1 不定积分的概念 5.2 不定积分的计算方法 5.3 定积分的概念和性质 5.4 微积分基本定理 5.5 定积分在经济学中的应用 5.6 无穷限积分,180,180,5.1 不定积分的概念,一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的基本性质 三、基本积分公式,181,181,例,一、原函数与不定积分的概念,定义5.1,注: 原函数不唯一,但不同的原函数之间只差一个常数.,182,182,定义5.2（不定积分的定义）,若 是 在区间 内的一个原函数，则,的原函数的一般表达式,即,注：求不定积分即为求原函数，不定积分和原函数
20、是计算定积分、重积分与解微分方程的基础，故很重要.,183,183,解,例1 求,二、不定积分的基本性质,184,184,例2 求积分,解 原式,（3）,（4）,185,185,结论：,1、微分运算与求不定积分的运算是互逆的； 2、检验积分结果是否正确，可对结果求导，看 是否等于被积函数；,三、 基本积分公式,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,186,186,基本积分公式 ,187,187,188,188,例3 求积分,解 原式,例4 求积分,解 原式,189,5.2 不定积分的计算方法,一、换元积分法 二、分部积分法,190,问题,？,解决方法,利用复合函数，设置中间变量.,过程,
21、令,一、第一类换元法 （一）第一类换元法,191,第一类换元公式（凑微分法）,说明,使用此公式的关键在于将,化为,观察重点不同，所得结论不同.,定理1,192,例5 求,解（一）,（二）,（三）,193,例6 求,解,一般地,194,常用凑微分情形,195,196,常用的三角函数关系式 ,1.积化和差公式：,2.倍角公式,3.平方公式,197,问题,解决方法,改变中间变量的设置方法.,过程,令,（应用“凑微分”即可求出结果）,（二）第二类换元法,198,定理2,199,例7 求,解,令,注1 用换元法得到的结果，必须代回原变量,200,注2,上例所使用的为三角代换.,三角代换的目的是化掉根式.
22、,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,201,注4,当分母的阶较高时, 可采用倒代换,例8 求,令,解,积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.,注3,202,例9 求,解,令,203,常用积分公式,204,205,例10 求,解,注6,根据被积函数的类型直接或经过简单的变形后，套用基本和常用的积分公式.,用公式(18）,206,问题,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则.,则有分部积分公式,二、分部积分法,定理5.3,（1）,不易求,易求,分部积分法,207,例11 求积分,解（一）,令,显然， 选择不当，积分更难进行.,解（二）,令,20
23、8,209,解,原式,210,例13 求积分,解,（再次使用分部积分法）,注1：连续多次应用分部积分公式时 的选择要一致。 注2： 分部积分公式还可导出积分递推公式不作要求。,211,如,注：不定积分与求导是互逆运算，但前者要难于后者，原因有二： 1、无固定的步骤可循； 2、有些不定积分无法用初等函数表示。 初等函数在其定义域内连续，故其原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数.,212,212,5.3 定积分的概念和性质,一、问题的提出,二、定积分的定义,三、定积分的基本性质,213,213,实例 （求曲边梯形的面积）,一、问题的提出,214,214,用矩形面积近似曲边梯形面积,显然，小矩
24、形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,215,215,曲边梯形如图所示，,(1)分割,(2)近似代替（以直代曲）,216,216,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,(3)求和,(4)取极限,217,217,二、定积分的定义,定义,218,218,记为,积分下限,积分和,积分上限,219,219,三、定积分的基本性质,性质1,性质2,性质3,220,220,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,四、定积分的几何意义,221,221,例14.利用定积分的几何意义，说明下列等式：,222,222,5.4 微积分基本定理,一、积分上限函数及其导数 二、牛顿莱布尼茨
25、公式,223,223,考察定积分,记,积分上限函数,一、积分上限函数及其导数,积分上限变量，在 上变化,积分变量，在 上变化,（变上限积分）,224,224,积分上限函数的性质,故该定理又称原函数存在定理,225,225,例15 求,解,226,226,例16 求,解,227,227,定理（微积分基本公式）,二、牛顿莱布尼茨公式,例17 求,原式,解,228,228,例18 求,解,229,229,5.5定积分在经济学中的简单应用,230,230,解,231,231,232,232,233,233,解,234,5.6 无穷限积分（*）,235,236,237,例21 计算无穷限积分,解,238
26、,作业,一、计算下列积分.二、求极限 三、已知某产品的边际成本和边际收益函数分别为 固定成本为100,其中 q为销售量， C(q)为总成本， R(q)为总收益，求最大利润。,238,239,239,第六章 多元函数微分学,6.1 多元函数极限和连续性 6.2 偏导数与全微分 6.3 高阶偏导数与高阶全微分 6.4 二元函数的极值和最值 6.5 二重积分,240,240,或,. n元函数的定义,6.1 多元函数极限和连续性,241,241, 注：,二元与二元以上的函数统称为多元函数,242,242,、多元函数的极限,243,243,例1 求极限,解,例2 证明 不存在,证,取,其值随k的不同而变
27、化，,故极限不存在,244,确定极限不存在的方法：,245,245,3、多元函数的连续性,定义,多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,246,246,6.2 偏导数,247,247,注1：,记为,解,248,248,249,249,解,解,250,250,纯偏导,混合偏导,定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,一、高阶偏导数,6.3 高阶偏导数,251,251,解,及,在区域 D内连续,252,252,1、二元函数极值的
28、定义,一、多元函数的极值和最值,6.4 多元函数的极值,253,253,(1),(2),(3),例7,例8,例9,254,254,2、多元函数取得极值的条件,注1：,注2：,要求极值（或最值)的函数称为目标函数.,255,255,256,256,257,257,解,解方程组,258,258,3、多元函数的最值,求闭区域上连续函数的最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.,求实际问题的最值的一般方法：若根据问题的性质知道函数的最大（小）值一定在D内部取得，且函数在D内部只有一个驻点，则可断定该驻点处的值即为函
29、数在D上的最大（小）值.,259,259,解,260,260,261,261,二、条件极值拉格朗日乘数法,262,262,263,263,264,264,解,265,265,266,6.5 二重积分（*）,一、二重积分的概念和性质 二、二重积分的计算,267,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,曲顶柱体,曲顶柱体的体积,一、二重积分的概念和性质 （一）问题的提出,268,步骤如下：,先将区域 分成 个互不相交的小区域 以 表示第 个小区域的面积.整个曲顶柱体可分割成 个小曲顶柱体.,用 表示第 个小区域内任意 两点间的距离的最大值， 称之为第 个小区域的 直径，且记,小曲顶柱体可看作平顶
30、柱体.,曲顶柱体的体积,269,（二）二重积分的概念,270,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,注：,271,二重积分的几何意义,当 时，二重积分是柱体的体积,当 时，二重积分是柱体的体积的负值,272,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，如右图,故二重积分可写为,则面积元素为,273,性质1,性质2,（二重积分与定积分有类似的性质）,（三）二重积分的性质,274,如果积分区域为：,其中函数 、 在区间 上连续.,二、二重积分的计算,X型,利用直角坐标系计算二重积分,主要方法：将二重积分划成两次定积分的计算， 称为累次积分法.,275,如果积分区域为：,Y型,276,X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y-型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,则必须分割.,277,278,解,279,解,例14,280,无界区域上的反常二重积分,例15,解,281,282,作业,一、求极限.二、设 ，求 三、求 的极值.,282,
