1、前言一、上机实验目的 上机实验的目的是提高学生对算法的理解程度，并掌握用实用工具进行数值计算的方法，通过实践环节理解数值分析的应用和研究方法。 二、实验基本内容 本课程实验内容分为 6 个实验。学生可以在课内机时先完成指导书中给出的程序或验证算法，理解所学的知识，在此基础上再编写其他应用程序。指导书中的 15 个实验如下。 1拉格朗日插值法。2最小二乘拟合。 3数值积分。 4范数计算和 LU 分解。 5牛顿迭代法。 6龙格库塔法。 三、实验任务与时间安排 本课程是一门实践性很强的课程，除了在课内安排的实验外，鼓励同学在课外用相关技术 进行编程练习。具体实践课时安排如下：实验序号周次 实验内容
2、拟实验时间实验形式 所需教师数所需实验仪器备注1 2，4 拉格郎日插值法 4 设计性 12 6 最小二乘拟合； 2 验证 13 8 数值积分； 2 验证 14 10 范数计算 2 验证 15 12 LU 分解 2 验证 16 14 牛顿迭代法 2 验证 17 16 龙格库塔法 2 验证 1实验指导书实验 1 拉格朗日插值法一、实验目的1 了解 lagrange 插值法的基本原理和方法；2 通过实例掌握用 MATLAB 求插值的方法；3 编程实现 lagrange 插值二、实验内容1在 matlab 中 command 窗口或新建 M 文件运行以下程序 x0=0.4 0.5 0.6 0.7 0.
3、8;%输入节点的 X 值 y0=-0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.356675 -0.223144;%输入节点的 Y 值 T=interp1(x0,y0,0.54,linear); %对插值节点使用线性插值并计算 0.54 处的函数值，改变红色处的参数可得到不同的插值结果，可选项为cubic, nearest, spline等。 x=0.2:0.05:1.0;%从 0.2 开始到 1.0 每隔 0.05 取一个待求点 y=interp1(x0,y0,x,linear);%用插值法求出待求点对应的函数值 y plot(x0,y0,r*);%用红色星号标出插值点对
4、hold on;plot(x,y);%蓝色线为所得的插值函数图形2用 C 语言或 matlab 编写实现 lagrange 插值，要求：数据输入项（函数参数）为：插值节点及函数值，及待求点 x 的值输出为待求点 x 对应的函数值（程序流程图如下所示）输入 xi,yi,及 n,x,k=0y = 0P =1j=0,1nk=j?P = P*(x-xj)/(xk-xj)y = y+P*ykk=k+1输出 x,y kn三、实验步骤1开启软件平台MATLAB，编程可以选用自己熟悉的软件； 2根据各种数值解法步骤编写 M 文件3观察运行结果(数值或图形) ；四、实验要求与任务每个同学独立完成编程，并在课后提
5、交程序；同时验证 matlab 中相应函数的用法。实验 2 最小二乘拟合一、实验目的1 了解最小二乘拟合的基本原理和方法；2 掌握用 MATLAB 作最小二乘多项式拟合和曲线拟合的方法；3 通过实例学习如何用拟合方法解决实际问题，注意与插值方法的区别。4 了解各种参数辨识的原理和方法；5 通过范例展现由机理分析确定模型结构，拟合方法辨识参数，误差分析等求解实际问题的过程；二、实验内容1用 MATLAB 中的函数作一元函数的多项式拟合与曲线拟合；2用 MATLAB 中的函数作二元函数的最小二乘拟合，作出误差图；3针对预测和确定参数的实际问题，建立数学模型，并求解。三、实验步骤1开启软件平台MAT
6、LAB，开启 MATLAB 编辑窗口； 2根据各种数值解法步骤编写 M 文件3观察运行结果(数值或图形) ；四、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下具体实验 旧车价格预测某年美国旧车价格的调查资料如下表，其中 xi表示轿车的使用年数，y i表示相应的平均价格。试分析用什么形式的曲线来拟合上述的数据，并预测使用 4.5 年后轿车的平均价格大致为多少？xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10yi 2615 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204多项式函数拟合：a,s=polyfit(xdata,ydata,n)其中 n 表示多项式的最高阶数，xda
7、ta，ydata 为将要拟合的数据，它是用数组的方式输入输出参数 a 为拟合多项式 11nnaxay 的系数 ,11na ,s为误差。另：多项式在 x 处的值 y 可用下面程序计算y=polyval(a,x)，对上面给出的数据做多项式拟合，可取不同的 n 观测此时的误差，看取什么样的 n 较好。并在 matlab 中画出拟合曲线( 取拟合曲线上若干个点对，用 plot 命令实现)实验 3 数值积分一、实验目的1 了解数值积分的基本原理和方法；2 掌握用 MATLAB 求积分的方法；3 通过实例学习如何用几种方法求积分。4 了解书上介绍的几种数值积分的不同原理和方法；二、实验内容1用 MATLA
8、B 中的 QUAD 函数求出作业所示函数的数值积分；2用 MATLAB 中的 QUADL 函数求出作业中所示函数的数值积分。三、实验步骤1开启软件平台MATLAB ，开启 MATLAB 编辑窗口； 2根据各种数值解法步骤编写 M 文件3观察运行结果(数值或图形 )；四、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下具体实验 根据提示计算积分dxe102实验提示：1 Quad 函数的使用方法，参数意义Q = QUAD(FUN,A,B)Fun 为待求积的函数A,B 为积分区间Quad 函数是使用误差为 10-6 的递归自适应 Simpson 公式计算 Fun 函数在 A，B 区间上的积分值。例子（摘自
9、帮助）：求 dxx203511）首先，定义 myfun 函数为待求积函数function y = myfun(x)y = 1./(x.3-2*x-5);2）计算数值积分Q = quad(myfun,0,2);2 Quad8 函数的使用方法，参数意义Q = QUAD8(FUN,A,B)Fun 为待求积的函数A,B 为积分区间Quad8 函数是使用误差为 10-3 的递归自适应 Newton-Cotes 8 公式计算 Fun 函数在A，B 区间上的积分值。它是收敛速度比较高的一种方法，有些版本已经将此函数改为QUADL具体使用方法同 quad3 QUADL 函数的使用方法，参数意义Q = QUAD
10、L(FUN,A,B)Fun 为待求积的函数A,B 为积分区间Quad8 函数是使用自适应 Lobatto 求积公式计算 Fun 函数在 A，B 区间上的积分值。它也是收敛速度比较高的一种方法，具体使用方法同 quad注意，使用上面三个函数的时候 A，B ，Fun 函数的输出必须是以下三种类型的 float:，double，single实验 4 范数计算和 LU 分解一、实验目的1 了解矩阵范数的定义和常见的几种矩阵范数；2 掌握用直接法解线性方程组的常见几种方法；3 通过实例学习如何使用直接法中的 LU 分解求解线性方程组。4 掌握判断矩阵，线性方程组本身性质的方法条件数的计算；二、实验内容1
11、用 MATLAB 中的 NORM 函数求矩阵的范数；2用 MATLAB 中的 Cond 计算矩阵条件数；3用 MATLAB 中的 Chol 函数计算 Cholesky 分解（平方根） ，Lu 函数计算 Doolittle 分解。三、实验步骤1开启软件平台MATLAB ，开启 MATLAB 编辑窗口； 2根据各种数值解法步骤编写 M 文件3观察运行结果(数值或图形 )；四、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下具体实验 实验：1 用 H=Hilb（n）函数生成一个 n 阶 hilbert 矩阵 H， （n=4）2 计算生成的矩阵 H 的范数3 计算 H 的条件数4 用平方根法分解 A6851
12、37A5 ，B，C 是否存在三角分解，若存在则用 LU764123,12B分解实现。实验 5 牛顿迭代法一、实验目的1 了解求解非线性方程的解的常见方法；2 掌握用二分法，迭代法解线性方程组；3 通过实例学习用牛顿法分解求解非线性方程。4 掌握判断迭代法，牛顿法收敛的条件，和收敛阶的计算；二、实验内容1 用牛顿迭代法求方程 在区间（1，5）之间的根。0634223xx三、实验步骤1用 C 语言或 matlab 完成编程2观察运行结果实验运行结果；四、实验要求与任务根据实验步骤，完成以下具体实验 实验：1 按照以下流程图完成牛顿迭代法x = newton( fname,dfname,x0,e,N )2 调用牛顿迭代法的函数计算实验内容中第一题。实验 6 龙格库塔法一、实验目的1 了解 matlab 中提供的求解常微分方程解的常见方法龙格库塔法的函数ODE45,ODE32 的使用方法；二、实验内容求解1)0(2x三、实验步骤1在 command 窗口中输入 help ode32 或者 help ode45 查看相关的函数调用格式和使用算法的情况2用函数求解实验内容的原函数，并画相应的图。四、实验要求与任务根据实验步骤，先观察帮助里面提供的例子，然后再求解实验内容
