1、1,计算方法,第二章 插值法,2,第二章 插值法和最小二乘法,2.1 引言,2.2 拉格朗日插值多项式,2.3 差商与牛顿插值公式,2.4 差分与等距节点插值公式,2.5 分段低次插值,2.6 三次样条 插值,3,本章要点,用简单的函数(如多项式函数)作为一个 复杂函数的近似,最简单实用的方法就是 插值,本章主要介绍有关插值法的一些基本概念, 及多项式插值的基础理论和几个常用的插 值方法:Lagrange插值、分段线性插值、 Newton插值、Hermite插值和三次样条插值,4,自然地，希望g(x)通过所有的离散点,实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据； 或者f(x)过于复
2、杂而难以运算。这时我们要用近似函数g(x)来逼近f(x)。,5,2.1 引言,一、插值问题,6,-(1),这就是插值问题, (1)式为插值条件,7,其插值函数的图象如图,问题,是否存在唯一 如何构造 误差估计,8,9,二、代数插值多项式的存在唯一性,整体误差的大小反映了插值函数的好坏,为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函 数都使用代数多项式和有理函数,本章讨论的就是代数插值多项式,且满足,-(2),-(3),10,-(4),上述方程组的系数行列式为n+1阶Vandermond行列式,11,定理1.,由Cramer法则,线性方程组(4)有唯一解,-(2),-(3),则满足插值条件,的插
3、值多项式,存在且唯一.,虽然线性方程组(4)推出的插值多项式存在且唯一,但通过解线性方程组(4)求插值多项式却不是好方法,12,根据线性空间的理论,并且形式不是唯一的,且在不同的基底下有不同的形式,2.2 拉格朗日插值多项式,13,14,-(5),-(6),且满足(1)式,15,-(7),n+1次多项式,16,-(7),且,-(8),(请同学们思考),从而,17,令,即,由(8)式,可得,-(9),-(10),18,其中,-(7,7),-(11),19,例,解:,20,且,在例1中,如果只给出两个节点169和225,也可以作插值 多项式,即1次Lagrange插值多项式,有两个插值基函数, 这
4、种插值方法称为Lagrange线性插值,也可以在n+1个 节点中取相邻的两个节点作线性插值,21,Lagrange线性插值基函数为,Lagrange线性插值多项式为,参见图,22,例,解:,Lagrange插值基函数为,Lagrange线性插值多项式为,23,所以,Lagrange插值多项式的缺点：,插值基函数计算复杂,高次插值的精度不一定高,24,插值多项式中的误差,一、插值余项,满足,不会完全成立,因此,插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估 计这个截断误差呢？,25,令,设,其中,26,27,根据Rolle定理,再由Rolle定理,依此类推,由于,因此,28,所以,定理1.,Lagrange型余项,29,设,则,30,例,解:,31,32,例,并作图比较.,解:,33,不同次数的Lagrange插值多项式的比较图,Runge现象,34,结果表明,并不是插值多项式的次数越高,插值效果 越好,精度也不一定是随次数的提高而升高,这种现 象在上个世纪初由Runge发现,故称为Runge现象.,
