1、.第一讲: 极限与连续1. 数列函数:1. 类型:(1)数列: * ; *()naf1()nnaf(2)初等函数: (3)分段函数: * ; * ;*012()(),xfFx0(),xfFxa(4)复合(含 )函数: f,()yfu(5)隐式(方程 ): (,)0x(6)参式(数一 ,二): ()ty(7)变限积分函数: ,xaFftd(8)级数和函数(数一,三): 0(),nSx2. 特征(几何):(1)单调性与有界性(判别); ( 单调 定号)fx00,()(fx(2)奇偶性与周期性(应用).3. 反函数与直接函数: 11()()()yffyf二. 极限性质:1. 类型: * ; * (含
2、 ); * (含 ) limnali)xfx0lim)xf0x2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量):3. 未定型: 00,1,4. 性质: *有界性, *保号性 , *归并性三. 常用结论: , , , 1n1(0)na1()max()nnabcbc0!na., , , ,1(0)x0lim1xli0nxelnim0x, 0limnx,xe四. 必备公式:1. 等价无穷小: 当 时,()0ux; ; ;sin()xtan()ux:211cos()()ux:; ; ;()1uel1(); arcsi()x:arctx2. 泰勒公式:(1) ; 21()!xeox(2) ;2ln()(3) ; 3
3、4si()!xx(4) ;251coo(5) .2(1)() ()!xx五. 常规方法:前提: (1)准确判断 (其它如: ); (2)变量代换(如: )0,M0, 1tx1. 抓大弃小 , ()2. 无穷小与有界量乘积 ( ) (注: )1sin,x3. 处理(其它如: )10,4. 左右极限(包括 ):x(1) ; (2) ; ; (3)分段函数: , , )()e1(0)xexma()fx5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小 )(注: 非零因子)6. 洛必达法则 (1)先”处理”,后法则( 最后方法); (注意对比: 与 )01lnimx0li1x.(2)幂指型处理: (如: )()()
4、lnvxuxue11(xxee(3)含变限积分; (4)不能用与不便用 7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小8. 极限函数: ( 分段函数)()lim,nfxF六. 非常手段1. 收敛准则:(1) ()li()nxaff(2)双边夹: * , *?nnbac?nba(3)单边挤: * * *1()f21nM()0?fx2. 导数定义(洛必达?): 00lim()xfx:3. 积分和: ,10li()()nffffxdn4. 中值定理: ()lix xa5. 级数和(数一三):(1) 收敛 , (如 ) (2) ,1nalim0n2!lin121lim()nnnaa(3) 与 同敛
5、散n11()n七. 常见应用:1. 无穷小比较(等价,阶): * (),(0)?nfxk:(1) (1)()0)(nf fa ()()!nnafxx:(2) 00xxtdkt:2. 渐近线(含斜):(1) ()lim,li()xxfabfax()faxb:(2) ,( )f103. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, 连续性)(fx八. 上连续函数性质,ab.1. 连通性: (注: , “平均”值: )(,),fabmM010()1()fafbx2. 介值定理: (附: 达布定理)(1)零点存在定理: (根的个数 );()f0)fx(2) .()0xaf
6、d第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)一. 基本概念:1. 差商与导数: ; ()fx0()(limfxf: 0()fx00()limxf(1) (注: 连续) )0()lixf0lixfAf(,(ffA(2)左右导: ;0(),ff(3)可导与连续; (在 处, 连续不可导; 可导)x2. 微分与导数: )()fxfodfx:(1)可微 可导; (2)比较 与 的大小比较( 图示);,d“0二. 求导准备:1. 基本初等函数求导公式; (注: )fx2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数 1dxy三. 各类求导(方法步骤):1. 定义导: (1) 与 ; (2)分
7、段函数左右导; (3)()faxaf 0()()limhfxfh(注: , 求: 及 的连续性)0),Ffx0(),ffx(f2. 初等导(公式加法则):(1) , 求: (图形题);()ufg0)ux(2) , 求: (注: )xaFtdF(,)(,)(xbbaaaftdfxtdft(3) ,求 及 (待定系数)012(),fy0),fxf0f.3. 隐式( )导: ,0fxy2,dyx(1)存在定理; (2)微分法(一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法. 4. 参式导(数一,二): , 求:()xty2,dyx5. 高阶导 公式:()nf; ;()axnaxe ()11!)nnbax
8、x; ()sisi()2nn()coscos()2na()()1()(2)“nuvCuv注: 与泰勒展式: ()0nf 201() nfxaxa ()0!nf四. 各类应用:1. 斜率与切线(法线); (区别 : 上点 和过点 的切线)()yf0M02. 物理: (相对)变化率 速度 ; 3. 曲率(数一二): (曲率半径, 曲率中心 , 曲率圆)23“)(1fx4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润)五. 单调性与极值(必求导)1. 判别(驻点 ):0)fx(1) ; ;(:()0()fxfx:(2)分段函数的单调性(3) 零点唯一; 驻点唯一(必为极值 ,最值).
9、()0fx“()f2. 极值点:(1)表格( 变号); (由 的特点)f0002()()()lim,li,lim0xxxfffx(2)二阶导( )0f注(1) 与 的匹配( 图形中包含的信息);,“f.(2)实例: 由 确定点“ ”的特点.()()fxfgx0x(3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优)3. 不等式证明( )(0f(1)区别: *单变量与双变量? * 与 ?,xab,)(,)x(2)类型: * ; *,()fa0()f* ; *“00fb00“,()xffx(3)注意: 单调性 端点值 极值 凹凸性. (如: )ma)M4. 函数的零点个数: 单调 介值六.
10、 凹凸与拐点(必求导!):1. 表格; ( )“y0“fx2. 应用: (1)泰勒估计; (2) 单调; (3)凹凸.f七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点)1. 结论: ()(0Fbaf2. 辅助函数构造实例:(1) ()f()xaftd(2) 0()()gFxfgx(3) ()() ()ff(4) ; ()()0ff()xdFef3. 有 个零点 有 个零点nx1n(1)n24. 特例: 证明 的常规方法 :令 有 个零点( 待定)()nfa()nxfPx1(nPx5. 注: 含 时,分家!( 柯西定理 )126. 附(达布定理): 在 可导, , ,使:()fxb(),cf
11、aba()fc八. 拉格朗日中值定理1. 结论: ; ( )()()fbaf)(,(0.2. 估计: ()fx:九. 泰勒公式(连接 之间的桥梁),“f1. 结论: ; 23000 011)()“()“()2!3!fxxfxfx2. 应用: 在已知 或 值时进行积分估计a)fb十. 积分中值定理(附:广义): 注:有定积分(不含变限)条件时使用第三讲: 一元积分学一. 基本概念: 1. 原函数 :()Fx(1) ; (2) ; (3)f()()fxdF()()fxdFc注(1) (连续不一定可导 );()xatd(2) ( 连续)xxafftfx2. 不定积分性质:(1) ; ()()fdf(
12、)()dffd(2) ; xcxc二. 不定积分常规方法 1. 熟悉基本积分公式2. 基本方法: 拆(线性性)1212( ()()kfxgdxkfxkgdx3. 凑微法(基础): 要求巧,简 ,活( )sinco如: 2(),l,xdxabxdd2xd221,(ln)(ln)1x4. 变量代换:(1)常用(三角代换 ,根式代换 ,倒代换): 1si,xxtaxbtet(2)作用与引伸(化简): 21.5. 分部积分(巧用):(1)含需求导的被积函数(如 ); ln,arct,()xaxftd(2)“反对幂三指”: led(3)特别: (*已知 的原函数为 ; *已知 )()xf()fx()Fx
13、(fxF6. 特例: (1) ; (2) 快速法; (3)11sincosabd ,sinkxpedad()nvxdu三. 定积分:1. 概念性质:(1)积分和式(可积的必要条件 :有界, 充分条件:连续)(2)几何意义(面积,对称性 ,周期性,积分中值)* ; *220(08axda ()02baxd(3)附: , )()bafMb()bafxgdMg(4)定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重2: 变限积分 的处理(重点)()xaftd(1) 可积 连续, 连续 可导f(2) ; ; ()xatd()fx()()xxaatfdft()(xafdtafx(3)由函数 参与的求导, 极限
14、, 极值, 积分( 方程)问题aFt3. 公式: ( 在 上必须连续!)NL()()bafxdFba)x,b注: (1)分段积分, 对称性(奇偶), 周期性(2)有理式, 三角式, 根式(3)含 的方程.)baft4. 变量代换: ()xdfutdt(1) , 00()aaffa(2) (如: )0()()aafxdfxdtfxdx 41sindx(3) ,2201sinnnII.(4) ; ,2200(sin)(cos)fxdfxd 200(sin)(sin)fxdfxd(5) ,in5. 分部积分(1)准备时“凑常数”(2)已知 或 时, 求()fxxaf()bafxd6. 附: 三角函数
15、系的正交性 :222000sincossinco0ddm()xmxd2200sics四. 反常积分: 1. 类型: (1) ( 连续)(),(),)aafxdfxfxdf(2) : ( 在 处为无穷间断)b ,bcab2. 敛散; 3. 计算: 积分法 公式 极限(可换元与分部)NL4. 特例: (1) ; (2)1pdx10pdx五. 应用: (柱体侧面积除外)1. 面积, (1) (2) ;();baSfxg 1()dcSfy(3) ; (4)侧面积:21rd 221()bafxfdx2. 体积:(1) ; (2)22()bxaVfxgx 12()()dbycaVfyf(3) 与00y3.
16、 弧长: 2()dsxd(1) ,yfab21()basfxd(2) 12(),xtt212tyt.(3) : (),r22()srd4. 物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,5. 平均值(中值定理):(1) ;1,()baffxd(2) , ( 以 为周期: )00)limxtffT0(Tftd第四讲: 微分方程一. 基本概念1. 常识: 通解, 初值问题与特解 (注: 应用题中的隐含条件)2. 变换方程:(1)令 (如欧拉方程)()“xtyD(2)令 (如伯努利方程),uxuy3. 建立方程(应用题)的能力二. 一阶方程:1. 形式: (1) ; (2) ; (3)(,)yfx(,)(
17、,)0MxydNxy()yab2. 变量分离型: g(1)解法: ()()()dyfxGyFxC(2)“偏”微分方程 : ;,zf3. 一阶线性(重点): ()ypxq(1)解法(积分因子法 ): 0 0() 01()()xpdxMeyMqdxy(2)变化: ; ()xpyq(3)推广: 伯努利( 数一) ()pxyq4. 齐次方程: y(1)解法: (),duxuxu.(2)特例: 1122axbycd5. 全微分方程(数一): 且(,)(,)0MdNxyNMxyUC6. 一阶差分方程(数三): 1*0()()xxx nycayabpQb三. 二阶降阶方程1. : “()yfx12()Fc2
18、. : 令,“(,)dpypxyfx3. : 令“(,)yf(),fy四. 高阶线性方程: “()axybcxf1. 通解结构:(1)齐次解: 012()()()c(2)非齐次特解: *()yxcyx2. 常系数方程: “()abf(1)特征方程与特征根: 20c(2)非齐次特解形式确定: 待定系数; (附: 的算子法)axfke(3)由已知解反求方程.3. 欧拉方程(数一): , 令2“()axybcfx2“(1),tyDyx五. 应用(注意初始条件):1. 几何应用(斜率, 弧长, 曲率 , 面积, 体积);注: 切线和法线的截距2. 积分等式变方程(含变限积分 );可设 ()(),0xa
19、fdFxa3. 导数定义立方程:含双变量条件 的方程()fy.4. 变化率(速度)5. 2dvxFmat6. 路径无关得方程(数一): QPxy7. 级数与方程:(1)幂级数求和; (2)方程的幂级数解法: 20101,(),(0)axay8. 弹性问题(数三)第五讲: 多元微分与二重积分一. 二元微分学概念1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件),(1) 00000(),)(,)x yfxyfxfxy:(2) lim,li,limyxxyff(3) (判别可微性)22,li()xyfdfdfx:注: 点处的偏导数与全微分的极限定义 :(0,)0 0
20、(,)(0,)(,)(0,),lim(,)limx yx yff fff f2. 特例:(1) : 点处可导不连续;2(,)(,)0yxf0,(2) : 点处连续可导不可微;2(,)(,)0yfx,二. 偏导数与全微分的计算: 1. 显函数一,二阶偏导: (,)zfxy注: (1) 型 ; (2) ; (3)含变限积分yx0(,)xy2. 复合函数的一,二阶偏导(重点): (,),zfuxyv.熟练掌握记号 的准确使用“1212,fff3. 隐函数(由方程或方程组确定 ):(1)形式: * ; * (存在定理)(,)0Fxyz(,)0FxyzG(2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性): (
21、要求: 二阶导)0xyzdFd(3)注: 与 的及时代入0,)xy0z(4)会变换方程.三. 二元极值(定义?);1. 二元极值(显式或隐式):(1)必要条件(驻点); (2)充分条件(判别) 2. 条件极值(拉格朗日乘数法 ) (注: 应用)(1)目标函数与约束条件: , (或: 多条件),(,)0zfxy(2)求解步骤: , 求驻点即可.(,)()Lxy3. 有界闭域上最值(重点).(1) ,)(,),0zfMDxy(2)实例: 距离问题四. 二重积分计算:1. 概念与性质(“积”前工作):(1) , Dd(2)对称性(熟练掌握 ): * 域轴对称; * 奇偶对称; *字母轮换对称; *重
22、心坐标;Df(3)“分块”积分 : * ; * 分片定义 ; * 奇偶12(,)xy(,)fxy2. 计算(化二次积分):(1)直角坐标与极坐标选择( 转换): 以“ ”为主;(2)交换积分次序(熟练掌握 ).3. 极坐标使用(转换): 2()fxy附: ; ;22)DxabR2:1xyDab双纽线 222()yxy:4. 特例:.(1)单变量: 或 ()fxfy(2)利用重心求积分: 要求: 题型 , 且已知 的面积 与重心12()DkxydDS(,)xy5. 无界域上的反常二重积分(数三)五: 一类积分的应用( ):():;fMdL1. “尺寸”: (1) ; (2)曲面面积(除柱体侧面)
23、;DS2. 质量, 重心(形心), 转动惯量; 3. 为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备.第六讲: 无穷级数(数一,三)一. 级数概念1. 定义: (1) , (2) ; (3) (如 )na12nnSa limnS1!注: (1) ; (2) (或 ); (3)“伸缩”级数 : 收敛 收敛.limnqn nana2. 性质: (1)收敛的必要条件: ;li0a(2)加括号后发散, 则原级数必发散( 交错级数的讨论); (3) ; 221,0nnnnsass二. 正项级数1. 正项级数: (1)定义: ; (2)特征: ; (3)收敛 (有界)nnSnSM2. 标准级数: (1) , (
24、2) , (3)1plk1lk3. 审敛方法: (注: , )2ablnlba(1)比较法(原理 ): (估计), 如 ; npk:10(nfxd()PnQ(2)比值与根值: * * (应用 : 幂级数收敛半径计算)1limnulinu三. 交错级数(含一般项): ( )1()na01. “审”前考察: (1) (2) ; (3)绝对(条件)收敛? 0?nan.注: 若 ,则 发散1limnanu2. 标准级数: (1) ; (2) ; (3)1()1()np1()lnp3. 莱布尼兹审敛法(收敛?)(1)前提: 发散; (2)条件: ; (3)结论: 条件收敛.na,0na1()na4. 补
25、充方法:(1)加括号后发散, 则原级数必发散; (2) .221,nnnnsass5. 注意事项: 对比 ; ; ; 之间的敛散关系na(1)四. 幂级数:1. 常见形式:(1) , (2) , (3)nax0()nnx20()nnax2. 阿贝尔定理:(1)结论: 敛 ; 散*0R*x*0R(2)注: 当 条件收敛时x3. 收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备 )注(1) 与 同收敛半径,nnanx(2) 与 之间的转换nx20()n4. 幂级数展开法:(1)前提: 熟记公式( 双向,标明敛域)231,!xexR4()2!x35,xe;1sin!xR 241cos,!xxR; 2,(1,)x
26、 (1)3l(1) ,xx2n,).351arctn,1,xx(2)分解: (注:中心移动) (特别: )()fgh 021,xabc(3)考察导函数: xf0)0)xfgdf(4)考察原函数: 0()()d(5. 幂级数求和法(注: *先求收敛域, *变量替换):(1) ),Sx(2) ,(注意首项变化 )(3) ,)x(4) 的微分方程(“()S(5)应用: .()(1)nn naxSaS6. 方程的幂级数解法7. 经济应用(数三):(1)复利: ; (2)现值: (1)nAp(1)nAp五. 傅里叶级数(数一): ( ) 2T1. 傅氏级数(三角级数): 01cosinnaSxxb2.
27、充分条件(收敛定理):Dirchlet(1)由 (和函数 )fx(2) 1(2Sffx3. 系数公式: 01()cos(), ,12,3innafxdafdb 4. 题型: (注: )(),?fxS(1) 且 (分段表示)2T,.(2) 或(,x0,2x(3) 正弦或余弦0*(4) ( ),xT*5. 2l6. 附产品: ()f01cosin2naSxxb0001()innx001()()2ffx第七讲: 向量,偏导应用与方向导(数一)一. 向量基本运算1. ; (平行 )12kaba2. ; (单位向量(方向余弦 ) )01(cos,cs:3. ; (投影: ; 垂直: ; 夹角: )ab)
28、ab 0ab(,ab4. ; (法向: ; 面积: ),nS二. 平面与直线1.平面 (1)特征(基本量 ): 00(,)(,)MxyznABC(2)方程(点法式 ): 00: 0AyzAxByCzD(3)其它: *截距式 ; *三点式1zabc2.直线 L(1)特征(基本量 ): 00(,)(,)Mxyzsmnp(2)方程(点向式 ): 0:z(3)一般方程(交面式): 1122AxByCDz.(4)其它: *二点式; *参数式;(附: 线段 的参数表示 : )AB121(),0xatybzct3. 实用方法: (1)平面束方程: 1122: ()AxyCzDxyCD(2)距离公式: 如点
29、到平面的距离0(,)M0022ABzd(3)对称问题;(4)投影问题.三. 曲面与空间曲线(准备)1. 曲面(1)形式 : 或 ; (注: 柱面 )(,)0Fxyz(,)fxy(,0fxy(2)法向 (或 )coscsxyzn 1xynz2. 曲线(1)形式 , 或 ;():tyzt(,)0FxyzG(2)切向: (或 )(),)sxzt12sn3. 应用(1)交线, 投影柱面与投影曲线;(2)旋转面计算: 参式曲线绕坐标轴旋转;(3)锥面计算.四. 常用二次曲面1. 圆柱面: 22xyR2. 球面: z变形: , ,22xy22()zRxy, za 2000()()zR.3. 锥面: 2zx
30、y变形: , 2zaxy4. 抛物面: ,2zxy变形: , 2()zxy5. 双曲面: 221xyz6. 马鞍面: , 或xy五. 偏导几何应用1. 曲面(1)法向: , 注: (,)0(,)xyzFxyznF(,)(,1)xyfxynf(2)切平面与法线: 2. 曲线(1)切向: (),()(,)xtytztsxyz(2)切线与法平面3. 综合: , :0FG12sn六. 方向导与梯度(重点)1. 方向导( 方向斜率):l(1)定义(条件 ): (,)(cos,cs)mnp(2)计算(充分条件 :可微): osxyzuul 附: 0(,)cos,inzfxylcinxyzffl(3)附:
31、22 2isinxxyyfffl.2. 梯度(取得最大斜率值的方向 ) :G(1)计算:;(),)(,)xyazfxygradzfzbuzu(2)结论;()al0G取 为最大变化率方向;b为最大方向导数值.()c0M第八讲: 三重积分与线面积分(数一)一. 三重积分( )fdV1. 域的特征(不涉及复杂空间域 ):(1)对称性(重点 ): 含: 关于坐标面; 关于变量; 关于重心(2)投影法: 2212(,)(,)(,)xyDyRzxyzxy(3)截面法: zxab(4)其它: 长方体, 四面体, 椭球2. 的特征:f(1)单变量 , (2) , (3) , (4)()fz2()fxy22()
32、fxyzfaxbyczd3. 选择最适合方法:(1)“积”前: * ; *利用对称性( 重点)dv(2)截面法(旋转体 ): (细腰或中空, , )()baDzIfdxy()fz2xy(3)投影法(直柱体 ): 21,)(xyxyzIf(4)球坐标(球或锥体 ): , 2 200sin()RIdfd(5)重心法( ): faxbycz(IaxbyczV.4. 应用问题:(1)同第一类积分: 质量, 质心, 转动惯量, 引力(2) 公式Gaus二. 第一类线积分( )Lfds1. “积”前准备:(1) ; (2)对称性; (3)代入“ ”表达式Ls L2. 计算公式: 22(),(),()baL
33、xtabfdsfxtytytdy3. 补充说明:(1)重心法: ; ()()Lxcsxyc(2)与第二类互换: LAdr4. 应用范围(1)第一类积分(2)柱体侧面积 ,Lzxys三. 第一类面积分( )fdS1. “积”前工作(重点):(1) ; (代入 ):(,0Fxyz(2)对称性(如 : 字母轮换, 重心)(3)分片2. 计算公式:(1) 2(,)(,)1xyxy xyDzxyIfzyzd(2)与第二类互换: AndS四: 第二类曲线积分(1): (其中 有向)(,)(,)LPQdL1. 直接计算: ,()xty2112:(ttIPxytd常见(1)水平线与垂直线; (2) xy2.
34、Green 公式:(1) ;()LDQPPdxydxy.(2) : * 换路径; * 围路径()LABPQyPQy(3) ( 但 内有奇点 ) (变形)xD*L:3. 推广(路径无关性): Py(1) (微分方程 ) (道路变形原理)PdxQu()BALu(2) 与路径无关( 待定): 微分方程.(,),Lyxyd f4. 应用功(环流量): ( 有向 , , )IFr()FPQR(,drsxdyz五. 第二类曲面积分:1. 定义: , 或 (其中 含侧)PdyzQxRdy(,)xyz2. 计算:(1)定向投影(单项): , 其中 (特别:水平面);(,)z:,)注: 垂直侧面, 双层分隔(2
35、)合一投影(多项,单层): (,1)xynz()()xyPdQRdPzQRdx (3)化第一类( 不投影): (cos,cs)(oscos)yzxyS 3. 公式及其应用:Gaus(1)散度计算: PQRdivAxyz(2) 公式 : 封闭外侧, 内无奇点sdxydivA(3)注: *补充“ 盖” 平面: ; *封闭曲面变形 (含奇点)0:4. 通量与积分:( 有向 , , )AdSnAPQR(,dSnydzxy.六: 第二类曲线积分(2): (,)(,)(,)PxyzdQxyzdRxyzd1. 参数式曲线 : 直接计算 (代入)注(1)当 时, 可任选路径; (2)功( 环流量 ):0rotA IFr2. Stokes 公式: (要求: 为交面式(有向), 所张曲面 含侧)(1)旋度计算: ,)(,RPQRxyz(2)交面式(一般含平面 )封闭曲线: 同侧法向 或 ;0FG,xyznF,xyzG(3)Stokes 公式(选择): ()AdrdS( )化为 ; ( )化为 ; ( )化为aPyzQxRyb(,)RxyzdcfdS以上都是一些必备公式 觉得学好微积分 这些公式应该都要理解和使用。
