1、11.4 三角函数的图象与性质14.1 正弦函数、余弦函数的图象学习目标 1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系知识点一 正弦函数、余弦函数的概念思考 从对应的角度如何理解正弦函数、余弦函数的概念？答案 实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦(或余弦)值这样，任意给定一个实数 x，有唯一确定的值 sinx(或 cosx)与之对应由这个对应法则所确定的函数 ysin x(或 ycos x)叫做正弦函数(或余弦函数)，其定义
2、域是 R.知识点二 几何法作正弦函数、余弦函数的图象思考 1 课本上是利用什么来比较精确的画出正弦函数的图象的？其基本步骤是什么？答案 利用正弦线，这种作图方法称为“几何法” ，其基本步骤如下：作出单位圆：作平面直角坐标系，并在直角坐标系中 y 轴左侧的 x 轴上取一点 O1，作出以 O1为圆心的单位圆；等分单位圆，作正弦线：从 O1与 x 轴的交点 A 起，把 O1分成 12 等份过 O1上各分点作 x 轴的垂线，得到对应于 0， ， ， ，2 等角的正弦线； 6 3 2找横坐标：把 x 轴上从 0 到 2 这一段分成 12 等份；找纵坐标：把角 x 的正弦线向右平移，使它的起点与 x 轴上
3、对应的点 x 重合，从而得到12 条正弦线的 12 个终点；连线：用光滑的曲线将 12 个终点依次从左至右连接起来，即得到函数ysin x， x0,2的图象，如图因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数 ysin x， x2 k，2( k1)， kZ2且 k0 的图象与函数 ysin x， x0,2)的图象的形状完全一致于是只要将函数ysin x， x0,2)的图象向左、向右平行移动(每次 2 个单位长度)，就可以得到正弦函数 ysin x， xR 的图象，如图思考 2 如何由正弦函数的图象通过图形变换得到余弦函数的图象？答案 把 ysin x， xR 的图象向左平移 个单位长度，即可得到
4、 ycos x， xR 的图象 2梳理 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线知识点三 “五点法”作正弦函数、余弦函数的图象思考 1 描点法作函数图象有哪几个步骤？答案 列表、描点、连线思考 2 “五点法”作正弦函数、余弦函数在 x0,2上的图象时是哪五个点？答案 画正弦函数图象的五点 (0,0) ( 2， 1) (，0) (32， 1) (2，0)画余弦函数图象的五点 (0,1) ( 2， 0) (，1) (32， 0) (2，1)梳理 “五点法”作正弦函数 ysin x(x0,2)、余弦函数 ycos x， x0,2图象的步骤(1)列表x 0 2 32 2sinx 0 1
5、 0 1 0cosx 1 0 1 0 1(2)描点画正弦函数 ysin x， x0,2的图象，五个关键点是(0,0)， ，(，0)， ，(2，0)；( 2， 1) (32， 1)画余弦函数 ycos x， x0,2的图象，五个关键点是(0,1)， ，(，1)， ，(2，1)( 2， 0) (32， 0)3(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦函数 ysin x(x0,2)、余弦函数ycos x(x0,2)的简图1正弦函数 ysin x 的图象向左、右和上、下无限伸展( )提示 正弦函数 ysin x 的图象向左、右无限伸展，但上、下限定在直线 y1 和 y1 之间2函数 ysin x 与
6、ysin( x)的图象完全相同( )提示 二者图象不同，而是关于 x 轴对称3余弦函数 ycos x 的图象与 x 轴有无数个交点( )4余弦函数 ycos x 的图象与 ysin x 的图象形状和位置都不一样( )提示 函数 ycos x 的图象与 ysin x 的图象形状一样，只是位置不同类型一 “五点法”作图的应用例 1 利用“五点法”作出函数 y1sin x(0 x2)的简图考点 正弦函数的图象题点 五点法作正弦函数的图象解 取值列表：x 0 2 32 2sinx 0 1 0 1 01sin x 1 0 1 2 1描点连线，如图所示反思与感悟 作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图
7、 “五点”即 ysin x 或ycos x 的图象在0,2内的最高点、最低点和与 x 轴的交点 “五点法”是作简图的常用方法跟踪训练 1 (1)用“五点法”作出函数 y1cos x(0 x2)的简图考点 余弦函数的图象4题点 五点法作余弦函数的图象解 列表如下：x 0 2 32 2cosx 1 0 1 0 11cos x 0 1 2 1 0描点并用光滑的曲线连接起来，如图(2)(2017长沙检测)利用正弦或余弦函数图象作出 y 的图象|sin(x32)|考点 余弦函数的图象题点 五点法作余弦函数的图象解 由于 y |cos x|，因此只需作出 y|cos x|的图象即可，而 y|cos x|可
8、|sin(x32)|由 ycos x 将 x 轴下方的图象折到 x 轴上方，图象如下：类型二 利用正、余弦函数图象解不等式命题角度 1 利用正、余弦函数图象解不等式例 2 利用正弦曲线，求满足 sinx 的 x 的集合12 32考点 正弦函数的图象题点 正弦函数图象的简单应用解 首先作出 ysin x 在0,2上的图象，如图所示，作直线 y ，根据特殊角的正弦值，12可知该直线与 ysin x， x0,2的交点横坐标为 和 . 6 565作直线 y ，该直线与 ysin x， x0,2的交点横坐标为 和 .32 3 23观察图象可知，在0,2上，当 x 或 x 时，不等式 sinx 成立 6
9、3 23 56 12 32所以 sinx 的解集为Error!.12 32反思与感悟 用三角函数图象解三角不等式的方法(1)作出相应正弦函数或余弦函数在0,2上的图象；(2)写出适合不等式在区间0,2上的解集；(3)根据公式一写出不等式的解集跟踪训练 2 使不等式 2sin x0 成立的 x 的取值集合是( )2A.Error!B.Error!C.Error!D.Error!考点 正弦函数的图象题点 正弦函数图象的简单应用答案 C解析 不等式可化为 sinx .22方法一 作图，正弦曲线及直线 y 如图所示22由图知，不等式的解集为Error!.方法二 如图所示，不等式的解集为Error!.命
10、题角度 2 利用正、余弦函数图象求定义域例 3 求函数 f(x)lgsin x 的定义域16 x2考点 正弦函数、余弦函数的定义域、值域题点 正弦函数、余弦函数的定义域解 由题意，得 x 满足不等式组Error!6即Error!作出 ysin x 的图象，如图所示结合图象可得 x4，)(0，)反思与感悟 一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍跟踪训练 3 求函数 y 的定义域log21sinx 1考点 正弦函数、余弦函数的定义域、值域题点 正弦函数、余弦函数的定义域解 为使函数有意义，需满足Error!即 0sinx .12由正弦函数的图象或单位圆(如图所
11、示)，可得函数的定义域为Error!.1用“五点法”作 y2sin2 x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )A0， ， ，2 B0， ， ， ， 2 32 4 234C0，2，3，4 D0， ， ， ， 6 3 2 23考点 正弦函数的图象题点 五点法作正弦函数的图象7答案 B解析 “五点法”作图是当 2x0， ， ，2 时的 x 的值，此时 2 32x0， ， ， ，故选 B. 4 2342下列图象中， ysin x 在0,2上的图象是( )考点 正弦函数的图象题点 正弦函数图象的简单应用答案 D解析 由 ysin x 在0,2上的图象作关于 x 轴的对称图形，应为 D 项3不等式
12、cosx0， x0,2的解集为_考点 余弦函数的图象题点 余弦函数图象的简单应用答案 ( 2， 32)解析 由函数 ycos x 的图象可知，不等式 cosx0 的解集为 .( 2， 32)4请用“五点法”画出函数 y sin 的图象12 (2x 6)考点 正弦函数的图象题点 五点法作正弦函数的图象解 令 X2 x ，则当 x 变化时， y 的值如下表： 6X 0 2 32 2x 12 3 712 56 1312y 0120 1208描点画图：将函数在 上的图象向左、向右平移即得 y sin 的图象12， 1312 12 (2x 6)5若函数 f(x)sin x2 m1， x0,2有两个零点，
13、求 m 的取值范围考点 正弦函数的图象题点 正弦函数图象的简单应用解 由题意可知，sin x2 m10 在0,2上有 2 个根，即 sinx2 m1 有两个根，可转化为 ysin x 与 y2 m1 两函数的图象在0,2上有 2 个交点由 ysin x 图象可知，12 m11，且 2m10，解得1 m0，且 m .12 m .( 1， 12) ( 12， 0)1对“五点法”画正弦函数图象的理解(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点” ，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图(2)正弦型函数图象的关键点是函数图象
14、中最高点、最低点以及与 x 轴的交点2作函数 y asinx b 的图象的步骤3用“五点法”画的正弦型函数在一个周期0,2内的图象，如果要画出在其他区间上的图象，可依据图象的变化趋势和周期性画出9一、选择题1用五点法画 ysin x， x0,2的图象时，下列哪个点不是关键点( )A. B.( 6， 12) ( 2， 1)C(，0) D(2，0)考点 正弦函数的图象题点 五点法作正弦函数的图象答案 A解析 易知 不是关键点( 6， 12)2用“五点法”作函数 y2sin x1 的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是( )A0， ， ，2 2 32B0， ， ， ， 4 234C0，2，3，4D
15、0， ， ， ， 6 3 2 23考点 正弦函数的图象题点 五点法作正弦函数的图象答案 A解析 由“五点法”可知选 A.3对于正弦函数 ysin x 的图象，下列说法错误的是( )A向左右无限伸展B与 ycos x 的图象形状相同，只是位置不同C与 x 轴有无数个交点D关于 y 轴对称考点 正弦函数的图象题点 正弦函数图象的简单应用答案 D解析 由正弦曲线知，A，B，C 均正确，D 不正确104函数 ycos x|cos x|， x0,2的大致图象为( )考点 余弦函数的图象题点 余弦函数图象的简单应用答案 D解析 由题意得yError!显然只有 D 合适5下列各组函数中图象相同的是( ) y
16、cos x 与 ycos( x) ysin 与 ysin(x 2) (x 2) ysin x 与 ysin( x) ysin(2 x)与 ysin xABCD考点 正弦函数与余弦函数图象的综合应用题点 正弦函数与余弦函数图象的综合应用答案 D解析 由诱导公式知，只有中， ysin(2 x)sin x.6(2017山东临沂一中月考)若 sin 1log 2x，则实数 x 的取值范围是( )A1,4 B.14， 1C2,4 D.14， 4考点 正弦函数的图象题点 正弦函数图象的简单应用答案 A解析 由正弦函数的图象，可知1sin 1，11所以11log 2x1，整理得 0log 2x2，解得 1
17、x4，故选 A.7方程 sinx 的根的个数是( )x10A7B8C9D10考点 正弦函数的图象题点 正弦函数图象的简单应用答案 A解析 在同一坐标系内画出 y 和 ysin x 的图象如图所示x10根据图象可知方程有 7 个根二、填空题8函数 f(x)lgcos x 的定义域为_25 x2考点 正弦函数、余弦函数的定义域、值域题点 正弦函数、余弦函数的定义域答案 5， 32) ( 2， 2) (32， 5解析 由题意，得 x 满足不等式组Error!即Error! 作出 ycos x 的图象，如图所示结合图象可得 x . 5， 32) ( 2， 2) (32， 59函数 f(x)Error!
18、则不等式 f(x) 的解集是_12考点 正弦函数的图象题点 正弦函数图象的简单应用答案 Error!解析 在同一平面直角坐标系中画出函数 f(x)和 y 的图象(图略)，由图易得 x012 32或 2 k x 2 k， kN. 6 561210若动直线 x a 与函数 f(x)sin x 和 g(x)cos x 的图象分别交于 M， N 两点，则| MN|的最大值为_考点 正弦函数与余弦函数图象的综合应用题点 正弦函数与余弦函数图象的综合应用答案 2解析 在同一坐标系中作出函数 f(x)和 g(x)的图象，如图所示，易知当 x a k (kZ)时，| MN|取得最大值 . 4 |sin(k 4
19、) cos(k 4)| 211(2017长沙浏阳一中期末)有下列命题： ysin| x|的图象与 ysin x 的图象关于 y 轴对称； ycos( x)的图象与 ycos| x|的图象相同； y|sin x|的图象与 ysin( x)的图象关于 x 轴对称； ycos x 的图象与 ycos( x)的图象关于 y 轴对称其中正确命题的序号是_考点 正弦函数与余弦函数图象的综合应用题点 正弦函数与余弦函数图象的综合应用答案 解析 对于， ycos( x)cos x， ycos| x|cos x，故其图象相同；对于， ycos( x)cos x，故这两个函数图象关于 y 轴对称，作图(图略)可知
20、均不正确三、解答题12用“五点法”画出函数 y sin x， x0,2的简图12考点 正弦函数的图象题点 五点法作正弦函数的图象解 (1)取值列表如下：x 0 2 32 2sinx 0 1 0 1 0sin x12 12 32 1212 1213(2)描点、连线，如图所示13根据 ycos x 的图象解不等式： cos x ， x0，232 12考点 余弦函数的图象题点 余弦函数图象的综合应用解 函数 ycos x， x0,2的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为Error!.四、探究与拓展14已知函数 y2sin x 的图象与直线 y2 围成一个封闭的平面图形，那( 2 x 52)么此封
21、闭图形的面积为( )A4B8C4D2考点 正弦函数的图象题点 正弦函数图象的简单应用答案 C解析 数形结合，如图所示y2sin x， x 的图象与直线 y2 围成的封闭平面图形的面积相当于由 2， 52x ， x ， y0， y2 围成的矩形面积，即 S 24. 2 52 (52 2)15函数 f(x)sin x2|sin x|， x0,2的图象与直线 y k 有且仅有两个不同的交点，求 k 的取值范围14考点 正弦函数的图象题点 正弦函数图象的简单应用解 f(x)sin x2|sin x|Error!图象如图所示，若使 f(x)的图象与直线 y k 有且仅有两个不同的交点，根据图象可得 k 的取值范围是(1,3)15
