1、112.1 任意角的三角函数(二)学习目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义,能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题知识点一 三角函数的定义域思考 正切函数 ytan x 为什么规定 xR 且 x k , kZ? 2答案 当 x k , kZ 时,角 x 的终边在 y 轴上,此时任取终边上一点 P(0, yP),因 2为 无意义,因而 x 的正切值不存在所以对正切函数 ytan x,必须要求 xR 且yP0x k , kZ. 2梳理 正弦函数 ysin x 的定义域是 R;余弦函数 ycos x 的定义域是 R;
2、正切函数ytan x 的定义域是Error!.知识点二 三角函数线思考 1 在平面直角坐标系中,任意角 的终边与单位圆交于点 P,过点 P 作 PM x 轴,过点 A(1,0)作单位圆的切线,交 的终边或其反向延长线于点 T,如图所示,结合三角函数的定义,你能得到 sin ,cos ,tan 与 MP, OM, AT 的关系吗?答案 sin MP,cos OM,tan AT.思考 2 三角函数线的方向是如何规定的?答案 方向与 x 轴或 y 轴的正方向一致的为正值,反之,为负值思考 3 三角函数线的长度和方向各表示什么?答案 长度等于三角函数值的绝对值,方向表示三角函数值的正负2梳理 图示正弦
3、线角 的终边与单位圆交于点 P,过点 P 作 PM 垂直于 x 轴,有向线段 MP 即为正弦线余弦线 有向线段 OM 即为余弦线正切线过点 A(1,0)作单位圆的切线,这条切线必然平行于 y 轴,设它与 的终边或其反向延长线相交于点 T,有向线段 AT 即为正切线1正弦线 MP 也可写成 PM.( )提示 三角函数线是有向线段,端点字母不可颠倒2三角函数线都只能取非负值( )提示 三角函数线表示的值也可取负值3当角 的终边在 y 轴上时,余弦线变成一个点,正切线不存在( )4当角 的终边在 x 轴上时,正弦线、正切线都变成点( )类型一 三角函数线例 1 作出 的正弦线、余弦线和正切线58考点
4、 单位圆与三角函数线题点 三角函数线的作法解 如图所示,3sin MP,(58)cos OM,(58)tan AT.(58)反思与感悟 (1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作 x 轴的垂线,得到垂足,从而得到正弦线和余弦线(2)作正切线时,应从点 A(1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点 T,即可得到正切线 AT.跟踪训练 1 在单位圆中画出满足 sin 的角 的终边,并求角 的取值集合12考点 单位圆与三角函数线题点 三角函数线的作法解 已知角 的正弦值,可知 P 点纵坐标为 .所以在 y 轴上取点 ,过这点作 x 轴的12 (0, 12
5、)平行线,交单位圆于 P1, P2两点,则 OP1, OP2是角 的终边,因而角 的取值集合为Error!.类型二 利用三角函数线比较大小例 2 利用三角函数线比较 sin 和 sin ,cos 和 cos ,tan 和 tan 的大23 45 23 45 23 45小考点 单位圆与三角函数线题点 利用三角函数线比较大小解 如图,sin MP,cos OM,tan AT,sin M P,cos OM,tan23 23 23 45 45 AT.454显然| MP|M P|,符号皆正,sin sin ;23 45|OM|cos ;23 45|AT|AT|,符号皆负,tan |M2P2|,且符号皆正
6、,sin1155sin(1654)类型三 利用三角函数线解不等式(组)命题角度 1 利用三角函数线解不等式 组例 3 在单位圆中画出适合下列条件的角 的终边的范围,并由此写出角 的集合(1)sin ;32(2)cos .125考点 单位圆与三角函数线题点 利用三角函数线解不等式解 (1)作直线 y 交单位圆于 A, B 两点,连接 OA, OB,则 OA 与 OB 围成的区域(如图(1)所32示的阴影部分,包括边界),即为角 的终边的范围故满足要求的角 的集合为Error!.(2)作直线 x 交单位圆于 C, D 两点,连接 OC 与 OD,则 OC 与 OD 围成的区域(如图(2)所12示的
7、阴影部分,包括边界),即为角 的终边的范围故满足条件的角 的集合为Error!.反思与感悟 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式,应注意以下两点:(1)先找到“正值”区间,即 02 内满足条件的角 的范围,然后再加上周期;(2)注意区间是开区间还是闭区间跟踪训练 3 已知 cos .3考点 单位圆与三角函数线题点 利用三角函数线解不等式解 要使 3tan ,即 tan .333由正切线知 kOM0 D OMMP0考点 单位圆与三角函数线题点 利用三角函数线比较大小答案 D解析 0MP0.316 44若 0 ,则角 的取值范围是( )32 12A. B.( 3, 3) (0, 3)C. D
8、. (53, 2 ) (0, 3) (53, 2 )考点 单位圆与三角函数线题点 利用三角函数线解不等式答案 D解析 角 的取值范围为图中阴影部分,即 .(0, 3) (53, 2 )5有三个命题: 和 的正弦线长度相等; 和 的正切线相同; 和 的余弦 6 56 3 43 4 5411线长度相等其中正确说法的个数为( )A1B2C3D0考点 单位圆与三角函数线题点 三角函数线的作法答案 C解析 和 的正弦线关于 y 轴对称,长度相等; 和 两角的正切线相同; 和 的 6 56 3 43 4 54余弦线长度相等故都正确,故选 C.6点 P(sin3cos3,sin3cos3)所在的象限为( )
9、A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考点 单位圆与三角函数线题点 利用三角函数线比较大小答案 D解析 因为 3,作出单位圆如图所示56设 MP, OM 分别为 a, b.sin3 a0,cos3 b0,所以 sin3cos30.因为| MP| OM|,即| a| b|,所以 sin3cos3 a b0.故点 P(sin3cos3,sin3cos3)在第四象限7已知 sin sin ,那么下列命题成立的是( )A若 , 是第一象限角,则 cos cosB若 , 是第二象限角,则 tan tanC若 , 是第三象限角,则 cos cosD若 , 是第四象限角,则 tan tan考点 单位圆
10、与三角函数线题点 利用三角函数线比较大小答案 D12解析 如图(1), , 的终边分别为 OP, OQ,sin MPNQsin ,此时 OMNQ,即sin sin ,所以 ACNQ,即 sin sin ,所以 OMtan ,故选 D.(1)二、填空题8函数 y 的定义域为_2cosx 1考点 单位圆与三角函数线题点 利用三角函数线解不等式答案 (kZ) 3 2k , 3 2k 9sin1,cos1,tan1 的大小关系是_考点 单位圆与三角函数线题点 利用三角函数线比较大小答案 cos1sin ,利用三角函数线得角 的取值范围是_7313考点 单位圆与三角函数线题点 利用三角函数线解不等式答案
11、 (kZ)(2k 6, 2k 6)解析 因为 cos sin ,73所以 cos sin sin ,( 3 2 ) 3 32易知角 的取值范围是 (kZ)(2k 6, 2k 6)11函数 f(x) 的定义域为_cos2x sin2x考点 单位圆与三角函数线题点 利用三角函数线解不等式答案 (kZ)k 4, k 4解析 如图所示三、解答题12已知 sin ,利用单位圆中的三角函数线,确定角 的范围12 32考点 单位圆与三角函数线题点 利用三角函数线解不等式解 由三角函数线可知sin sin , 3 23 32sin sin ,76 ( 6) 12且 sin ,12 32如图,画出单位圆,阴影部
12、分即为所求14故 的取值集合是 (kZ)2k 6, 2k 3) (2k 23, 2k 76四、探究与拓展13函数 ylog sinx(2cosx1)的定义域为_考点 单位圆与三角函数线题点 利用三角函数线解不等式答案 Error!解析 由题意可知,要使函数有意义,则需Error!如图所示,阴影部分(不含边界与 y 轴)即为所求所以所求函数的定义域为Error!.14若 , 是关于 x 的一元二次方程 x22(cos 1) xcos 2 0 的两实根,且| |2 ,求 的范围2考点 单位圆与三角函数线题点 利用三角函数线解不等式解 方程有两实根, 4(cos 1) 24cos 2 0,cos .12| |2 ,( )24 8.2由根与系数的关系,得 2(cos 1), cos 2 ,4(cos 1) 24cos 2 8,即 cos .12由得 cos ,12 12利用单位圆中的三角函数线可知 2 k 2 k, kZ 或 3 232 k 2 k, kZ.43 53 k k, kZ. 3 23即 的范围是 (kZ) 3 k , 23 k 15