1、11.2 任意角的三角函数12.1 任意角的三角函数(一)学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等知识点一 任意角的三角函数使锐角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点 P，作PM x 轴于 M，设 P(x， y)，| OP| r.思考 1 角 的正弦、余弦、正切分别等于什么？答案 sin ，cos ，tan .yr xr yx思考 2 对确定的锐角 ，s
2、in ，cos ，tan 的值是否随 P 点在终边上的位置的改变而改变？答案 不会因为三角函数值是比值，其大小与点 P(x， y)在终边上的位置无关，只与角 的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关思考 3 在思考 1 中，当取| OP|1 时，sin ，cos ，tan 的值怎样表示？答案 sin y，cos x，tan .yx梳理 (1)单位圆在直角坐标系中，我们称以原点 O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆(2)定义在平面直角坐标系中，设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x， y)，那么：2 y 叫做 的正弦，记作 sin_ ，即 sin y； x 叫做 的余弦，记作
3、cos_ ，即 cos x； 叫做 的正切，记作 tan_ ，即 tan (x0)yx yx对于确定的角 ，上述三个值都是唯一确定的故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？答案 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x， y)，则 sin y，cos x，tan (x0)当 为第一象限角时， y0, yxx0，故 sin 0，cos 0，tan 0，同理可得当 在其他象限
4、时三角函数值的符号，如图所示梳理 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦” 知识点三 诱导公式一思考 当角 分别为 30，390，330时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？答案 它们的终边重合由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等梳理 诱导公式一sin k2 sin ，cos k2 cos ，tan k2 t3an ，其中 kZ.1sin ，cos ，tan 的大小与点 P(x， y)在角 的终边上的位置有关( )提示 三角函数的大小由角 终边位置确定，而与点 P(x， y)在终边上的位置无关2终边相同的角的同名三角函数值相等( )提示 由三角函数的定义可知，终边相同的角的三角
5、函数值相等.类型一 三角函数定义的应用命题角度 1 已知角 终边上一点的坐标求三角函数值例 1 已知 终边上一点 P(x,3)(x0)，且 cos x，求 sin ，tan .1010考点 任意角的三角函数题点 用定义求三角函数的值解 由题意知 r| OP| ，x2 9由三角函数定义得 cos .xr xx2 9又cos x， x.1010 xx2 9 1010 x0， x1.当 x1 时， P(1,3)，此时 sin ，tan 3.312 32 31010 31当 x1 时， P(1,3)，此时 sin ，tan 3.3 1 2 32 31010 3 1反思与感悟 (1)已知角 终边上任意一
6、点的坐标求三角函数值的方法在 的终边上任选一点 P(x， y)，设 P 到原点的距离为 r(r0)，则 sin ，cos .yr xr当已知 的终边上一点求 的三角函数值时，用该方法更方便(2)当角 的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论4跟踪训练 1 已知角 的终边过点 P(3 a,4a)(a0)，求 2sin cos 的值考点 任意角的三角函数题点 用定义求三角函数的值解 r 5| a|. 3a 2 4a 2若 a0，则 r5 a，角 在第二象限，sin ，cos ，yr 4a5a 45 xr 3a5a 352sin cos 1.85 35若 a0 时，
7、r k， 是第四象限角，10sin ， ，yr 3k10k 31010 1cos rx 10kk 1010sin 10 33cos ( 31010) 103 3 0.10 10(2)当 k0)上时，取终边上一点 P(4，3)，34所以点 P 到坐标原点的距离 r| OP|5，所以 sin ，cos ，yr 35 35 xr 45tan .yx 34所以 sin 3cos tan .35 125 34 154当角 的终边在射线 y x(x0 时，令 x24 k， y7 k，则有 r 25 k， 24k 2 7k 2sin ，cos ，tan .yr 725 xr 2425 yx 724当 k0.
8、 2 26某点从(1,0)出发，沿单位圆 x2 y21 按逆时针方向运动 弧长到达 Q 点，则 Q 点的23坐标为( )A. B.(12， 32) ( 32， 12)C. D.(12， 32) ( 32， 12)考点 任意角的三角函数题点 任意角三角函数的定义答案 A解析 由三角函数定义可得 Q ，(cos23， sin 23)cos ，sin .23 12 23 327如果点 P(sin cos ，sin cos )位于第二象限，那么角 的终边在( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考点 三角函数值在各象限的符号题点 三角函数值在各象限的符号答案 C解析 由题意知 sin cos
9、 0，且 sin cos 0，Error! 为第三象限角二、填空题8tan405sin450cos750_.考点 诱导公式一题点 诱导公式一答案 32解析 tan405sin450cos750tan(36045)sin(36090)cos(72030)tan45sin90cos3011 .32 329(2017广州检测)设角 的终边经过点 P(3,4)，那么 sin 2cos _.考点 任意角的三角函数题点 用定义求三角函数的值11答案 25解析 根据三角函数的定义，sin ，cos (其中 r )，由角 的终边经过yr xr x2 y2点 P(3,4)，可得 r 5，sin ，cos ， 3
10、 2 4245 35所以 sin 2cos 2 .45 35 2510(2017山东烟台一中期末)已知角 的终边经过点(3 a9， a2)，且sin 0，cos 0，则实数 a 的取值范围是_考点 三角函数值在各象限的符号题点 三角函数值在各象限的符号答案 (2,3解析 点(3 a9， a2)在角 的终边上，sin 0，cos 0，Error! 解得20，则 为第一象限角， r2 a，所以 sin ，cos ，3a2a 32 a2a 12tan .3aa 3若 a0，cos x0，sinxcosx0， y0；当 x 为第二象限角时，sin x0，cos x0， y4；当 x 为第四象限角时，s
11、in x0，13sinxcosx0， y2.故函数 y 的值域为4,0,2|sinx|sinx |cosx|cosx 2|sinxcosx|sinxcosx三、解答题15已知 ，且 lg(cos )有意义1|sin | 1sin(1)试判断角 所在的象限；(2)若角 的终边与单位圆相交于点 M ，求 m 的值及 sin 的值(35， m)考点 任意角的三角函数题点 用定义求三角函数的值解 (1) ，1|sin | 1sinsin 0.lg(cos )有意义，cos 0.由得角 的终边在第四象限(2)点 M 在单位圆上，(35， m) 2 m21，解得 m .(35) 45又 是第四象限角， m0， m .45由三角函数定义知，sin .4514
