1、1第 2 课时 抛物线几何性质的应用学习目标 1.进一步加深对抛物线几何特性的认识.2.掌握解决直线与抛物线相关综合问题的基本方法知识点 直线与抛物线的位置关系思考 直线与抛物线有且只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？答案 不一定，当直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线相交梳理 (1)直线与抛物线的位置关系有相交、相切、相离，直线与抛物线的公共点个数与由它们的方程组成的方程组的解的个数一致(2)由方程 y kx b 与 y22 px 联立，消去 y 得 k2x22( kb p)x b20.当 k0 时，若 0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若 0，则直线与抛物线有一个公共点；若
2、 0)的通径长为 2a.( )类型一 直线与抛物线的位置关系例 1 已知直线 l： y k(x1)与抛物线 C： y24 x，问： k 为何值时，直线 l 与抛物线 C 有两个交点，一个交点，无交点？考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线公共点个数问题解 由方程组Error!消去 y，得 k2x2(2 k24) x k20， (2 k24) 24 k416(1 k2)若直线与抛物线有两个交点，2则 k20 且 0，即 k20 且 16(1 k2)0，解得 k(1,0)(0,1)，所以当 k(1,0)(0,1)时，直线 l 和抛物线 C 有两个交点若直线与抛物线有一个交点，则 k20 或
3、当 k20 时， 0，解得 k0 或 k1，所以当 k0 或 k1 时，直线 l 和抛物线 C 有一个交点若直线与抛物线无交点，则 k20 且 1 或 k1 或 k0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得，k2x2(2 kb2 p)x b20.(1)若 k20，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合(2)若 k20，当 0 时，直线与抛物线相交，有两个交点；当 0 时，直线与抛物线相切，有一个交点；当 0.设弦的两端点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)， y1 y2 ， y1y2 .6k 6 24kk P1P2的中点为(4,1)， 2， k3，满足式6k
4、所求直线方程为 y13( x4)，即 3x y110， y1 y22， y1y222，| P1P2|1 1k2 y1 y2 2 4y1y2 .1 19 22 4 22 22303方法二 设 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)则 y 6 x1， y 6 x2，21 2 y y 6( x1 x2)，又 y1 y22，21 2 3，y1 y2x1 x2 6y1 y2所求直线的斜率 k3，所求直线方程为 y13( x4)，即 3x y110.4由Error! 得 y22 y220， y1 y22， y1y222，| P1P2|1 1k2 y1 y2 2 4y1y2 .1 19 22 4 22
5、 22303反思与感悟 中点弦问题解题策略两方法跟踪训练 2 已知顶点在原点，焦点在 x 轴上的抛物线截直线 y2 x4 所得的弦长| AB|3，求此抛物线的方程5考点 直线与抛物线的位置关系题点 由抛物线弦长求解相关问题解 设所求抛物线方程为 y2 ax(a0)， A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! 消去 y，得 4x2( a16) x160，由 ( a16) 22560，得 a0 或 a0.所求抛物线方程为 y24 x 或 y236 x.类型三 抛物线中的定点(定值)问题例 3 已知点 A， B 是抛物线 y22 px(p0)上的两点，且 OA OB.(1)求两点的横
6、坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线 AB 过定点考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题(1)解 设点 A， B 的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，则 kOA ， kOB .y1x1 y2x25因为 OA OB，所以 kOAkOB1，所以 x1x2 y1y20.因为 y 2 px1， y 2 px2，21 2所以 y1y20.y212p y22p因为 y10， y20，所以 y1y24 p2，所以 x1x24 p2.(2)证明 因为 y 2 px1， y 2 px2，21 2所以( y1 y2)(y1 y2)2 p(x1 x2)，所以 ，y1 y2x
7、1 x2 2py1 y2所以 kAB ，2py1 y2故直线 AB 的方程为 y y1 (x x1)，2py1 y2所以 y y1 ，2pxy1 y2 2px1y1 y2即 y .2pxy1 y2 y21 2px1 y1y2y1 y2因为 y 2 px1， y1y24 p2，21所以 y ，2pxy1 y2 4p2y1 y2所以 y (x2 p)，2py1 y2即直线 AB 过定点(2 p,0)反思与感悟 在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化跟踪训练 3 如图，过抛物线 y2 x 上一点
8、 A(4,2)作倾斜角互补的两条直线 AB， AC 交抛物线于 B， C 两点，求证：直线 BC 的斜率是定值考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题证明 设 kAB k(k0)直线 AB， AC 的倾斜角互补， kAC k(k0)，即直线 AB 的方程是 y k(x4)2.由方程组Error!6消去 y 后，整理得 k2x2(8 k24 k)x16 k216 k40. A(4,2)， B(xB， yB)是上述方程组的解，4 xB ，16k2 16k 4k2即 xB .4k2 4k 1k2以 k 代换 xB中的 k，得 xC .4k2 4k 1k2 kBC yB yCxB
9、 xC k xB 4 2 k xC 4 2xB xC .k xB xC 8xB xCk(8k2 2k2 8) 8kk2 14直线 BC 的斜率为定值1过点 P(0,1)与抛物线 y2 x 有且只有一个交点的直线有( )A4 条 B3 条C2 条 D1 条考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线公共点个数问题答案 B解析 当斜率不存在时，过 P(0,1)的直线是 y 轴，与抛物线 y2 x 只有一个公共点当斜率存在时，设直线为 y kx1.由Error! 消去 y，得 k2x2(2 k1) x10，当 k0 时，符合题意；当 k0 时，令 (2 k1) 24 k20，得 k .14所以与抛
10、物线只有一个交点的直线共有 3 条2已知直线 y kx k 及抛物线 y22 px(p0)，则( )A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点7D直线与抛物线可能没有公共点考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线公共点个数问题答案 C解析 直线 y kx k k(x1)，直线过点(1,0)又点(1,0)在抛物线 y22 px 的内部，当 k0 时，直线与抛物线有一个公共点；当 k0 时，直线与抛物线有两个公共点3已知点 A(2,3)在抛物线 C： y22 px 的准线上，过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B，设 C 的焦点为 F，则直线
11、 BF 的斜率为( )A. B. C. D.12 23 34 43考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题答案 D解析 点 A(2,3)在抛物线 C： y22 px 的准线 x 上， 2， p4，抛物线p2 p2C： y28 x.设直线 AB 的方程为 x k(y3)2( k0)，将与 y28 x 联立，得 y28 ky24 k160，令 (8 k)24(24 k16)0，解得 k2 或 k .12当 k 时，切点在第四象限，与题意不符，舍去12将 k2 代入，得Error!即 B(8,8)又 F(2,0)， kBF .故选 D.434若直线 x y2 与抛物线 y24
12、x 交于 A， B 两点，则线段 AB 的中点坐标是_考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交弦中点问题答案 (4,2)解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! 得 y24 y80，y1 y24， x1 x2 y1 y248，中点坐标为(4,2)5过点 P(2,1)作抛物线 y24 x 的弦 AB，若弦恰被 P 点平分8(1)求弦 AB 所在的直线方程(用一般式表示)；(2)求弦长| AB|.考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交弦中点问题解 (1)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则Error! 作差得( y1 y2)(y1 y2)
13、4( x1 x2)，由于直线的斜率存在，故斜率 k 2，y1 y2x1 x2 4y1 y2 42从而直线 AB 的方程为 y12( x2)，即 2x y30.(2)由Error!消去 y 得，4 x216 x90，因为 0，所以Error!于是| AB| 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 .5 16 9 35求抛物线的方程常用待定系数法和定义法：直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化一、选择题1过抛物线 y2 x2的焦点且垂直于它的对称轴的直线被抛物线截得的弦长为( )A2 B
14、.12C. D114考点 抛物线的焦点弦问题题点 求抛物线的焦点弦长答案 B解析 抛物线 y2 x2的标准方程为 x2 y，焦点坐标为 ，当 y 时， x ，12 (0， 18) 18 149过抛物线 y2 x2的焦点且垂直于它的对称轴的直线被抛物线截得的弦长为 .122与直线 2x y40 平行的抛物线 y x2的切线方程为( )A2 x y30 B2 x y30C2 x y10 D2 x y10考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线公共点个数问题答案 D解析 设直线方程为 2x y m0，由Error! 消去 y，得 x22 x m0， 44 m0， m1，直线方程为 2x y10
15、.3直线 y kx2 交抛物线 y28 x 于 A， B 两点，若 AB 的中点的横坐标为 2，则 k 等于( )A2 或2B1C2D3考点 直线与抛物线的位置关系题点 求抛物线中的直线方程答案 C解析 由题意知Error!消去 y，得 k2x2(4 k8) x40. (4 k8) 216 k20，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 2，x1 x22即 x1 x24， x1 x2 4，4k 8k2 k2 或1，经判别式检验知 k2 符合题意4已知圆 C：( x2) 2 y2 r2与抛物线 D： y220 x 的准线交于 A， B 两点，且| AB|8，则圆 C 的面积是( )A5
16、B9C16D25考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交弦中点问题答案 D解析 抛物线 D： y220 x 的准线方程为 x5.10圆 C 的圆心(2,0)到准线的距离 d3.又由| AB|8， r2 d2 225，(|AB|2 )故圆 C 的面积 S r225，故选 D.5过抛物线 y24 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A， B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A有且仅有一条 B有且仅有两条C有无穷多条 D不存在考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题答案 B解析 若直线 AB 的斜率不存在，则横坐标之和为 2，不符合题意，故设 AB 的
17、方程为 y k(x1)，代入 y24 x，消去 y，得 k2x22( k22) x k20，由题意得 5，2 k2 2k2则 k2 ，所以这样的直线有且仅有 2 条436已知点 A(1,2)是抛物线 C： y22 px 与直线 l： y k(x1)的一个交点，则抛物线 C 的焦点到直线 l 的距离是( )A. B.22 2C. D23322 2考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题答案 B解析 将点(1,2)代入 y22 px 中，可得 p2，即得抛物线 y24 x，其焦点坐标为(1,0)将点(1,2)代入 y k(x1)中，可得 k1，即得直线 x y10，抛物线 C
18、 的焦点到直线 l 的距离 d .|1 0 1|2 27已知点 A(0，3)， B(2,3)，点 P 在 x2 y 上，当 PAB 的面积最小时，点 P 的坐标是( )11A(1,1) B.(32， 94)C. D(2,4)(23， 49)考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题答案 B解析 A(0，3)， B(2,3)， kAB3，直线 AB 的方程 y3 x3.设直线 y3 x t 是抛物线的切线， PAB 高的最小值是两直线之间的距离把直线 y3 x t 代入 x2 y，化简得 x23 x t0，由 0，得 t ，此时 x ， y ，94 32 94 P 点坐标为
19、.(32， 94)8已知直线 l： y k(x2)( k0)与抛物线 C： y28 x 相交于 A， B 两点，且 A， B 两点在抛物线 C 准线上的射影分别是 M， N，若| AM|2| BN|，则 k 的值是( )A. B. C2 D.13 23 2 223考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题答案 D解析 设抛物线 C： y28 x 的准线为 m： x2.直线 y k(x2)( k0)恒过定点 P(2,0)，如图，过 A， B 分别作 AM m 于点 M， BN m 于点 N.由| AM|2| BN|，得点 B 为 AP 的中点，连接 OB，则| OB| |AF
20、|，12| OB| BF|，点 B 的横坐标为 1，点 B 的坐标为(1,2 )2把 B(1,2 )代入直线 l： y k(x2)( k0)，2解得 k ，故选 D.22312二、填空题9直线 y kx2 与抛物线 y28 x 有且只有一个公共点，则 k_.考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线公共点个数问题答案 0 或 1解析 由Error!得 k2x2(4 k8) x40，当 k0 时，直线与抛物线只有一个公共点；当 k0 时，由 (4 k8) 216 k20，得 k1， k0 或 1.10过抛物线 y28 x 的焦点作倾斜角为 的直线 l，直线 l 与抛物线相交于 A， B 两点
21、，则 4弦| AB|的长是_考点 抛物线的焦点弦问题题点 求抛物线的焦点弦长答案 16解析 由 y28 x，得其焦点 F(2,0)，则过抛物线 y28 x 的焦点 F 且倾斜角为 的直线 l 的 4方程为 y1( x2)，即 x y20.由Error! 得 x212 x40，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x212， x1x24，所以| AB| |x1 x2|1 k2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 16.1 12 122 4411.如图，直线 y x3 与抛物线 y24 x 交于 A， B 两点，过 A， B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 P， Q，则梯
22、形 APQB 的面积为_考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题答案 48解析 由Error!消去 y，得 x210 x90，设 B， A 两点的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，解得Error! 或Error!| AP|10，| BQ|2，| PQ|8，梯形 APQB 的面积为 48.三、解答题1312设 F(1,0)，点 M 在 x 轴上，点 P 在 y 轴上，且 2 ， 0.MN MP PM PF (1)当点 P 在 y 轴上运动时，求点 N 的轨迹 C 的方程；(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， D(x3， y3)是曲线 C 上除
23、去原点外的不同三点，且| |，| |，| |成等差数列，当线段 AD 的垂直平分线与 x 轴交于点 E(3,0)时，求点 B 的AF BF DF 坐标考点 抛物线的简单几何性质的综合运用题点 抛物线的简单几何性质的综合运用解 (1)设 N(x， y)，由 2 ，得点 P 为线段 MN 的中点， P ， M( x,0)，MN MP (0， y2) ， .PM ( x， y2) PF (1， y2)由 x 0，得 y24 x.PM PF y24即点 N 的轨迹方程为 y24 x.(2)由抛物线的定义，知| AF| x11，| BF| x21，| DF| x31，| |，| |，| |成等差数列，A
24、F BF DF 2 x22 x11 x31，即 x2 .x1 x32线段 AD 的中点为 ，且线段 AD 的垂直平分线与 x 轴交于点 E(3,0)，(x1 x32 ， y1 y32 )线段 AD 的垂直平分线的斜率为 k .y1 y32 0x1 x32 3又 kAD ， 1，y3 y1x3 x1 y3 y1x3 x1 y1 y3x1 x3 6即 1.4x3 4x1 x23 x21 6 x3 x1 x1 x3， x1 x32，又 x2 ， x21.x1 x32点 B 在抛物线上， B(1,2)或 B(1，2)13已知抛物线 C： y22 px(p0)上的一点 M(2， y0)到焦点 F 的距离
25、等于 3.(1)求抛物线 C 的方程；(2)若过点 D(3,0)的直线 l 与抛物线 C 相交于 A， B 两点，求 ABF 面积的最小值考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题14解 (1)抛物线的准线方程为 x ，p2 M(2， y0)到焦点的距离为 2 3，p2 p2，抛物线的方程为 y24 x.(2)设 AB 的方程为 x my3，由Error!得 y24 my120，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y24 m， y1y212，| y1 y2| ， y1 y2 2 4y1y2 16m2 48 S ABF |FD|y1| |FD|y2| y1
26、| y2|12 12| y1 y2| 4 ，16m2 48 3当 m0 时， S ABF取得最小值 4 .3四、探究与拓展14.如图，过抛物线 x24 y 焦点的直线依次交抛物线和圆 x2( y1)21 于点 A， B， C， D，则| AB|CD|的值是( )A8 B4C2 D1考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求距离答案 D解析 方法一 特殊化(只要考查直线 y1 时的情形)方法二 抛物线焦点为 F(0,1)，由题意知，直线的斜率存在，设直线为 y kx1，与 x24 y 联立得 y2(4 k22) y10，由于| AB| AF|1 yA，| CD| DF|1 yD，所以| AB|CD|
27、 yAyD1.15在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 与抛物线 y24 x 相交于不同的 A， B 两点(1)如果直线 l 过抛物线的焦点，求 的值；OA OB (2)如果 4，证明直线 l 必过一定点，并求出该定点OA OB 考点 直线与抛物线的位置关系题点 直线与抛物线相交时的其他问题解 (1)由题意知，抛物线的焦点为(1,0)，15设 l： x ty1，代入抛物线方程 y24 x，消去 x，得 y24 ty40.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y24 t， y1y24.所以 x1x2 y1y2OA OB ( ty11)( ty21) y1y2 t2y1y2 t(y1 y2)1 y1y24 t24 t2143.(2)设 l： x ty b，代入抛物线 y24 x，消去 x，得 y24 ty4 b0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y24 t， y1y24 b.因为 x1x2 y1y2( ty1 b)(ty2 b) y1y2OA OB t2y1y2 bt(y1 y2) b2 y1y24 bt24 bt2 b24 b b24 b，又 4， b24 b4，OA OB 解得 b2，故直线过定点(2,0)16
