1、12.3.2 抛物线的简单几何性质第 1 课时 抛物线的简单几何性质学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题知识点一 抛物线的几何性质思考 观察下列图形，思考以下问题：观察焦点在 x 轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？答案 抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心梳理 标准方程y22 px(p0)y22 px(p0) x22 py(p0)
2、 x22 py(p0)图象范围 x0， yR x0， yR xR， y0 xR， y0对称轴 x 轴 y 轴顶点 (0,0)焦点 (p2， 0) ( p2， 0) (0， p2) (0， p2)性质准线 x p2 x p2 y p2 y p22离心率 e1知识点二 焦点弦的性质如图， AB 是过抛物线 y22 px(p0)焦点 F 的一条弦，设 A(x1， y1)，B(x2， y2)， AB 的中点 M(x0， y0)，相应的准线为 l.(1)以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切(2)|AB|2 (焦点弦长与中点关系)(x0p2)(3)|AB| x1 x2 p.(4)若直线 AB 的倾斜角为
3、 ，则| AB| .2psin2如当 90时， AB 叫做抛物线的通径，是所有焦点弦中最短的(5)A， B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即 x1x2 ， y1y2 p2.p241抛物线关于顶点对称( )2抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心( )3抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同( )类型一 抛物线几何性质的应用例 1 已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上，直线 l 过 F 且垂直于 x 轴， l 与抛物线交于 A， B 两点，O 为坐标原点，若 OAB 的面积等于 4，求此抛物线的标准方程考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程解 由题意，设抛物线方程为 y22
4、mx(m0)，焦点 F ，直线 l： x ，(m2， 0) m2所以 A， B 两点坐标为 ， ，(m2， m)(m2， m)所以| AB|2| m|.因为 OAB 的面积为 4，3所以 | |2|m|4，所以 m2 .12 m2 2所以抛物线的标准方程为 y24 x.2引申探究 等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线 y22 px(p0)， O 为抛物线的顶点， OA OB，则 AOB 的面积是( )A8 p2B4 p2C2 p2D p2答案 B解析 因为抛物线的对称轴为 x 轴，内接 AOB 为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线 AB 与抛物线的对称轴垂直，从而直线 OA 与 x
5、轴的夹角为 45.由方程组Error!得Error! 或Error!所以易得 A， B 两点的坐标分别为(2 p,2p)和(2 p，2 p)所以| AB|4 p，所以 S AOB 4p2p4 p2.12反思与感悟 把握三个要点确定抛物线简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是 x 还是 y，一次项的系数是正还是负(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴(3)定值：焦点到准线的距离为 p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为 2p；离心率恒等于 1.跟踪训练 1 已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点 P 到准线及对称轴距离分别为
6、10 和 6，求抛物线的方程考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程解 设抛物线的方程为 y22 ax(a0)，点 P(x0， y0)因为点 P 到对称轴距离为 6，所以 y06.因为点 P 到准线距离为 10，所以 10.|x0a2|因为点 P 在抛物线上，所以 362 ax0，4由，得Error!或Error! 或Error!或Error!所以所求抛物线的方程为 y24 x 或 y236 x.类型二 抛物线的焦点弦问题例 2 已知直线 l 经过抛物线 y26 x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A， B 两点若直线 l 的倾斜角为 60，求| AB|的值考点 抛物线的焦点弦问题题点 求抛物线
7、的焦点弦长解 因为直线 l 的倾斜角为 60，所以其斜率 ktan60 .3又 F ，(32， 0)所以直线 l 的方程为 y .3(x32)联立Error!消去 y，得 x25 x 0.94设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x25，而| AB| AF| BF| x1 x2p2 p2 x1 x2 p，所以| AB|538.引申探究 1若本例中“直线 l 的倾斜角为 60”改为“直线 l 垂直于 x 轴” ，求| AB|的值解 直线 l 的方程为 x ，32联立Error! 解得Error! 或Error!所以| AB|3(3)6.2若本例中“直线 l 的倾斜角为 60”改
8、为“| AB|9” ，求线段 AB 的中点 M 到准线的距离解 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由抛物线定义知| AB| AF| BF| x1 x2 p x1 x23，所以 x1 x26，于是线段 AB 的中点 M 的横坐标是 3.5又准线方程是 x ，32所以点 M 到准线的距离为 3 .32 92反思与感悟 (1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论跟踪训练 2 已知抛物线方程为 y22 px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物
9、线交于A， B 两点，且| AB| p，求 AB 所在直线的方程52考点 抛物线的焦点弦问题题点 知抛物线焦点弦长求方程解 由题意可知，焦点 F .(p2， 0)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)若 AB x 轴，则| AB|2 p p，不合题意，52故直线 AB 的斜率存在，设为 k，则直线 AB 的方程为 y k .(xp2)联立Error! 消去 x，整理得 ky22 py kp20.则 y1 y2 ， y1y2 p2.2pk| AB| (1 1k2) y1 y2 2 1 1k2 y1 y2 2 4y1y22 p p，(11k2) 52解得 k2， AB 所在直线方程为 y2
10、或 y2 .(xp2) (x p2)类型三 与抛物线有关的最值问题例 3 设 P 是抛物线 y24 x 上的一个动点， F 为抛物线的焦点(1)求点 P 到点 A(1,1)的距离与点 P 到直线 x1 的距离之和的最小值；(2)若点 B 的坐标为(3,2)，求| PB| PF|的最小值考点 抛物线的定义6题点 由抛物线定义求最值解 (1)如图，易知抛物线的焦点为 F(1,0)，准线方程是 x1.由抛物线的定义知，点 P 到直线 x1 的距离等于点 P 到焦点 F 的距离于是问题转化为在曲线上求一点 P，使点 P 到点 A(1,1)的距离与点 P 到 F(1,0)的距离之和最小显然，连接 AF，
11、 AF 与抛物线的交点即为点 P，故最小值为 ，即点 P 到点 A(1,1)的距离与点 P 到直线22 12 5x1 的距离之和的最小值为 .5(2)如图，把点 B 的横坐标代入 y24 x 中，得 y2 .因为32 2，所以点 B 在抛物线内部过点 B 作 BQ 垂直于准线，垂足为3点 Q，交抛物线于点 P1，连接 P1F.此时，由抛物线定义知，|P1Q| P1F|.所以| PB| PF| P1B| P1Q| BQ|314，即| PB| PF|的最小值为 4.反思与感悟 解关于抛物线的最值、定值问题时，首先要注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是注意平面几何知识的应用，例
12、如两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等跟踪训练 3 已知直线 l1：4 x3 y60 和直线 l2： x1，抛物线 y24 x 上一动点 P 到直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是( )A2B3C. D.115 3716考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求最值答案 A解析 由题意知，直线 l2： x1 为抛物线 y24 x 的准线由抛物线的定义知，点 P 到 l2的距离等于点 P 到抛物线的焦点 F(1,0)的距离故所求最值可转化为在抛物线 y24 x 上找一个点 P，使得点 P 到点 F(1,0)和到直线 l1的距离之和最小，最小值为 F(1
13、,0)到直线l1：4 x3 y60 的距离，即 d 2.|4 0 6|51以 x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为 8，若抛物线的顶点7在坐标原点，则其方程为( )A y28 x B y28 xC y28 x 或 y28 x D x28 y 或 x28 y考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程答案 C解析 设抛物线 y22 px 或 y22 px(p0)，依题意得 x 或 x ，分别代入 y22 px 和 y22 px，得| y| p，p2 p22| y|2 p8， p4.即抛物线方程为 y28 x.2抛物线 y ax2(a0)的焦点作直线交抛物线于 P(x1， y1
14、)， Q(x2， y2)两点，若x1 x23 p，则| PQ|等于( )A4 p B5 pC6 p D8 p考点 抛物线的焦点弦问题题点 求抛物线的焦点弦长答案 A8解析 由焦点弦公式| PQ| x1 x2 p，又 x1 x23 p，| PQ|4 p.4已知过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F 作倾斜角为 45的直线交抛物线于 A， B 两点，若线段 AB 的长为 8，则 p_.考点 抛物线的焦点弦问题题点 知抛物线焦点弦长求方程答案 2解析 直线 AB 的方程为 y x ，p2由Error! 消去 y，得 x23 px 0，p24设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， x1 x2
15、3 p，| AB| x1 x2 p4 p8， p2.5.如图，已知边长为 2 的等边三角形 AOB， O 为坐标原点， AB x 轴(1)求以 O 为顶点且过 AB 的抛物线方程；(2)求抛物线的焦点坐标，准线方程及离心率 e.考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程解 (1)由题意知 A( ，1)，3设抛物线方程为 y22 px(p0)，将 x ， y1，代入得 p ，336所求抛物线方程为 y2 x.33(2)抛物线的准线方程为 x ，焦点坐标为 ，离心率 e1.312 (312， 0)1讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程2抛
16、物线中的最值问题：注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是平面几何知识的应用9一、选择题1已知抛物线的对称轴为 x 轴，顶点在原点，焦点在直线 2x4 y110 上，则此抛物线的方程是( )A y211 x B y211 xC y222 x D y222 x考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程答案 D解析 在方程 2x4 y110 中，令 y0 得 x ，112抛物线的焦点为 F ，即 ， p11，(112， 0) p2 112抛物线的方程是 y222 x.2已知抛物线 y22 px(p0)的准线与曲线 x2 y24 x50 相切，则 p 的值为( )A2 B1C. D.
17、12 14考点 抛物线的几何性质题点 抛物线与其他曲线结合有关问题答案 A解析 曲线的标准方程为( x2) 2 y29，其表示圆心为(2,0)，半径为 3 的圆，又抛物线的准线方程为 x ，由抛物线的准线与圆相切得 2 3，解得 p2.p2 p23抛物线 C1： y22 x 的焦点为 F1，抛物线 C2： x2 y 的焦点为 F2，则过 F1且与直线 F1F212垂直的直线 l 的方程为( )A2 x y10B2 x y10C4 x y2010D4 x3 y20考点 抛物线的几何性质题点 与准线、焦点有关的简单几何性质答案 C解析 由题意知， F1 ， F2 .(12， 0) (0， 18)所
18、以直线 F1F2的斜率为 ，14则直线 l 的斜率为 4.故直线 l 的方程为 y4 ，(x12)即 4x y20.4过抛物线 y22 px(p0)的焦点作直线交抛物线于 P， Q 两点，若线段 PQ 中点的横坐标为3，| PQ|10，则抛物线方程是( )A y28 x B y22 xC y26 x D y24 x考点 抛物线的焦点弦问题题点 知抛物线焦点弦长求方程答案 A解析 设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，则 3，即 x1 x26.x1 x22又| PQ| x1 x2 p10，即 p4，抛物线方程为 y28 x.5在同一直角坐标系中，方程 a2x2 b2y21 与 ax by
19、20( ab0)的曲线大致是( )考点 抛物线的几何性质题点 抛物线与其他曲线结合有关问题11答案 D解析 a2x2 b2y21 其标准方程为 1，x21a2y21b2因为 ab0，所以 0)的焦点作一直线交抛物线于 A(x1， y1)， B(x2， y2)两点，则的值是( )y1y2x1x2A4B4C p2D p2考点 抛物线的焦点弦问题题点 与焦点弦有关的其他问题答案 B解析 采用特例法当直线与 x 轴垂直时，易得 A ， B ，(p2， p) (p2， p) 4.y1y2x1x27已知抛物线 y22 px(p0)，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A， B 两点，若线段AB 的中点
20、的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为( )A x1 B x1C x2 D x2考点 抛物线的焦点弦问题题点 与焦点弦有关的其他问题答案 A解析 抛物线的焦点为 F ，所以过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y x ，即 x y .代(p2， 0) p2 p2入 y22 px，得 y22 py p2，即 y22 py p20，由根与系数的关系，得 p2( y1， y2分别为点 A， B 的纵坐标)，所以抛物线方程为 y24 x，准线方程为y1 y22x1.8已知抛物线 C： y28 x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 K，点 A 在抛物线 C 上，且12|AK| |AF|，则 AFK 的面
21、积为( )2A4B8C16D32考点 抛物线的定义题点 抛物线定义的其他应用答案 B解析 易知 F(2,0)， K(2,0)，过点 A 作 AM 垂直准线于点 M，则| AM| AF|.| AK| |AM|，2 AMK 为等腰直角三角形设 A(m2,2 m)(m0)，2则 AFK 的面积 S 2 m44 m.12 2 2又由| AK| |AM|，得( m22) 28 m22( m22) 2，2解得 m .2 AFK 的面积 S4 m8.2二、填空题9设抛物线 y216 x 上一点 P 到对称轴的距离为 12，则点 P 与焦点 F 的距离|PF|_.考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求距离答案
22、 13解析 设 P(x,12)，代入 y216 x，得 x9，| PF| x 9413.p210抛物线 y x2的焦点与双曲线 1 的上焦点重合，则 m_.116 y23 x2m考点 抛物线的几何性质题点 抛物线与其他曲线结合有关问题答案 13解析 抛物线 y x2可化为 x216 y，116则其焦点为(0,4)，133 m16，则 m13.11已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 x 轴，且与圆 x2 y24 相交的公共弦长等于2 ，则这条抛物线的方程为_3考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程答案 y23 x解析 由题意设抛物线方程为 y2 ax(a0)，当 a0 时，弦的端点坐标为(1
23、， )代入抛物线方程得 y23 x，3同理当 a0)， A(x0， y0)，由题知 M .(0， p2)| AF|3， y0 3.p2| AM| ，1714 x 217，20 (y0p2) x 8，代入方程 x 2 py0得，20 2082 p ，解得 p2 或 p4.(3p2)所求抛物线的标准方程为 x24 y 或 x28 y.四、探究与拓展14.如图，过抛物线 y22 px(p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A， B 两点，交其准线于点 C，若| BC|2| BF|且| AF|3，则此抛物线的方程为( )A y23 xB y29 xC y2 x32D y2 x92考点 抛物线的标准
24、方程题点 求抛物线方程答案 A解析 作 AM， BN 分别垂直准线于点 M， N，则| BN| BF|，| AM| AF|.又| BC|2| BF|，得| BC|2| BN|， NCB30，| AC|2| AM|2| AF|6.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，| BF| x，则 2x x36，得 x1，而 x1 3， x2 1，p2 p2且 x1x2 ，p24 ， p ，(3p2)(1 p2) p24 32得抛物线方程为 y23 x.15已知抛物线 y22 x.(1)设点 A 的坐标为 ，求抛物线上距离点 A 最近的点 P 的坐标及相应的距离| PA|；(23， 0)(2)在抛物
25、线上求一点 P，使 P 到直线 x y30 的距离最短，并求出距离的最小值考点 抛物线的几何性质15题点 转化为函数关系的最值问题解 (1)设抛物线上任一点 P 的坐标为( x， y)(x0)，则| PA|2 2 y2 22 x(x23) (x 23) 2 .(x13) 13设 f(x) 2 ，(x13) 13因为 x0，所以在此区间上函数 f(x)单调递增，故当 x0 时，| PA|min ，23故距离点 A 最近的点的坐标为(0,0)，此时，| PA| .23(2)设点 P(x0， y0)是 y22 x 上任一点，则 P 到直线 x y30 的距离为d |x0 y0 3|2 |y202 y0 3|2 ，| y0 1 2 5|22当 y01 时， dmin ，522 524所以点 P 的坐标为 .(12， 1)16
