1、 矩 阵 的 特 征 值 与 特 征 向 量 的 若 干 应 用Several applications of eigenvalues and eigenvectors of the matrix专 业: 数学与应用数学作 者: 指导老师: 学校二一I 摘 要本文介绍了矩阵的特征值与特征向量的一些理论, 在此理论基础上做了一定的推广, 并通过矩阵的特征值与特征向量的命题与性质来探讨特征值与特征向量的一些应用.关键词: 特征值; 特征向量 ; 矩阵; 递推关系II AbstractThis article describes some theories of eigenvalues and ei
2、genvectors of the matrix , based on these theories we do some promotions, and discusses the applications of eigenvalues and eigenvectors of the matrix through their propositions and nature. Keywords: eigenvalue; eigenvector; matrix; recursion relations目 录摘 要 .IABSTRACT .II0 引言 11 关于矩阵的特征值与特征向量的一般理论
3、12 矩阵特征值与特征向量的几个应用 52.1 特征值与特征向量确定矩阵的方法证明及应用 .52.1.1 命题的证明 52.1.2 命题的应用 72.2 线性递推关系中特征值与特征向量的应用 .72.2.1 命题的证明 72.2.2 命题的应用 92.3 特征值与特征向量在矩阵运算中的应用 112.3.1 特征值与特征向量的基本性质 .112.3.2 性质的应用 .123 小结 .15参考文献 .16第 1 页, 共 16 页0 引言为了利用矩阵研究线性变换, 希望能找到线性空间的基使线性变换在该基下的矩阵具有最简单的形式, 因此我们引进了特征值与特征向量. 特征值与特征向量在线性变换中起着举
4、足轻重的作用, 充分利用特征值与特征向量的命题与性质对我们解题带来极大的帮助, 能使复杂的问题变的简单, 化简为易, 化繁为简. 本文就矩阵的特征值与特征向量在一些解题中的应用作了初步的探讨. (见参考文献1 2 4)1 关于矩阵的特征值与特征向量的一般理论我们知道, 在有限维线性空间中, 取了一组基之后, 线性变换就可以用矩阵来表示. 为了利用矩阵来研究线性变换, 对于每个给定的线性变换, 我们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形式. 从现在开始, 我们主要的来讨论, 在适当的选择基之后, 一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简单形式 . 为了这个目的, 先介绍特征值和特征向量的概念,
5、它们对于线性变化的研究具有基本的重要性定义 1.1 设 是数域 上的一个 阶方阵,若存在一个数 以及一个非零 维APnPn列向量 ,使得nxPx则称 是矩阵 的一个特征值,向量 称为矩阵 关于特征值 的特征向量 A现在我们给出寻找特征值与特征向量的方法, 设 是数域 上 维线性空间, VPn是它们的一组基, 线性变换 就是在这组基下的矩阵是 . 设 是特征值，12n / A0它的一个特征向量 在 下的坐标是 . 则由 , 这说明特12,n nx0201, x征向量 的坐标 满足齐次次方程组00x.,021 222 10121nnnnxaxa 即第 2 页, 共 16 页(1.1).0,0212
6、02 12110 nnnxaxa 由于 , 所以它的坐标 不全为零, 即齐次线性方程组有非零解. 0n0,从而, 齐次线性方程组（ 1.1）式, 有非零解的充分必要条件是它的系数行列式为零, 即0021 202 112100 nnn naaAE 我们引入以下定义.定义 1.2 设 是数域 上一 级矩阵, 是一个文字. 矩阵 的行列式PAE，nnnnaaAE 21221121称为 的特征多项式, 这是数域 上的一个次多项式.AP上面的分析说明, 如果 是线性变换 的特征值, 那么 一定是矩阵 的特征多0/A0A项式的一个根; 反过来 , 如果 是矩阵 的特征多项式在数域 中的一个根, 即P, 那
7、么齐次线性方程组（1.1）式就有非零解. 这时，如果0EA是方程组（1.1）式的一个非零解, 那么非零解向量120,nx.0120nxx满足（1.1）式, 即 是线性变换 的一个特征值, 就是属于特征值 的一个特征0/A0向量因此, 确定一个线性变换 的特征值与特征向量的方法可以分成一下几步：/1、在线性空间 中取一组基 , 写出 在这组基下的矩阵 ;V12,n / A2、求出 的特征多项式 在数域 中全部的根, 它们也就是线性变换 的AEAP/第 3 页, 共 16 页全部特征值;3、把所有得的特征值逐个代入方程组（1.1）式, 对于每一个特征值, 解方程组（1.1）式，求出一组基础解系,
8、它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基 下的坐标, 这样, 我们也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特12n征向量 矩阵 的特征多项式的根有时也称为 的特征值, 而相应的线性方程组（1.1）式AA的解也就称为 的属于这个特征值的特征向量例 1 设线性变换 在基 ， ， 下的矩阵是/1231A，求 的特征值与特征向量/A解 因为特征多项式为 21215EA,所以特征值-1（二重）和 5把特征值-1 代入齐次方程组 1230xx得到 1230x它的基础解系是， 10因此，属于-1 的两个线性无关的特征向量就是第 4 页, 共 16 页，132而属于1 的全部特征向量就是 ， ， 取
9、遍数域 中不全为零的全部数对. 1k1k2P再用特征值 5 代入, 得到 12340x，它的基础解系是1因此, 属于 5 的一个线性无关的特征向量就是 ，3123而属于 5 的全部特征向量就是 , 是数域 中任意不等于零的数kP例 2 在空间 中, 线性变换nPxxf在基 下的矩阵是211,!nx .00100 D的特征多项式是D.01nDE 因此 的特征值只有 0, 通过解相应的齐次线性方程组知道, 属于特征值 0 的线性无D第 5 页, 共 16 页关的特征向量组只能是任一非零常数. 这表明微商为零的多项式只能是零或非零常数(见参考文献1)2 矩阵特征值与特征向量的几个应用2.1 特征值与
10、特征向量确定矩阵的方法证明及应用已知矩阵的特征值与特征向量确定 3 阶对称矩阵的公式设 3 阶对称矩阵 的特征值为 , 且 对应的特征向量为 , 则A121p.321EpT本文给出推广到 阶对称矩阵的一类计算公式.n2.1.1 命题的证明命题 1 设 阶对称矩阵 的特征值为 其中nAk,21 ， 对应的特征向量为 ， .则可取knijk,2,iip,2k， nki TiiTkEpA1且为 的 重特征值A1nk证明 不妨设, , nkki TiiTkEpB1 1ki TiiTkpC12, ,2ikiiiniTpam 因为 两两正交,121,kp 1 ()kTikj ijknjjkjkjjBppE
11、ppp，所以 为 的特征向量, 为 的对应于 的特征向量, 且 jj j 1,2j因为 1kTikkniBEpC第 6 页, 共 16 页1212(,.)(,.),Tikiiiiniiiinipmamapap11121 ,kiki kiiniiiiki TiiTkC即矩阵 的列向量组可由向量组 线性表示, 故矩阵 的秩2,kp C, .nkR0nEBC所以 为 的特征值kB又可证 为 的 重特征值, 设 , 即k1nk11,2kijijimapn.,1121 222112111 knknnn kkpapama . nkkknkn aam11222111212121 , 因为 , 秩 , 故 0
12、,im 12,kRp ,R不妨设 是向量组 的极大线性无关组, 则有121,ka na 1,2kjjjj abb nkj,1,若 ,则有12,nnEe 11 1221122(),(),.(),.k k kniikiikinikni i ik nnBmapemapemapeae 做第三种初等变换将第 j 列 化为jkj1122,11,1,jkj jkkkjjjjkjbbebeee n 令第 7 页, 共 16 页1,2ikiiaek12. ,(,1.,)jjjkjjbbennkkknk kn eaeaEB ,112121 而行列式 是 的最高次幂为 的多项式 为1211,kkn 121,k的特征
13、值,B1knnkiiBE综上可知命题成立 （参考文献2 4 ）2.1.2 命题的应用例 3 设 3 阶对称矩阵的特征值 , , ，对应于的 , 的特征向120312量依次为 ,求矩阵 TTpp2,21A解 由公式= .3223113 EppATTT 021例 4 设 3 阶对称矩阵 的特征值 ， , 对应于的 特征向量为61321求矩阵 1,TpA解 由公式4132112EpTT综上, 运用该命题根据已知条件, 可简捷快速地求出矩阵, 给我们带来极大的方便2.2 线性递推关系中特征值与特征向量的应用用特征值和特征向量对一般线性递推关系进行讨论 （见参考文献14 15）2.2.1 命题的证明 第
14、 8 页, 共 16 页命题 2 设 阶线性循环数列 满足递推关系knx，knnxaax21 ,21k其线性方程组为 .,11211knknnknnxx 可表为矩阵形式 knnkknn xxaaxx 321121121 010（2.1）令， ，knnknxxa321 010121 kaaA则（2.1）式可写成， 1nknkaA（2.2）由（2.2）式递推得，1121 aAaknknkn 其中 , 于是求通项 , 就归结为求 , 也就是求 .Tkxxa21,x1nkxnkA如果 可对角化, 即存在可逆矩阵 , 使得 , 则 , 由于AP1B 1nkP第 9 页, 共 16 页100112 kka
15、aAE从第一列开始每一列乘以入加到后一列上, 可得 )()1 010011 1121212kkk kkkkka aaaa 若 是 的一重特征值, 显然有 , 则线性齐次方程 的基AREAEA础解系中只含有一个解向量. 因此当 有个特征值 时, 这 个特征值对应k,21的特征向量分别 , 以这个 特征向量为列构成的方阵记为 , 则 是可逆kP,21 kP的, 并且 , 其中PABk 0212.2.2 命题的应用例 6 计算 阶行列式n200112010 D解 将 按第一行展开得,n,1213nDM其中 与 分别是元素 与 的余子式, 再 将它们分别按第一列展开得:12M3123第 10 页, 共
16、 16 页,123nnnDD则是 阶线性循环数列. 将方程组nD123nnnD表示成矩阵形式为：112230nn令，012A由上式递推得： 12343232121 DAADnnnn （2.3）由 ，解的特征值为0EA， ， 1223再由特征方程 , 解得 对应的特征值 , , .的特征向量分03XiA123别为， ， ，1P21243P令，123412P则第 11 页, 共 16 页1 136102,02PAP 23323 121 13133 66100 nnnnnn PA由（2.3）式可得：， 132333116 DDD nnnn 将 代入上式得：0,5,231. n2362nn2.3 特征
17、值与特征向量在矩阵运算中的应用设 为阶 方阵, 如数 与 维非零列向量 使关系式 成立, 则称数 为AnnxAx方阵 的特征值, 称为 的对应于 的特征向量; 称为特征多项式, xAfE称为特征方程 （见参考文献3 10）0fE2.3.1 特征值与特征向量的基本性质性质 1 设 为 阶方阵, 为 的 个特征值, 则 An12,n AnA21性质 2 方阵 可逆 的 个特征值都不为零性质 3 设 为方阵 的特征值, 为 的多项式, 则 为 的特征值性质 4 不为方阵 的特征值 A0E性质 5 (凯莱哈密顿定理) 设 阶方阵 的特征多项式为 ，则 nAAEf11nnfaa性质 6 设 阶方阵 的
18、个特征值为 , 且 为对应的 个线性nA2 12,np第 12 页, 共 16 页无关的特征向量, 记 , 则12,nPp.nA21性质 7 设 为 阶实对称阵, 是它的 个特征值, 则n(1) 当且仅当 都大于零时, 正定；12n A(2) 当且仅当 都小于零时, 负定； ,(3) 当且仅当 都非负, 但至少一个等于零时, 是半正定；12n A(4) 当且仅当 都非正, 但至少一个等于零时, 是半负定；,(5) 当且仅当 中既有正数, 有又负数时, 是不定的12n2.3.2 性质的应用(1) 求方阵 的行列式 以及 的多项式 的行列式 AAAA例 7 已知三阶矩阵 的特征值为 1, 1, 2
19、, 设 , 求: ;325 ; .5E解 由性质 1 可得.12A 因 , 由性质 3 可知 的特征值为325A, , 1461故.241A 的特征多项式为 12fEA令 , 得 5，557f第 13 页, 共 16 页故.35172AEA(2) 判断方阵 及 的可逆性.K例 8 设,284013A问当 为何值时, 可逆.kkE解 因, 23104182fA故 ，2113为 的三个特征值, 由性质 4 可知, 当 时, 可逆A2kAkE(3) 求方阵 , 的逆阵 及 的 次幂.A1A例 9 设，021求 ; ; .3A15A解 ，31021fE由性质 5 有,320fAE故.3142032第
20、14 页, 共 16 页 由 , 可知 0 不是 的特征值, 由性质 2 知 可逆. 而01fAA,21113322 EEEA 故.101 3532522 42AEAAEAE故 . 5160853（4）求方阵 的多项式 .A例 10 设,102计算 . 854223AAE解 由于 ，而31f，10372442458 qf显然.EAAfA32 22458由性质 5 可知 ，所以0f.2348643710951E(5) 判断实对称阵的正定性.例 11 设 阶实对称阵 正定, 则存在矩阵 , 使 , 且 也是正定矩阵.nAB2AB证明 因 为实对称阵, 故存在正交矩阵 , 使P第 15 页, 共 1
21、6 页,11nPA其中 为 的 个特征值. 因 正定, 故有 , 于是 1,2in A01,2i n1 111 11111n nnnnAPPPP 令,11nBPP则有,2A又因,11 2nPB即 与对角阵 相似, 相似矩阵的特征值相同,故 为 的 个特征值, 因B21,n B, 由性质 7 知 正定.01i n B3 小结本文利用特征值与特征向量的一些命题和性质来探讨特征值与特征向量在一些解题计算中的应用，充分应用命题和性质给我们的解题带来很大的方便.致谢 本文是在 的指导和帮助下完成，在此向汪老师表示衷心的感谢!第 16 页, 共 16 页参考文献1 大学数学系几何与代数教研室前代数小组高等
22、代数（第三版）M 北京：高等教育出版社，20032 同济大学应用数学系. 工程数学- 线性代数(第 4 版 ) M . 北京:高等教育出版社,2003.3 朱金寿,陈晓江,扬爱芳. 线性代数M . 华中理工大学出版社 1995.4 李淑花. 关于一类线性代数习题的快速解法J . 高等数学研究 .5 谢国瑞. 线性代数及应用M . 北京:高等教育出版社 ,1999.6 戴华. 矩阵特征值反问题的若干进展J . 南京航空航天大学学报 ,1995.7 钱吉林.高等代数题解精粹M .北京：中央民族大学出版社 .8 陈文灯,黄先开.理工类数学复习指南M .北京:世界图书出版公司北京公司 ,2003.9
23、朱凤娟特征值与特征向量逆问题的研究J 滨州学院学报 2007.6 .10 英 S.巴比特 . 科技工作者用矩阵方法 M .北京：化学工业出版社.1984.126-137.11 蓝以中.高等代数简明教程（上册）M .北京大学出版社 .12 tephen H.Friedbeng 等.Linear Algebra(4th Edition) M.Prentice Hall/Pearson，1998.13 Verler.W.J.Vectors Structures and Solutions of linear Matrix Equation, linear Algebra Appl;1975.14 奚传志，矩阵特征值与特征向量在递推关系上的应用J ，枣庄师专学报，1991（2）.15 熊全淹，线性代数M. 北京；高等教育出版社，1987 .4.
