1、1浅谈特征值和特征向量的解法与应用摘 要特征值与特征向量是高等代数研究的中心问题之一，而矩阵特征值与特征向量的解法及其应用更是重中之重，因此，在掌握特征值与特征向量概念、了解其基本性质的基础上，熟练掌握其在各种具体问题中的解法，并自然地将此知识应用于其他领域显得非常重要。关键词：特征值；特征向量；解法；应用一位数学家曾说过:“矩阵不仅节约思想,而且还节约黑板” 。矩阵作为一种数据结构,一种运算工具,对一些十分复杂的问题,处理起来十分容易。在高职教材中,对矩阵的介绍较为肤浅,学生很难正确把握矩阵的实质,更谈不上用矩阵来解决实际问题,在教学中,教师应结合专业,穿插矩阵的应用,让学生看到矩阵的神奇;
2、用矩阵能达到化繁为简,化难为易的功效。随着现代科学技术的发展，矩阵理论得到了迅速发展，现已成为目前最有实用价值的数学理论之一。它不仅是数学的一个重要分支，而且已成为现代各科学技术领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力工具。特别是计算机的广泛应用，大量的算法都涉及到矩阵运算。当阶数较高时，矩阵乘法将变得非常繁杂，这就需要找出简单的方法。显然，如果能将一般矩阵和某个对角矩阵联系起来，就有希望简化计算。为此，下面我们先论述线性变换的特征值和特征向量的解法。它们对于线性变换的研究起十分重要的作用。在多数高等代数教材中，特征值与特征向量的引入是为了研究线性空间中线性变换 A 的属性，描述为线性空间
3、中线性变换 A 的特征值与特征向量;而在大部分线性代数教材中，特征值与特征向量的讨论被作为矩阵理论研究的一个重要组成，定义为 n 阶矩阵 A 的特征值与特征向量。从理论上来讲，只要求出线性变换 A 的特征值与特征向量，就可知矩阵 A 的特征值与特征向量，反之亦然，因此求矩阵的特征值与特征向量就变得尤为重要.本文讲介绍解特征2值与特征向量的几种方法。一 ，求解矩阵 A 的特征根及特征向量的传统方法是。(1)取定数域 K 上的线性空间的一个基，写出线性变换 T 在改基下的矩阵A；(2)求出 A 的特征多项式在数域 K 上的全部根，它们就是 T 的全部特征值；把求得的特征值逐个带入方程组，解出矩阵
4、A 的属于每个特征值的全部线性无关额特征向量；以 A 的属于每个特征值的特征向量为中取定基下的坐标，即得 T 的相应特征向量。例 1 设线性变换 T 在的基下的矩阵是A= 求 T 的特征值和特征向量。解 容易算出 A 的特征多项式是=det=因为 T 的特征值是=5.特征方程=0 的一个基础解系为, T 的属于的两个线性无关的特征向量为, 的属于的全体特征向量为不同时为零)特征方程=0 的一个基础解系为 ,则 T 的属于的全体特征向量为（K 不等于零）对于线性空间的线性变换的任一特征值，T 的属于的全部特征向量，再添上零向量所构成的集合 3是的一个线性子空间。事实上，设 ，y,则有T= ， T
5、y=y于是T=T+Ty= T= 均属于 .这就说明 与均属于例 2 求矩阵A=的特征根和相应的特征向量。解 ： 矩阵 A 的特征多项式=.所以特征根是 1 和 5.当矩阵的属于特征根 1 的特征向量是齐次线性方程组-4=0，-2+2=0，2=0。的非零解，即（0 , a , a ）,aC ,a0 ,矩阵 A 的属于 5 的特征向量是齐次线性方程组0=02+2=02+2=0的非零解，即（a , b , -b）, a, bC 且不全为零。二 利用特殊的特征方程求特征值与特征向量。4利用矩阵的特征方程来求特征值.设矩阵,根据特征方程，满足的，则是的特征值。这种方法多应用于数值矩阵。例 设阶方阵有特征
6、值，求 ,的特征值；若 A 可逆，求 , ,的特征值。解 用特征方程求。由题设可知=0 (3)（3）式两边同乘,得=0，故知有特征值 。同理， （3）式两边同乘A+,得A+=0 ,故知的特征值为。当 A 可逆时， （3）式两边同乘，得=0 . 故知的特征值为 。（3）式两边同乘，得=0故知的特征值为 。同理由=0,可得5=0 ，故有特征值 1- 。三 ，利用矩阵的初等变换求特征值与特征向量的两种方法。定理 1 设 A 是 n 阶方阵， 为待求特征值.若对矩阵(A-E)T 施行一系列行初等变换，可得到上三角矩阵 B()，令 B()的主对角线上元素乘积为零，求得 值即为矩阵 A 的特征值。考察的第
7、一列元素:若0, 通过行初等变换化为;若=0,则本身就具有这样形式,再对进行相应的行初等变换,化为,依次对 进行如此运算,直至)化为=B.由以上运算可知，与等价，则与 B 有相同的等因子，所以可证定理 1 成立。定理 2：若对矩阵实行一系列行初等变换，化为行阶梯形，同时对单位阵也施行相应的行初等变换，使,其中为满秩矩阵，则中的 n-r 个 n 维向量的转置就为矩阵 A 的属于特征值 Y 的特征向量。定理 3：设是阶方阵，为待求特征值。若对矩阵施行一系列初等变换，可得到上三角矩阵令的主对角线上元素乘积为零，求得值即为矩阵 A 的特征值。定理 4： 设齐次线性方程组 AX=0，A 是 n 阶方阵，
8、R=rn，且A=C若将 C 的对主角线上的元素 0 改写维-1，那么这些改写成-1 的元素所在6的列(改写后的列)，即为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系。应用例题例 1 求实数域上矩阵A=的特征值域特征向量。解：方法一E=D()P()令 D()的主对角线元素之积为零，即（+5）=0，特征值为=1，(二重).当时，D()P()= R(D()=1 于是对应的特征向量为=， = .所以 A 的属于全部的特征向量为，其中不全为零的常数；当时DP( )= .R（D）=2,于是=-5 对应的特征向量为= 。所以的属于全部的特征向量为,其中不为零。方法二(A- )=由定理 3，令得 ，令 得=1 ，=-
9、5 。所以 A 的特征值为= =1 ，=-5. 当= 时7=，由定理 4 得 ，所以的属于=1 全部特征向量为+ ,其中 ，不全为零；当=-5 时，(-5)=,由定理 4 得=所以的属于全部的特征向量为 ,其中不为零。本文所给的两种方法利用初等变换求特征值，再观察直接得出特征向量，可以说特征向量与特征值的求法是同步的，计算量较少。四 求抽象矩阵的特征值与特征向量。所谓的抽象矩阵，是指矩阵的元素没有具体给出的矩阵。抽象矩阵的特征值与特征向量的求法：（1）根据满足此关系式的与 p 分别是 A 的特征值与特征向量的求法；（2）满足关系式的数即为 A 的特征值；（3）若满足某个关系，其中 是度多项式，
10、则的特征值必满足.但要注意的是只是是特征值的必要条件，并不是充分条件，即多项式的所有根未必都是的特征值。例 1 设阶矩阵有特征值。（1）证明和有相同的特征值；（2）求的特征值；（3）若 A 可逆，求 ， ，E 的特征值。解： （1）因为即 A 与有相同的特征多项式从而 A 与有相同的特征值。（2）设 p 是 A 的属于的特征向量，即 Ap=p，p0，则，8由此知，+2+1 分别是 ，+2A+E 的特征值，p 仍是其对应的特征向量。（3）若 A 可逆，则设是其对应的特征向量，则式两端左乘以得从而得分别是 ， ,E 的特征值，p 仍是其对应的特征向量。例 2 设是阶矩阵， 都是矩阵，且=2 ,求
11、A 的特征值与特征向量。解 令 B= ,则 A=B+E ,若是 B 的特征值，p 是 B 的对应于的特征向量，则+1 是 A 的特征值，p 是 A 的对应于+1 的特征向量。因此，求 A 的特征值与特征向量归结为求 B 的特征值和特征向量。设为 B 的特征值，其相应的特征向量为 p ，即 Bp=p ，p=p ,另一方面，p=p=2Bp=2p .所以 ，=0 或.对于=0 ，解齐次线性方程组 B=0，其中系数矩阵B= ,由方程组（E-A）=0, 解得方程组 B=0 的一组基础解系为,= , ,= .对于=2，由于 B 的属于=0 的线性无关的特征向量恰有 n-1 个，因此 B的属于=2 的线性无
12、关的特征向量最多有 1 个，又=2=2B设 B=（）,则9（）=（）=2B=（）故=2 ,i=0 ,1 ,2 , n .若 B 的第 i 个列向量 0，则是 B 的属于=2 的特征向量。因=0故是 B 的属于=2 的特征向量。于是=0也是的属于的特征向量。从而是的特征值。的属于的全部特征向量为其中 不全为零；A 的属于=3 的全部特征向量为 k ,k0 .五 矩阵特征值反问题的求解。矩阵特征值反问题的求解，即根据矩阵的特征值和特征向量的信息来决定矩阵中的元素。当矩阵 A 有 n 个互不相等的特征值时，A 必有 n 个线性无关的特征向量,那么矩阵 A 必可对角化,故 A=P，其中相似变换矩阵 P
13、 由 A 的 n个线性无关的特征向量组成。例 1 设 3 阶方阵的特征值为，对应的特征向量分别为= ，= ,=，求 A.由于是方阵对应于特征值的特征向量，于是有：令，那么= ，则有 AP=P,其中 = 。由上式可得 A=P= ，即为所求。例 2已知线性方程组有无穷多解，A 是三阶矩阵， ， ， 分别是 A 关于特征值 1，-1，0 的三个特征向量，求 A。10解 方程的增广矩阵经初等变换因方程组有无穷多解，故 a=0 或 a=-1 。若，a=-1，则= ， = 线性相关与它们分别是 A 的关于特征值 1，-1 的特征向量矛盾，故 a-1，因此 a=0 。 ， ,是 A 的关于特征值 1，-1，
14、0 的三个特征向量。令 P=则 AP=A=P=六 利用矩阵的特征值求实对称矩阵的正交矩阵并求出对角矩阵。利用特征值求实对称矩阵的正交矩阵。由于实对称矩阵的特征值为实数。定理 1 设， 是实对称矩阵 A 的的两个不同的特征值，,是对应的特征向量，则与正交。定理 2 设 A 为 n 阶实对称，则必存在一个正交矩阵 P，使得 AP=AP=,其中是以 A 的 n 个特征值为对角元的对角矩阵。证 已知 A=,A=,.因为 A 对称，故=A于是=A=()=即=0.但，故=0 即与正交。由此可以证明定理 1.再由定理 1 就可以证明定理 2 也成立。例 求一个正交矩阵 P，使 AP=为对角阵，其中A=.11
15、解 由A-E=-所以 A 的特征值为=-1，=2，=5.对应=-1，解齐次线性方程组=0.即=得其基础解系=。将单位化，得=。对应=2，解齐次线性方程组=0，即得到其基础解系=。将单位化，得对应=5，解齐次线性方程组=0.即=得其基础解系=。将单位化，得=。由， ，构成正交矩阵：P=(,)=有AP=AP=.七 利用矩阵的特征值与特征向量求可对角矩阵的参数。设 A 矩阵能相似于对角矩阵，则必存在可逆矩阵 P，使得 AP=A ,即必存在 n 个线性无关特征值向量可组成 P，即 r 重特征值必有 r 个线性无关特征向量。 例 已知 A=能相似于对角矩阵，试确定 ，y 应满足的关系。解：=12= ，故
16、无论 ，y 为何值，均有=-1 ，=1 （二重根） 。对于=1 （二重根） ，由题设知，必有两个线性无关特征向量，即=0必有两个线性无关解向量，故应有r=r=r=1 ,故 ，y 应满足 .矩阵的特征值和特征向量有许多具体应用，依据上面所讨论的，可以方便求得 n 阶矩阵 A 的逆矩阵、伴随矩阵、及 A 的多项式等的特征值和特征向量，并可巧妙地求出 A 的高次幂.关于矩阵特征值的反问题,本文仅做了初步探讨，但确是一个重要的研究方向,在数学物理反问题的离散化,粒子物理的核光谱学、振动反问题等领域上都有着具体的应用。 结束语：矩阵的特征值及特征向量在数值分析中有广泛而重要的应用，如主成分分析、因子分析
17、、典型相关分析都必须计算相关矩阵的特征值和相应的特征向量。我们要熟练掌握矩阵的各种性质，运用多种方法求出特征值与特征向量，为我们解决实际中的问题参考文献1袁 进.特征值与特征向量J.高等数学研究,2004,(3),46-47.2北京大学数学系集合与代数教研室代数小组.高等代数3韩玉良.线性代数M.3 版.清华大学出版社,2007.4 谢国瑞.线性代数及应用M.北京:高等教育出版社,1999.5 戴华.矩阵特征值反问题的若干进展J.南京航空航天大学学报,131995,27(3):400-413.6冯 红 线性代数大学讲堂。大连理工大学出版社。7李烔生 查建国 线性代数。中国科技大学出版社。8程云鹏 矩阵论 西北工业大学出版社。9张禾瑞 等 高等代数 高等教育出版社。
