1、矩阵的特征值与特征向量分析及应用毕业论文摘 要特征值和特征向量是高等代数中的一个重要概念，为对角矩阵的学习奠定了基础.本文在特征值和特征向量定义的基础上进一步阐述了特征值和特征向量的关系.本文还研究矩阵的特征值和特征向量的求解方法.再列举了特征值和特征向量相关的性质.最后给出了阵的特征值与特征向量在生活中的运用，并应用于实例.关键词：矩阵 特征值 特征向量矩阵的特征值与特征向量分析及应用2AbstractEigenvalues and eigenvectors are important concepts of advanced algebra which laid the foundatio
2、n for the diagonal matrix learning. This paper, on the basis of the definition of eigenvalues and eigenvectors, study the relationship of them. This also study the solution method of eigenvalues and eigenvectors. And then lists the related properties of eigenvalues and eigenvectors. Finally, use the
3、 matrix eigenvalues and eigenvectors in ordinary live, and application in real examples.Keywords: matrix ; eigenvalue ; eigenvector矩阵的特征值与特征向量分析及应用3目 录引言第一章、本征值和本征向量的关系1.1 本征值与本征向量的定义1.2 求解本征值与本征向量的方法探索第二章、矩阵的特征多项式和特征根2.1 矩阵的特征多项式和特征根的定义2.2 求解特征根和特征向量的方法2.3 线性变换的特征根与特征向量的求法第三章、特征值和特征向量在生活中的应用3.1 经济发
4、展与环境污染的增长模型3.2 莱斯利（Leslie）种群模型四、结论矩阵的特征值与特征向量分析及应用4引言矩阵是高等代数课程的一个基本概念， 是研究高等代数的基本工具.。线性空间、线性变换等,、都是以矩阵作为手段； 由此演绎出丰富多彩的理论画卷.。求解矩阵的特征值和特征向量,，是高等数学中经常碰到的问题。一般的线性代数教材中，都是先计算特征多项式，然后求得特征值， 再通过解线性方程组得到对应的特征向量。特征多项式和特征根在整个矩阵理论体系中具有举足轻重的作用，并且在于生活现实中的应用也很广泛。第一章 本征值和本征向量的关系1.1 本征值与本征向量的定义定义 1 设 是数域 F 上线性空间 V
5、的一个线性变换如果对应 F 中的一个数 ，存在 V 中的非零向量 ，使得 （）= （1）那么 就叫做 的一个本征值，而 叫做 的属于特征根 的一个本征向量显然，如果 是 F 的属于本征值 的一个本征向量，那么对于任意F,都有（）=（）=（）这样，如果 是 的一个本征向量，那么由 所生成的一维子空间U=|F在 之下不变；反过来，如果 V 的一个一维子空间 U 在 之下不变，那么 U 中每一个非零向量都是 的属于同一本征值的本征向量。其中（1）式的几何意义是：本征向量 与它在 下的象 （）保持在同一直线 L（）上，0 时方向相同，0 时方向相反，0 时，（）= 0例 1 在 V3 中， 是关于过原
6、点的平面 H 的反 射，它是一个线性变换那么 H 中的每个非零 向量都是 的属于本征值 1 的本征向量，V就是平面 H与 H 垂直的非零向量都是 的属于本征值 -1 的本征向量，即 V-1 就是直 线 L（见图 1） 见图 1例 2 设 V 表示定义在实数域上的可微分任意次的实函数的全体构成的线性空矩阵的特征值与特征向量分析及应用5间令 (f(x)= f (x), 是 V 的线性变换对于每个实数 ，有(ex)=ex.所以， 是 的本征值，而 ex 是 的属于 的本征向量1.2 求解本征值与本征向量的方法探索问题的转化直接由定义来求线性变换的本征值与本征向量往往是困难的，我们可用线性变换的矩阵来
7、解决这个问题设 V 是数域 F 上的 n 维线性空间，取定它的基1，2，n ，令线性变换 在这个基下的矩阵是 A（ ij）.如果 k11+ k22+ knn 是线性变换 的属于特征根 的一个特征向量，那么，（）关于基1，2，n的坐标是 A 而 的坐标是 nk21 nk21这样，就有 A =nk21n21或（2） （I-A） =nk210为 0，所以齐次线性方程（2）有非零解。因而系数行列式（3） 021221121 A nnn naa 反过来，如果 F，满足等式（3） ，则齐次线性方程组（2）有非零解矩阵的特征值与特征向量分析及应用6（k1，k2，kn） ， k11+ k22+ knn 满足等
8、式（1） ， 是 的一个本征值， 就是 的属于本征值 的本征向量。由上面的分析，可以得到以下的结论：1）F 是 的本征值的充分必要条件是它满足方程（3） ；2）对于本征值 子空间 V 中一切 向量在1，2，n下的坐标正好构成齐次线性方程组（I-A）X=0 的在 F 上的解空间实际上 V 与（I-A）X=0的解空间同构. V 的一个基1，2，n可由齐次线性方程组（I-A）X= 0 的一个基础解系1，2，n给出. （其中 i=(1，2，n)i, i=1,2, ,r） ；例 1：求矩阵 的特征值和特征向量.52016-3-4A解：A 的特征多项式为： =E215-20-1634A 有三个不同的特征值
9、 321，将 代入其次线性方程组1 0X5-0-614321得基础解系 ，则 A 的属于 全部特征向量为 .11k1将 代入其次线性方程组2 0X5-20-1633421得基础解系 ，则 A 的属于 全部特征向量为 .65422k2矩阵的特征值与特征向量分析及应用7将 代入其次线性方程组23 0X5-20-1633421得基础解系 ，则 A 的属于 全部特征向量为433k3第二章 矩阵的特征多项式和特征根2.1 矩阵的特征多项式和特征根的定义定义 2 设 A=(aij)是数域 F 上的一个 n 阶矩阵，行列式 nnn nA aaf 21221121叫做矩阵 A 的特征多项式 fA(x)在 C
10、内的根叫做矩阵 A 的特征根设 0 C 是矩阵 A 的特征根，而 x0 Cn是一个非零的列向量，使 Ax0= 0x0 , 就是说， x0是齐次线性方程组( 0I-A)X=0 的一个非零解我们称 x0是矩阵 A 的属于特征根 0的特征向量。2.2 线性变换的本征值与矩阵的特征根的关系1）如果 关于某个基的矩阵是 A,那么 的本征值一定是 A 的特征根，但 A 的特征根却不一定是 的本征值， A 的 n 个特征根中属于数域 F 的数才是 的本征值；（2） 的本征向量是 V 中满足（1）式的非零向量 ，而 A 的本征向量是 Cn中的满足 Ax0=x 0的非零列向量 x03）若 F 是 A 的特征根，
11、则 A 的 Fn中属于 的就是 的 属于的特征向量关于给定基的坐标2.3 线性变换的特征根与特征向量的求法现在把求线性变换 的特征根和特征向量的步矩阵的特征值与特征向量分析及应用8骤归纳如下：1）在线性空间 V 中取一个基 1， 2， n ，求出 在这个基下的矩阵A；2) 计算特征多项式 fA(x)=|XI-A|,求出它的属于数域 F 的根 1， 2， s；3) 对每个 i(i=1,2, ,s)求齐次线性方程组( iI-A)X=0 的基础解系；4) 以上面求出的基础解系为坐标，写出 V 中对应的向量组，它就是特征子空间V i的一个基，从而可确定 的特征向量例 4 设 R 上的三维线性空间 V
12、的线性变换 在基 1， 2， 3下的矩阵是 求 的特征根和对应的特征向量16305解 的矩阵 A 已给出，先求特征多项式和特征根2163054 AffA(x)的根为 11（二重根） ， 2-2 都是 的特征根对特征根 11，解齐次线性方程组（1 I-A） X=0，即06321得基础解系 1（-2，1，0） ， 2（0，0，1）对应的特征向量组是-2 1+ 2, 3 ，它是特征子空间 V1的一个基，所以 V1 L（-2 1+ 2， 3） 而 的属于特征根 1 的一切特征向量为 k1（-2 1+ 2）+ k2 3， k1， k2 R，不全为0对特征根 2-2，解齐次线性方程组 03621矩阵的特征
13、值与特征向量分析及应用9得基础解系 3（-1，1，1） ，对应的 的特征向量是- 1+ 2+ 3，它可构成V-2的一个基，所以 V-2 L（- 1+ 2+ 3） 因此 的属于特征根-2 的一切特征向量为 k（- 1+ 2+ 3） ， k R， k0注意：求 A 的特征根时，要考虑给定的数域，若没有指定数域，就在 C 内讨论；表示属于某个特征根的特征向量(关于基础解系)组合系数要取自指定的数域 F(或 C)，且不全为零第三章 特征值和特征向量在生活中的应用矩阵的特征值和特征向量理论在经济分析、生命科学和环境保护等领域都有着广泛而重要的应用.其中，经济发展与环境污染的增长模型，莱斯利（Leslie
14、）种群模型这两种模型，矩阵的特征值和特征向量在其应用起着重要的作用。3.1 经济发展与环境污染的增长模型经济发展与环境污染是当今世界亟待解决的两个突出问题.为研究某地区的经济发展与环境污染之间的关系，可建立如下数学模型： 设 分别为某地区目前的环境污染水平与经济发展水平， 分别为该地区若0,yx 1,yx干年后的环境污染水平和经济发展水平，且有如下关系：令则上述关系的矩阵形式为 此式反映了该地区当前和若干年后的环境污染水平和经济发展水平之间的关系.如01023yxy10,x213A.01100yx矩阵的特征值与特征向量分析及应用10则由上式得由此可预测该地区若干年后的环境污染水平和经济发展水平. 一般地，若令 分别为该地区 t 年后的环境污染水平与经济发展水平，则经济tyx,发展与环境污染的增长模型为令则上述关系的矩阵形式为由此，有由此可预测该地区 t 年后的环境污染水平和经济发展水平.下面作进一步地讨论： 由矩阵 A 的特征多项式 得 A 的特征值为对度 ，解方程 得特征向量410)4(XAE对 1，解方程 得特征向量显然, 21,线性无关下面分三种情况分析： 001 414123A),2,1(2311 ktyxyttt ttt tt ktAtt ,2,1,1.)(, 010323 21201 tt AA )1(4213| E,21 12
