1、序言：除了级数与三重积分高数下的知识基本都在这里了，而且都是考试必备知识，所以哪个知识点没弄懂一定要针对性地找点题目弄懂！第八章向量代数与空间解析几何1.平面的点法式方程：设平面过 P（x 0 ,yo , z0）,法向量 ,nABC，则平面方程为：0AxByC2.平面法向量一般求法：一般法向量 n与俩向量 11,xyz， 22,xyz，则12112ijknxyz，如果不会用行列式就用高中方法求法向量即由120nA求第九章多元函数微分学1.二元函数： (,)0fxy2.二元函数的极限： 0,lim()yf求法与一元基本一致，下判断其存在性：一般找俩条特殊路线，若二者极限不相等则二重极限不存在，即
2、常取 ykx，2等简单路线，若结果与 K 有关则极限不存在（注意一定要将 x给消掉）例.判断下列二重极限是否存在，存在并求其值（1）20limxy（2） 240lixy（3）201lim()xyxy解：（1）取 k，则原式=20li(1)xk= 2，与 K 有关，故极限不存在（2）取2yx。则原式=420li()xk= 2，与 K 有关，故极限不存在（3）此题无法利用上述方法判断其是否存在，故直接求原式= 01lim()xyxy= (1)0lix=e （用了第二个重要极限）3.二元函数连续性： (,)f在 (,)px连续等价于 00lim(,)(,)xyffxy4.偏导数求法：对 x 求则把
3、y 看成常数，反之亦然例. 求2,zx（2zy为二阶偏导）解. 2cosxzey2sinxze222()c)sixxzyyxy5.全微分几个概念间关系1 可微函数一定连续（不连续一定不可微）2 可微则偏导一定存在（逆命题不成立）且 zdxdy(全微分公式)3 函数有一阶连续偏导则函数一定可微4 偏导不存在一定不可微例.讨论函数2263,0(,)0xyyf在 (,)是否可微解. 思路：求其在 (,)点极限是否存在，判断其连续性从而判断其是否可微取2ykx，则2630limxy= 630lixk= 31k取决于 ，故 (,)fxy在 0, 点极限不存在（即使存在若不等于 0，该函数在 (,)点不连
4、续，亦不可微），故 在 (0,)点不连续，故函数在 (,)不可微6.复合函数求导法则：分道相加，连线相乘 1 中间函数为一元： (),(),uxvzfuxv uzxvA则 dzffdxA其中 可用 1f表示（f 对一个变量的偏导）同理fv可用2表示，这样就避免了 u、v 在最后结果中出现了 2cosxze例. tanxz ， 求 dz解. (,)vfu， x， tan则2sec1dzfdfxxAA2 中间函数为二元： (),(,)(,),uxyvxzfuxyv， uzvAxy则 zffxAzfyA下面举一个特别重要的例子例. f具有二阶连续偏导，2(,)zfx，求2zx解. (,)zuv，2y
5、， v则ffxxA12fxfyA11 2222() 2zfufvfufvfyxyy yA1122212ffxfffxA 由于 具有二阶连续偏导，故 1221（ 12f表示 1f对第 2 个变量 v 的偏导，其他同理）故原式 11224 xyyfxyf 这种题一定要弄懂！7.隐函数微分法1 一个方程情形：(,)0fxy则xydf， (,)0fyz则 ,x yz zff例. 2ze 求全微分 dz解.令 2xyzfe则2xzxyfe， 2yzxyfe故xyxyzzzeddd2 方程组情形（有 3 个未知量时求的是导数，有 4 个未知量时求的是偏导）方法：对方程两边同时对 x 或 y 或其他变量求（
6、偏）导即可例（1）2201xyz求dz， （2） 20uv20xyuv求ux，vx解.（1）方程组两边同时对 z 求导得：1022dxyzzA解得dxzyz（2）方程两边同时对 x 求偏导得：20uvyx解得224uxvy8.方向导数与梯度1 方向导数：设二元函数 (,)fxy在点 0(,)pxy处可微，则 (,)fxy在点0(,)pxy处 沿任意方向 l的方向导数都存在，且其值： 000(,)cos(,)sin,x yffyfxyl 其中 为 l对 x 轴正向的转角例.求2,cs()yfxex在点（1,0）处沿从点 P(2,1)到点 Q（3,0）方向 l的方向导数解.方向 l即为向量 1,P
7、Q所指方向， =74，故22cos,in，又2(,)sin()xyfexy，2(,)sin()y yfxex所以，(1,0)xf， (1,0)yf 代入公式即得 21,0fl2 梯度： (,)ufz在 0(,)Pxz梯度为 00grad(),uupxyz， 它是一个向量。9.多元函数求极值方法：先求其一阶偏导为 0 的点（即驻点），再求其二阶偏导,xxyyfff将所得驻点代入 2xyxyffA，若其值大于 0 则此驻点是极值点，且当xf小于 0 时为极大值，大于 0 时为极小值例.2(,)4yxy求其极值解.,4xyff令二者等于 0 可得驻点为（2，-2）二阶偏导： 2xf， 0xyf， y
8、f 故 2xyxyffA=40且 x=-2 小于 0 所以（2，-2）为其极大值点，代入的得极大值为 810.多元函数微分学几何应用 曲面在某点切平面求法，举例说明（填空题极易考到）例.曲面 3zexy在点（1,2,0）处的切平面方程是？解.先令 (,)23zfexy对其分别求 x,y,z 偏导得21xyzzfe代 入 （ ,0）42xyzff故其在（1,2,0）切平面方程为 1()(0)xyzf（ ）代入数据即得方程为 2x+y-4=0 曲面在某一点的法线为： 000,x y zfzfxfxy第 9 章 重积分二重积分求法汇总： 直角坐标法X-型区域 ()(axbgyh： ()(,),bhx
9、agDfxydfydY-型区域 ()(x： ()(,),bhyagff例.计算二重积分：（1） ，其中 为 所围成的平面区域。yDxde 1,2,1xyx（2） ,其中 为抛物线 和直线 所围成的平面区域。y2解（1）区域 如右图所示。由区域的形状，选择先积 后积 。即使用 X-型区域yx联立方程 ，2,1,2,1xyxy解得交点为： ),(),(,区域 21yxyxD于是 (先求后面积分，由于对 y 积 )dedede2112 xyxx= 分故可先把 x 看做常数，求 yxxy)()(12122 = 得的结果直接当做前面的被 2421eex积函数。另外后面积分中的 常数可直接拿到前面积分中去
10、）（2）化为先对 后对 的累次积分，即 Y 型区域。这时 为xyDy2=xoyxy=x-2xyo21,),(2yxyD因此 845d-)(dd1-1-2 yxy（先求后面的积分，由于求的是 x 积分，故先把 y 当做常数求，求得的结果直接当 做前面积分的被积函数，再继续求即可得结果） 极坐标法在极坐标中区域 D 可表示为12()()rr（ 为区域上点和原点连线与 X 轴正向夹角，r 为区域上点与原点的距离 ) 则 2211(), cos,in)rDfxydfrdA例.(1) ，其中 为圆周 和 及直线yxDdarctn 422yx所围成的在第一象限的区域。xy,0解.采用极坐标系：积分区域 如
11、右图所示。=( 40,21),r于是 rdyxD dcosinatarctn140= r2140=402d= 40)1(2= 632(2) ，其中 为圆周 所围成的在区域。yxDd2Dxy22解.采用极坐标系：积分区域 如右图所示，圆周 的极坐标方程为 ，2cosr则积分区域为=( 2,cos0), rxo于是 2cos02ddryxD= =2cos03)1(r23cs81= =203dcs6 )(ini(6202d932第 11 章 曲线积分1.第一类曲线积分计算公式：若曲线 L 方程为(),)xtty则 22(,)(),(fxdsftttdt若给的曲线 L 方程为 ygx，则可看做,)()
12、xaxbyg代入上述公式可得 2(,)(,)1bafdsfdx例.（1）计算积分 ， 为圆周： （ ）2LxyALxya0解.圆的参数方程为 ： ， ；2cosinat022()dsxydt22244(1cos)in|cos|2aatxyttLsA20|cos|tad0|ud20uda此题直接用直角坐标计算的比较麻烦。（2）计算积分 Lys 其中 是曲线 2yx上介于 （0,0） 、（1,1）之间的一弧 解. 由于 2x所以 Lds 120ydx24x3210()8(51)2.第二类曲线积分tayx1O2yx若曲线方程为(),)xtty则(),(,PttQttd 同样假如给的 L 方程为 ()
13、yx，则可看为,()xaxby代入公式得(,)(,)Lxyd,(),baPQd例.（1）计算曲线积分 ，其中 是抛物线 上从 L dyxdxy2)2L2xy点 到点 的一段。),(),(解 )1(,:2xxy154)(22)(1043322dxdxyL（2）计算曲线积分 ，其中 为圆周Lyxd2)()( L（按 逆时针方向绕行）)0(,ayx解：圆周参数方程为 20,sin,co: taytx21 cos)incos()sin(icos()0222dta dtattattydxL3.格林公式：若曲线 L 组成一个单连通区域 D，P （x,y）,Q(x,y)在 D 上有一阶偏导数，则(,)()L
14、 QPxydydxyA，（平面单连通域的概念设 D为平面区域，如果 D内任一闭曲线所围的部分都属于 D，则称 为平面单连通区域，否则称为复连通区域）例.计算：2LxydxA，L 是沿圆周2xy正向闭路解.2P2Q所以P，2Q由格林公式得2+DIxyd= 2cos0-rdA=34.平面曲线积分与积分路径无关的条件：定理：若函数 在区域 有连续的偏导数， 是单连通区域， (,),PxyQD那么以下四个条件相互等价：（）对任一全部含在 内闭路, ；D(,)(,)0CPxydQxy（）对任一含在 内的曲线 ，曲线积分 与路径无关l (,)Ldy（只依赖曲线的端点）；（）微分式 在 内是某一个函数 的全
15、微分，即 PdxQy(,)Uxy；u（） 在 内处处成立. yxD一般我们用到的是 ，如果二者相等且满足 是单连通区域，则积分PQyxD与路径无关，这样就可以转换为两点间的其他简单曲线来做啦。第 12 章 曲面积分1.对面积的曲面积分化为投影域上的二重积分 计算方法与步骤： 1）画出曲面 草图，写出曲面方程 ；),(yxz：2）做三代换： ； ； 曲面 在 面上),(yxz21dSdxoy的投影域 将对面积的曲面积分化为二重积分xyD；2(,)(,)xy xyDfzdSfzyz 3）在投影域 上计算二重积分xyD例.计算dIzSA，其中 是由平面 x=0，y=0，z=0 及 x+y+z=1 所
16、围成的四面体的边 界曲面。解. 在平面 x=0，y=0 ，z=0 及 x+y+z=1 的部分依次记为 1234， ， ， ，于是1234d=S+dS+dIxyzzxyzxyA对于 1A，由于 1的方程 x=0，从而 110S=同理 2dS=0xyz， 3d0xyz，对于 4dxyz， 4的方程 x+y+z=1 可化为z=1-x-y， 1,xyz， 4在 XOY 坐标面上投影区域 xyD：01x所以 42dS()1()xyDI dA1203()dy310610x2.对坐标的曲面积分基本计算公式：曲面 方程为 z=z(x,y)，它在 XOY 坐标平面投影为 D，则(,)Rxyzd(,)xyDRzy
17、dx当 取曲面上侧时为正，反之则取负计算方法与步骤1）利用高斯公式为封闭曲面，则dxyzRQxPRdxyQzPdy)(条件一： 在空间区域 内偏导连续， 条件二：曲面 为闭曲面的外侧, 注：高斯公式用到了三重积分，你们应该不考，重点掌握下面这种方法2）合一投影法把 dxz， y全部转换为 dxy，再利用基本计算公式求解由上学期知识可得 xyzz，yx， x例.计算()Idzzd，其中 为平面 22xyz在第一卦限 部分的上侧。解. 由题 2zxy，故 2xyz，()Idd 2)xyzzxxyd-2-(（ ）(2)xyxyx（ ）(-34)d现在求 （ 22xyz）在 XOY 坐标平面的投影区域 D：令 Z=0 可得它在 XOY 平面的投影平面方程为 20xy由于 在第一卦限，故其投影一定在 XOY 平面第一象限，故其在 XOY 投影区域 D 可表示为：01x(X 型区域)故原式=(-342)Dxyd10y10(-32)(4)xd(后面的积分与 x 无关，故可把 x 当做常数 拿到前面积分中)120(-)()xxydA（即把后面积分结果乘到前面积分中去）120(3)(xdxA=76（这个积分高中就学过了，过程就不写了）3.斯托克斯公式考试很少涉及到
