1、第 4 章 线性方程组一、知识结构分析（1）线性方程组求解和线性相关性，矩阵的秩和矩阵的变换之间的关系。线性方程组一章的内容是线性代数发展的渊源，正是线性方程组的求解研究导致了向量线性相关性的研究，就是确定多余方程和保留方程，保留未知量和自由未知量的问题。这些问题可通过矩阵的秩和子式的计算来确定。第三章的内容，无论是线性相关性还是矩阵的秩，都是和方程组求解密切相关，要通过知识结构的联系，使学生整体掌握知识体系。矩阵的初等行变换应是初等变换的重点，它对应与方程的恒等变换（保持同解） 。行阶梯型矩阵对应的方程组可通过把自由未知量移到右边，再通过回代求解。而行最简形不用回代可直接写出解的表示式。如果
2、仅求矩阵的秩或确定向量组的最大无关组，把矩阵化简到阶梯型即可。（2）方程组的解结构和相应的行向量组或列向量组的相关性分析是该理论的难点，齐次方程组有非零解与对应的行向量组或列向量组线性相关性有对应关系，非齐次方程组有解和向量的表示有一种对应关系，要学会灵活的应用这些关系来分析问题。二、重点难点分析与教材处理：（1） 齐次方程组解的结构部分要结合向量空间，向量空间的基与向量组的最大无关组的回顾，加深上章基本概念的理解。（2） 齐次方程组的矩阵表示和向量表示要阐明有非零解与列向量组线性相关性的关系。（3）方程求解的变换化简对应的行最简型，结合初等变换的内容使对初等变换的理解更具体。（4）方程组通解
3、的两种表示方法，用基础解系表示的间接方法和用自由未知量表示的直接方法。（5）解空间用基础解系联系向量空间用基表示的关系，阐明向量空间和向量组的不同。（6）非齐次方程组的矩阵和向量表示与向量组线性相关性的关系，增广矩阵和系数矩阵的列向量组之间的关系。（7）含有参数的方法的参数识别，即方程组的反问题，了解正问题的和反问题的初步概念。三、常见的问题和易犯的错误（1）带参数的矩阵化简忽略带参数的分母为零的讨论。（2）不能掌握方程化简分析的一般步骤。四、参考资料与数学实验五、 学习指导与提示1 1 求下列齐次线性方程组的一个基础解系及一般解：（1） 0x793x8254321431解：对系数矩阵做初等行
4、变换（相当于对方程做化简） 814072/58140725793118532142 rr00/2431r ，化简后的方程组为 43217xx分别取 ,43x和 ,43x代入方程组求解得到基础解系为 102,012/7，通解为 21kx或者直接写出通解为1027343421xx基础解系为 102,/71（2） 0x74x635242141解：对系数矩阵做初等变换140739212136457421653 14321 rr 168570214075140759 2323 7rr 37006521,因此，只有零解。2 2 求解下列非齐次线性方程组：（1） （1） 10x238143， （2） 1wz
5、yx24解：对增广矩阵做初等行变换 9630418341096820312301432132 3rrr60823r)(AR， 3)(B，方程组无解3 3 讨论 b,a取什么值时下列方程组有解，并求解：（1） 2321x1，解：法一、对增广矩阵作行变换，把方程组化简 3222 110)(1131231 rr若 1，则方程组化简为 321x，其解为002132kx若 ，则有 22 )1(01)1(10231 r若 ，3),2)(BRA，此时无解如 ，即 ,方程组有唯一解 )2(1,)2(1,)2(123 xxx法二（分析）根据 Gramer 法则，如果系数行列式非零，则有唯一解，对于行列式等于零的
6、情况再分析是无解还是多解系数行列式为 1101 22321r )2()( 因此 2,1方程组有唯一解，其解为 )2(1,)2(1,)( 223 xxx易知 时方程组无解， 时，方程组有无穷多解，其解为01012321kx（2） 4xb3a21解：对增广矩阵作行变换 103414123412313221 baababarar当 0b时，无解。当 0时 baabaabr 134102341021若 ，则有唯一解 baxbax1342341时 3)(,)(BRA，无解（3） 3x)(x)1(223解：方法一、系数行列式为 11032231)1(3 2 )(1根据 Gramer 法则可知，当 1,0时
7、， 0D，方程组有唯一解。其解为)1(9234,)1(92,)1(95332231 xxx 当 0时，增广矩阵为 3013100/301)(,2)(BRA，方程组无解。当 1时， 9210734162034620方程组无解4 4 设 1x)5(4x22)(321问 为何值时此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有解时求其通解。分析：求系数行列式 D，如果 0则有唯一解。对于 0D的情况分别讨论，这种方法思路清晰，但计算量大。另一种方法是用初等变换化简方程，但要注意分母为零的情况。解：法一、系数行列式为 110452)(2)(54213r)()2，因此当 0,时，方程组有唯一解当 10时 63
8、092/1521451809/2154228方程组无解。当 1时01224211通解为 01012321kx，其中 21,k为任意实数。5设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3，已知 321,是它的三个解向量，且 432,54321求该方程组的通解。解：四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3 ,对应的齐次方程组的基础解系只含有一个解向量，故只需求出一个特解和对应的齐次方程的一个非零解。 1为非齐次方程组的特解， 2/)(1也是非齐次方程组的解，因此3/52/54321因此通解为 65432cx其中 c为任意实数。6.设 454343232121 ax,ax,ax,ax ， 515ax，证
9、明这个方程组有解的充分必要条件是0a51i解：对方程组的增广矩阵做初等变换 154321543210100101001 aaaa 3215421254320010101aaa 43215420011 aa由非齐次方程组解的判定定理知，方程组有解的充分必要条件是 4)(BRA，即51i7证明：与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系。证明：设 s,.21是与基础解系等价的线性无关的向量组，因为 i可用基础解系线性表示，故 s,.21是齐次方程组的解。由条件知，它们是线性无关的。由任一解 x可由基础解系线性表示，由等价性可知， x可由 s,.1线性表示，因此 s,.1是基础解系。注：实际上基础
10、解系所含解向量的个数均为 rn。8设 A，B 都是 n 阶方阵，且 AB=0，证明 n)B(RA。证明：考虑矩阵方程 0B与方程组解的关系，将 按列分块，即考虑 B 的列向量),.(21nbB0AB可表示为)0,.(),.(21nAb即 ),.(0njAbj ，也就是说 21nj是方程 0Ax的解。（1）如果 的秩 R，则知 x只有零解，而 ),.21(njb又是0x的解，故知 ),.21(0jbj，即 0B， BR)，结论成立。（2）如果 nrAR)(，则 x的基础解系含有 )(rn个解向量，设为rn,.1，又 ),.21jb为 0A的解，故向量组 nb,.21可由基础解系 r2线性表示，由
11、定理知 rRbRrnn ,.,.2121即 rnBR)(，故 BA)(9设 *是非齐次线性方程组 bx的一个解， rn21,.是对应的齐次方程组的一个基础解系。证明：（1） rn21*,.线性无关;(2) r*,线性无关。证明：（1）设0.1*0 rnxx用 A去左乘方程两端，有 0 .).( 1*01*bx AArnrn因此， ，代入上式得到0.21rnxx因 rn,.21是线性无关的，因此， 0.21rnxx即 r*,.线性无关;（2） （2） 类似的考虑 )(.)(10 rnrnxx，即021 rrnxx用 A去左乘方程两端得到 210rnx，代入上式，由 rn,.1的线性无关性可知 .
12、21rnxx，因而 0，故 rn,.线性无关。10设 s1是非齐次线性方程组 bAx的 s 个解， s21k,.为实数，满足k.ks2，证明 ： s21.k也是它的解。证明：将表示式代入则有 bkk AkAAxs ss).( .).21 2121故 ).(1sk是方程组的解。11 设非齐次方程组 x的系数矩阵秩为 r, 1rn21,.是它的1rn个线性无关的解（由题 9 知它确有 n-r+1 个线性无关的解） 。试证它的任一解可表示为 1rnr1k.x（其中 1k.rn1）证明：显然 ),2(irii 为对应的齐次方程组的解。首先证明 rn,.1是线性无关的。设 02rnkk，即 0).(. (.)()( 121212 rnrnrnrn k因为 1,.rn是线性无关的，因此 .21r，即r,.21是线性无关的，构成齐次方程组的基础解系，故非齐次方程组的任一解可表示为 )(.)(. 111 rnrnrnrn rx 即 122 .rnr记 rrnii kk),.( 11，则任一解可表示为21.rnx其中 .21rnkk四、参考资料与数学实验
