第3章_线性方程组习题解答.doc

1、1习题 33-1求下列齐次线性方程组的通解：（1） .087352zyx解 对系数矩阵施行行初等变换，得 14072873152A)(021阶 梯 形 矩 阵B ， 0271 )(0271行 最 简 形 矩 阵C与原方程组同解的齐次线性方程组为，0271zyx即（其中 是自由未知量） ，zyx271令 ，得到方程组的一个基础解系1z,T)127,(所以，方程组的通解为2为任意常数,)127,(Tkk（2） .08653443215xx解 对系数矩阵施行行初等变换，得 210417086537A)(701421阶 梯 形 矩 阵B ，)(1021行 最 简 形 矩 阵C与原方程组同解的齐次线性方

2、程组为，025431x即（其中 是自由未知量） ，025431xx43,x令 ， ，得到方程组的一个基础解系34(,)T(,)T， ，0,1,21 T)0,1(2所以，方程组的通解为3， 为任意常数21k TTk)0,1()0,1(221,k（3） 07423645154xxx解 对系数矩阵施行行初等变换，得 01426347A1013 )(阶 梯 形 矩 阵B，)(00316517行 最 简 形 矩 阵C与原方程组同解的齐次线性方程组为，03165754321xx即4（其中 是自由未知量） ，54325167xxx53,x令 ， ，得到方程组的一个基础解系Tx),(53(1,0)T,T， ，

3、 T)1,3065,7(2所以，方程组的通解为， 为任意常数21k TTk),(),1(221,k3-2当 取何值时，方程组zyxx6743有非零解？解 原方程组等价于,0)6(743zyx上述齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式，671431即，0)5(2从而当 和 时方程组有非零解02133-3求解下列非齐次线性方程组：5（1） .521431xx解 对增广矩阵 施行行初等变换A，512 0012B因为 ，所以方程组有解，继续施行行初等变换()rA，B 001C与原方程组同解的齐次线性方程组为,1243x即（其中 为自由未知量） ，4321x32,x令 ，得到非齐次方程组的

4、一个解TT)0,(,(32，1对应的齐次方程组（即导出方程组）为（其中 为自由未知量） ，02431x32,x令 ， ，得到对应齐次方程组的一个基础解系T),(32(,1)T， ,1T)0,(2方程组的通解为，01212(,)(,)(1,0)TTTkkk6其中 为任意常数21,k（2） .8109572433321321xx解 对增广矩阵 施行行初等变换A，810957241 00391245B因为 ，所以方程组有解，继续施行行初等变换()rA，B 0039158C与原方程组同解的齐次线性方程组为,391315842xx即（其中 为自由未知量） ，4321xx43,x令 ，得到非齐次方程组的一

5、个解34(,)(0,TT,)1对应的齐次方程组（即导出方程组）为（其中 为自由未知量） ，4321958xx43,x令 ， ，得到对应齐次方程组的一个基础解系34(,)T(,0,)T7， ，T)0,138(1T)1,095(2方程组的通解为,其01212(,3)(8,30)(5,901)TTTkkk中 为任意常数21,k（3） 1032211x解 对增广矩阵 施行行初等变换A 1040231132， 9605310405因为 ，所以方程组无解.3)()(Arr3-4讨论下述线性方程组中， 取何值时有解、无解、有惟一解？并在有解时求出其解3)()1(3223xx解 方程组的系数行列式为.2(1)

6、3(1)3A（1）当 时，即 时，方程组有惟一解0且8（2）当 时，即 时，0A 1 或 (i) 当 时,原方程组为，123x显然无解(ii) 当 时，原方程组为1，34612213xx对该方程组的增广矩阵 施行行初等变换A，100236143因为 ，所以方程组有无穷多组解，()2rA与原方程组同解的方程组为，132x即（其中 为自由未知量） ，132x3x令 ，得到非齐次方程组的一个解30，(1,3)T对应的齐次方程组（即导出方程组）为（其中 为自由未知量） ，132x3x令 ，得到对应齐次方程组的一个基础解系39，(1,2)T方程组的通解为，其中 为任意常数0(,30)(1,2)TTkkk

7、3-5写出一个以 为通解的齐次线性方程组1240xc解 由已知， 和 是齐次线性方程组1(,3)T2(,401)T的基础解系，即齐次线性方程组 的基础解系所含解向量的个数AXOAXO为 2，而未知数的个数为 4，所以齐次线性方程组 的系数矩阵 的秩为A，故可设系数矩阵4,121342aa由 可知 和 满足方程组AXO1134,21234,a,1234,01xO即方程组 的线性无关的两个解即为 ,1234x 12方程组的系数矩阵,043211该方程组等价于（其中 为自由未知量） ，1342xx43,x令 ， ，得到该齐次方程组的一个基础解系34(,)T(,0,)T10， ，1(2,0)T23(,

8、10)T故要求的齐次线性方程组为 ，其中 ,AXO210即.12340x3-6设线性方程组，0211nmmxaxa 的解都是 的解，试证 是向量组bb Tnb),(21, , 的Tn),(121Tn),(221,mnma线性组合证 把该线性方程组记为（*） ，由已知，方程组（*）的解都是的解，所以方程组（*）与方程组021nxbxb,121120nmmnaaxxbb 同解，从而有相同的基础解系，于是二者有相同的秩，则它们系数矩阵的行向量组和 的秩相同，故 可由 线性表示12,m 12,m 12,m3-7试证明： 的充分必要条件是齐次线性方程组()rAB的解都是 的解OABXX证 必要性.因为

9、，只须证 与 的基础解系()rOABX11相同 与 的基础解系都含有 个线性无关的解向OABX()nrB量又因为 的解都是 得解所以 的基础解系也是OABXOX的基础解系即 与 有完全相同的解所以的解都是 的解充分性.因 的解都是 的解，而 的解都是的解，故 与 有完全相同的解，则基础解系也完全相ABX同，故 ，所以 ()()nrrB()rAB3-8证明 的充分必要条件是存在非零列向量 及非零行向量 ，1aTb使 TAab证 充分性.若存在列向量 及行向量 ，其中12ma12Tnbb不全为零 ， ，则有,ijab1,i 1,jn,1212 221212nTnmmmnaababAb 显然矩阵 的

10、各行元素对应成比例，所以 ()rA必要性.若 ，则 经过一系列的初等变换可化为标准形()1rA，0D 而矩阵 可以表示为12，1010,D 则存在可逆矩阵 ， 使得 ，从而PQ1AD，其中 均可逆，110,AD 1,PQ记， ，10aP1,0TbQ又因为 可逆，则 至少有一行元素不全为零，故列向量 的分量不全为零，同a理，因为 可逆，所以行向量 的分量不全为零因此，存在非零列向量 及1QTb a非零行向量 ，使 TbAa补充题B3-1.设 是 矩阵， 是非其次线性方程组 所对应齐次AmnAXOAXb线性方程组，则下列结论正确的是（ D ）.（A） 若 仅有零解，则 有惟一解；XOB（B） 若

11、有非零解，则 有无穷多个解；（C） 若 有无穷多个解，则 仅有零解；B（D） 若 有无穷多个解，则 有非零解B3-2.设 为 阶实矩阵， 是 的转置矩阵，则对于线性方程组nTA（） ；（） ，TAXO必有（ D ） 13（A） （）的解是（）的解， （）的解也是（）的解；（B） （）的解是（）的解，但（ ）的解不是（）的解；（C） （）的解不是（）的解， （）的解也不是（）的解；（） （）的解是（）的解，但（）的解不是（）的解B3-3设线性方程组 有 个未知量， 个方程组，且 ，则AXBnm()rA此方程组（ A ） （） 时，有解； （） 时，有惟一解；rmr（） 时，有惟一解； （） 时，

12、有无穷多解 nB3-4讨论 取何值时，下述方程组有解，并求解：21zyx解 （法一）方程组的系数行列式，21()A（1）当 时，即 时，方程组有惟一解01且2(1),2xyz（2）当 时，即 时0A 1 或 (i) 当 时,原方程组为 1，xyz因为 ，所以方程组有无穷多组解，其通解为()rA,01212(,0)(,0)(1)TTTkkk其中 为任意常数21,k(ii) 当 时，原方程组为 -14，214xyz对该方程组的增广矩阵 施行行初等变换A，211242045因为 ，所以方程组无解()2()3rAr解 （法二）对该方程组的增广矩阵 施行行初等变换A22112231012230 ，211

13、()(1)B (1)当 时, ，方程组有惟一解2且 3rA.21(),xyz(2) 当 时， ，方程组有无穷多组解，其通解为 ()r,01212(,0)(,0)(1)TTTkkk其中 为任意常数21,k15(3) 当 时，由 知， ，所以方程组无解 -2B()2()3rArB3-5.若 是某齐次线性方程组的一个基础解系，证明：31,也是该方程组的一个基础解系12,证 设有三个数 使得123,k,1 31()()()0k则有,131223()()()kk因为 是某齐次线性方程组的一个基础解系，所以 线性无关，故2, 321,1320k该方程组的系数行列式,102所以该方程组只有零解即 即 线性无

14、1230k1231,关又由齐次线性方程组的性质知 都是方程组的解所以1231,构成方程组的一个基础解系1231,B3-6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3，已知 是它的三321,个解向量，且16， ，543214321求该方程组的通解解 因为 ，故原方程组的导出组的基础解系含有 个解向,nr 1nr量，所以只须找出其导出组的一个非零解向量即可由解的性质知， 均为导出组的解，所以123,为导出组的解，即123()()(),1234()56为导出组的解故原方程组的通解为， 为任意常数123456kkB3-7. 设 是非齐次线性方程组 的一个解， 是它对* BAXrn,21应的齐次线性方程

15、组的一个基础解系，证明：（1） 线性无关；,*rn,21（2） 线性无关rn*2*,证（） 反证法.设 线性相关，由 是对应r1 rn,21的齐次线性方程组的一个基础解系知 线性无关，故 可由rn,2 *线性表示，即 是对应的齐次线性方程组的解，与题设矛盾故rn,21 *17线性无关,*rn,21证（2） 反证法.设 线性相关，则存在不rn*2*1*,全为零的数 ，使得012,nrkk,*12()()()0nrnrk 即,*01212()nr nrkk 由（）知， 线性无关，则,*r,， ， ， ， ,0120nrkk 120k0nrk从而 ，这与 不全为零矛盾,0,r故 线性无关rn*2*1

16、*,B3-8设线性方程组，nnnbxaxa 21 22 121的系数矩阵的秩等于矩阵 0212211nnnbbaa 的秩，试证这个方程组有解证 令 ,121212nnnaaA 18,121212nnnaabA ,1212120nnnaabBbb 因为 比 多一列， 比 多一行，故ABA,()()rr而由题设 ，所以 ，所以原方程组有解()rB-9设 是 阶方阵， 是 的伴随矩阵，证明：n. 1,0,rrAA当当 当证 若 ，因为 ，而 ， ，故n0*AE1*0nAAr若 ，因为 ，所以 ，又因为1*O，而 ，所以 ；又因为 ，所以至少有一Arn0Ar1Ar1Arn个代数余子式 ，从而 ，故 ij若 ，则 的任一个代数余子式 ，故 ，所以 1Ar0ij*0ArB3-10设 是 阶方阵，证明： ，且 ，则 mnAXYArnXY证 因为 ，所以 ，又因为 ，所以方程组XY()O只有零解，即 ，所以 ()AXYO