1、考虑非齐次线性方程组,其中 给定，而,为待定向量。,若,方程组是相容方程组；否则，称为矛盾方程组或不相容方程组。,则线性方程组 有解，则称该,关于线性方程组 的求解问题，常见的有以下几种情形：,1）在相容时，若系数矩阵 ，且非奇异，即,则有唯一解,但当A是奇异方阵或长方矩阵时，它的解,不唯一，我们可以利用减号逆给出方程组的通解。,线性方程组 求解,2）如果方程组相容，且其解有无穷多个，可求出具有极小范数的,解，即,其中 为欧氏范数，可以证明满足此条件,的解是唯一的，称为极小范数解。,3）若方程组不相容，则不存在通常意义下的解，但在许多实际问题中，需要求出这样的解：,其中 为欧氏范数，称这个问题
2、为求矛盾方程组的最小二乘问题，相应的x为矛盾方程组的最小二乘解。,4）一般说来，矛盾方程组的最小二乘解是不唯一的，但在最小二乘解的集合中，具有最小范数的解,是唯一的，称之为极小范数最小二乘解，或最佳逼近解.,（一）相容方程组的通解,为线性方程组 的解的充分必要条件是,我们已知 相容,，其中,定理 对于任意,，都存在,，使,定理说明，对于任意的,是线性方程组 的一个特解。,给定一个线性方程组,广义逆矩阵与线性方程组的求解有着密切关系。利用减号逆、最小范数广义逆、最小二乘广义逆以及加号逆可以给出上述诸问题的解。,定理 齐次线性方程组 的通解是,证明: 对于任意向量 ，成立,其中 是任意向量。,即
3、是齐次线性方程组 的解。,设X0是齐次线性方程组 的任一解，则,因此， 是齐次线性方程组 的通解。,推论 相容线性方程组 的通解为,其中 是任意向量。,例1、求解,将方程组改写为矩阵形式,其中,由于,所以该方程组是相容的。,首先求得A的一个减号逆。,由A是行满秩矩阵，则,从而,原方程组的通解为,其中 为任意向量。,定义 相容线性方程组 的所有解中2范数最小的解称 为方程组的最小范数解，记为,（二）相容方程组的最小范数解,定理 相容线性方程组 的最小范数解是唯一的，并且可表示为,其中 是A的最小范数广义逆。,证明：,是方程的通解。,唯一性,例2、求方程组,的最小范数解。,由于A为行满秩矩阵，因此
4、 为满秩方阵，则有,取,从而,此解即是,中欧氏范数最小的一个,一个线性方程组 是矛盾方程组或不相容方程组，它没有通常意义下的解，但可以寻求该方程组在某种含义下的近似解。,（三）不相容方程组的最小二乘解,定义 不相容方程组 的最小二乘解,定义为满足下列条件的近似解,说明：和其它任何近似解相比较， 所导致的误差平方和,最小。,矛盾方程组的最小二乘解导致的误差平方和 是,唯一的，但最小二乘解不一定唯一。,定理：设 是一个最小二乘解，则矛盾方程组的最小二,乘解的通解为,其中y为任意向量,定理 设 ，则 是不相容方程组,的最小二乘解的充分必要条件是,例3、求矛盾方程组,的最小二乘解,系数矩阵A和向量b为
5、,由A为列满秩矩阵，则可求得A的一个最小二乘逆为：,于是，求得一个最小二乘解为,通解为,定理 不相容方程组 的最佳逼近解是唯一的，并且,定义 不相容方程组 的最佳逼近解定义为满足下列条件的最小二乘解，记为,（四）不相容方程组的最佳逼近解,可以看出不相容方程组 的最佳逼近解是方程组的所有最小二乘解中范数最小的近似解。,其中 是方程组 的最小二乘解的集合。,说明：由于加号逆既是减号逆又是最小范数逆、最小二乘逆，,故对于方程组 ，不论其是否有解，均可用加号逆表示,设y为任意向量,则：,1 相容时，,是通解；,是最小范数解,2 不相容时，,是最小二乘解的通解；,是最小二乘解；,3,是矛盾方程组 的最佳逼近解；,例4、求 的最佳逼近解。,解: 首先求A的广义逆，对A进行满秩分解,其中,则由,则最佳逼近解为,则A的加号逆为：,
