1、线性规划,1.1 线性规划问题及其数学模型 1.1.1 问题的提出 1.1.2 图解法 1.1.3 线性规划问题的标准型1.2 线性规划问题的求解单纯形法 1.2.1 基本概念 1.2.2 单纯形法 1.2.3 单纯形法计算机软件 1.3 线性规划应用举例 1.3.1 线材的合理利用问题 1.3.2 配料问题 1.3.3 连续投资问题,1.1 线性规划问题及其数学模型 1.1.1 问题的提出(一),例 某工厂在计划期内要安排生产、两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时和原料A、B的消耗量如下表。 该工厂每生产一件产品可获利2元，每生产一件产品可获利3元，问应如何安排生产计划能使该厂获利最多？
2、,这个问题可以用下面的数学模型来描述，设计划期内产品、的产量分别为x1，x2，可获利润用z表示，则有：,Max Z=2x1+3x2,x1+2x28,4x1 16,4x212,x1, x20,1.1.1 问题的提出(二),例 靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为每天500万m3，两工厂之间有一条流量为每天200万m3的支流（见图）。,第一化工厂每天排放污水2万m3，第二化工厂每天排放污水 1.4万m3。污水从工厂1流到工厂2前会有20%自然净化。根据环保要求，河水中污水的含量应不大于0.2%。而工厂1和工厂2处理污水的成本分别为1000元/万m3和800元/万m3。问两工厂各应处理
3、多少污水才能使处理污水的总费用最低？,设工厂1和工厂2每天分别处理污水x1和x2万m3，则有：,Min z=1000x1+800x2,(2-x1)/500 0.002,0.8(2-x1)+1.4-x2/700 0.002,x12, x21.4,x1, x20,1.1.1 问题的提出(三),以上两例都有一些共同的特征：用一组变量表示某个方案，一般这些变量取值是非负的。存在一定的约束条件，可以用线性等式或线性不等式来表示。都有一个要达到的目标，可以用决策变量的线性函数来表示。,满足以上条件的数学模型称为线性规划模型。线性规划模型的一般形式如下：,1.1 线性规划问题及其数学模型 1.1.2 图解法
4、,唯一最优解,无穷多最优解,解无界,无可行解,线性规划问题如果有最优解,则最优解一定在可行域的边界上取得,特别地,一定可在可行域的顶点上取得.,1.1 线性规划问题及其数学模型 1.1.3 线性规划问题的标准型,线性规划问题的标准型max z=c1x1+c2x2+cnxn a11x1+a12x2+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+a2nxn=b2 am1x1+am2x2+amnxn=bm x1, x2, , xn0其中，bi0 (i=1,2,m),令xj= xj - xj，对模型中的进行变量代换。,不符合标准型的几个方面：,目标函数为 min z=c1x1+c2x2+cnxn,令z=-
5、z ,变为 max z= -c1x1- c2x2- -cnxn,约束条件为 a11x1+a12x2+a1nxnb1,加入非负变量xn+1，称为松弛变量，有 a11x1+a12x2+a1nxn+xn+1=b1,约束条件为 a11x1+a12x2+a1nxnb1,减去非负变量xn+1，称为剩余变量，有 a11x1+a12x2+a1nxn - xn+1=b1,变量xj无约束。,1.2 线性规划问题的求解单纯形法 1.2.1 基本概念,可行解 满足约束条件（包括非负条件）的一组变量值，称可行解。,所有可行解的集合称为可行域。,最优解 使目标函数达到最大的可行解称为最优解。,基本解 对于有n个变量、m个
6、约束方程的标准型线性规划问题，取其m个变量。若这些变量在约束方程中的系数列向量线性无关，则它们组成一组基变量。确定了一组基变量后，其它n-m个变量称为非基变量。,令非基变量都为 0 ，解约束方程，可唯一得到基变量的值，从而得到一个满足约束方程的解，称为基本解。由此可见，一个基本解的非零分量个数不超过m个。,基本可行解 满足非负条件的基本解称为基本可行解。,基本可行解既是基本解、又是可行解，它对应于线性规划问题可行域的顶点。,1.2 线性规划问题的求解单纯形法 1.2.2 单纯形法(一),要找到线性规划问题的最优解，只要在基本可行解中寻找就可以了。虽然基本可行解的数目是有限个（不超过Cnm个），
7、但当m,n较大时，要用“穷举法”求出所有基本可行解也是行不通的。因此，必须寻求一种更有效的方法。,单纯形法的基本思路是：从线性规划问题的一个基本可行解开始，转换到另一个使目标函数值增大的基本可行解。反复迭代，直到目标函数值达到最大时，就得到了最优解。,为了便于单纯形法的实施，我们用单纯形表来描述线性规划问题的一个基本可行解的情况。 不妨设x1,x2,xm组成一组基变量，且对应一个基本可行解。用高斯消去法把等式约束和目标函数变形为 x1 +a1m+1xm+1+a1nxn=b1 x2 +a2m+1xm+1+a2nxn=b2 xm+amm+1xm+1+amnxn=bm -z +m+1xm+1+nxn
8、= -z0把其系数列成数据表即单纯形表:,1.2.2 单纯形法(二),按照单纯形法的思路求解线性规划问题, 要解决三个技术问题:给出第一个基本可行解; 检验一个基本可行解是否是最优解; 转换到另一个基本可行解.,把线性规划问题变成标准型后, 观察是否每个约束方程中都有独有的、系数为1的变量. 如果是,则取这些变量作为基变量,变得到一个基本可行解; 否则,就给没有这种变量的约束条件添加一个人工变量,同时修改目标函数. (见例题),如果单纯形表最后以行中的j都满足 j0, 则对应的基本可行解是最优解; 否则就不是最优解. j称为检验数.,第一,确定换入变量. 在大于0的检验数中找最大的为k, 对应
9、变量xk为换入变量. 第二,确定换出变量. 取=minbi/aik|aik0=bl/alk, 对应的第l行的基变量为换出变量. 第三, 旋转运算. 换入变量所在的行与换出变量所在的列交叉点的元素称为中心元素,用高斯削去法把中心元素化成1, 同列的其他元素化成0, 得到一个新的单纯形表,也就得到一个新的基本可行解.,1.2.2 单纯形法(三),用单纯形法求解线性规划问题的具体步骤如下： 找出初始可行基，确定初始基本可行解，建立初始单纯形表；转。 检验对应于非基变量的检验数j。若j0（xj为非基变量）都成立，则当前单纯形表对应的基本解就是最优解，停止计算；否则转。 在所有j0中，若有一个k对应的x
10、k的系数aik0 (i=1,2,m)，则此问题为无界解（无解），停止计算；否则转。 根据 max（j0）=k 确定xk为换入变量；根据规则 minbi/aik1im, aik0bl/alk确定相应的换出变量，并得到中心元素alk。转。 以alk为枢轴元素进行转轴运算，得到新的单纯形表。转.,用单纯行法求解线性规划问题后，应回答下面几个问题： 是否解无界？上面的步骤已作出回答。 是否无可行解？求解后，若人工变量都已取0，则有可行解；否则，无可行解。 唯一最优解还是无穷多最优解？在最后的单纯形表中，若所有非基变量的检验数都严格小于0，则为唯一最优解；若存在某个非基变量的检验数等于0，则有无穷多最优
11、解。,1.2.22 单纯形法(四),此问题的最优解为:x1*=4, x2*=2, x5*=4, x3*= x4*= x1*=0, z*=24+32=14,1.2.2 单纯形法(五),此问题的最优解为: x1*=4, x2*=1, x3*= 9, x4*= x5*= x6*= x7*= 0, z*= -34+9+1= -2,1.2.3 用计算机软件求解线性规划问题,关于线性规划问题的求解，有许多好的专业软件和商务软件，通过计算机可十分方便地完成求解过程。最简便易行的求解软件是Excel，下面介绍其使用方法。,（1）建立Excsl工作表。用 一组单元格表示变量，作为可变单元格（空）；用几组单元格分
12、别表示各约束条件和目标函数的系数；用一些单元格输入公式表示各组系数和变量的关系。,（2）打开工具栏中的“规划求解”对话框，指定存有目标函数的单元格为目标单元格，指定表示变量的单元格为可变单元格，建立约束条件。,（3）在规划求解对话框中按下“求解”按钮，即可求出最优解和最优值。推出规划求解对话框。,1.3 应用举例(一),解 先看有多少种裁料方案，再进行组合和选择。方案：,例 合理利用线材问题 现要做一百套钢管, 每套要长为2.9m、2.1m和1.5m的钢管各一根。已知原料长7.4m，问应如何下料，使用的原料最省。,设用方案,分别裁原料钢管x1,x2, ,x8根, 则：,例 某工厂要用三种原材料
13、C,P,H混合调配出三种不同规格的产品A,B,D。已知产品的规格要求、单价和原料的供应量、单价如下表。该厂应如何安排生产，能使利润最大？,1.3应用举例(二）,根据产品要求有：,AC0.5A, AP0.25A BC0.25B, BP0.5B AC+AP+AH=A BC+BP+BH=B根据原料供应量有： AC+BC+DC100 AP+BP+DP100 AH+BH+DH60,设AC,AP,DH分别为x1,x2,x9，有Max z=50(x1+x2+x3)+35(x4+x5+x6) +25(x7+x8+x9) - 65(x1+x4+x7) - 25(x2+x5+x8) - 35(x3 +x6 +x9
14、) x10.5(x1+ x2+ x3) x2 0.25(x1+ x2+ x3) x4 0.25(x4+ x5+ x6) x5 0.5(x4+ x5+ x6) x1+ x4+ x7100 x2+ x5+ x8100 x3+ x6+ x960 xj0, j=1,2,3,4,5,6,7,8,9,解：记产品A,B,D中C,P,H的含量分别为AC,AP,AH,BC,BP,BH,DC,DP,DH。,1.3 应用举例（三）,例 成批生产企业年度生产计划的按月分配。 在年度计划按月分配时一般要考虑：从数量和品种上保证年度计划的完成；成批的产品尽可能集中在几个月内生产；由于技术方面的原因，某些产品在某个月后才能
15、生产；某些产品要求年初交货；批量小的产品尽量集中在一个或几个月内生产出来，以便减少各月内的品种数量。考虑以上条件，使设备负荷均衡并使利用率最大化。,假定工厂有m类设备，用i表示(i=1,2,m)；生产n种产品，用j表示(j=1,2,n)。各产品的全年计划量用dj表示。 用aij表示加工单位j种产品所需要的第i类设备的台时数，bik表示k月份第i类设备的生产能力(台时)(k=1,2,12)。 再假定第5、8两种产品下半年投产，第4号产品要求二月底前完成全年计划。,如要对全年12个月同时考虑，会使模型非常复杂，我们根据上述条件从1月到12月份，一个月一个月地分别建模计算。设k月份计划生产j种产品的
16、数量为xjk。,一月份模型为：,n aijxj1bi1 (i=1,2,m) j=1,xj1dj (j=1,2,n),x51=x81=0,xj10 (j=1,2,n),二月份模型为：,n aijxj2bi2 (i=1,2,m) j=1,xj2dj-xj1 (j=1,2,n),x52=x82=0,xj20 (j=1,2,n),1.3 应用举例(四),例 连续投资问题。某单位有资金10万元，在今后5年内可考虑下列投资项目，已知： 项目A：从第1到第4年每年初可投资，并于次年末回收本利115%； 项目B：第3年初需要投资，到第5年末回收本利125%，但最大投资额不超过4万元； 项目C：第2年初需要投资
17、，到第5年末能回收本利140%，但最大投资额不超过3万元； 项目D：5年内每年初可购买公債，当年末回收本利106%。 问它应该如何安排每年的投资，使到5年末拥有的资金最多？,x2A+x2C+x2D=1.06x1D,解：每年的投资额应不超过手中的资金。由于项目D每年都可投资，且当年末就可收回。所以该单位每年必然把资金全部投出去，即投资额等于手中的资金数。,设第i年投资各项目的资金为xiA,xib,xiC,xiD 。数学模型为：,Max z=1.15x4A+1.4x2C+1.25x3B+1.06x5D,x1A+x1D=10,x3A+x3B+x3D=1.15x1A+1.06x2D,x4A+x4D=1.15x2A+1.06x3D,x5D=1.15x3A+1.06x4D,xiA,xib,xiC,xiD0,
