1、第一章 线性规划与单纯形方法,内容： 线性规划的数学模型，标准形式，基本概念及基本原理；线性规划的图解法，单纯形法，大M法，两阶段法。,重点： （1）线性规划的基本概念 （2）单纯形法的基本原理与计算步骤 难点： （1）单纯形法的基本原理与计算步骤基本要求： （1）理解线性规划的基本概念：目标函数、约束条件、可行解与可行域、基可行解、最优解及它们之间的关系；会写线性规划的标准形式。 （2）理解并掌握线性规划求解的基本理论：可行域，基本可行解与凸集顶点的关系，最优解。 （3）掌握线性规划的图解法：可行域、等值线移动方向、最优解的存在性情况。 （4）熟练掌握线性规划的单纯形法：单纯形法的基本原理、
2、基本步骤、最优解的判定。 （5）熟练掌握大M法、两阶段法的原理和计算步骤。 （6）能利用线性规划的知识对一些实践问题，如：组织生产计划问题、节约下料问题等，建模求解； （7）能利用当前的计算机软件求解线性规划问题。,线性规划（概论） 线性规划（Linear Programming)创始人： 1947年美国人G.B.丹齐克（Dantzing） 1951年提出单纯形算法（Simpler） 1963年Dantzing写成“Linear Programming and Extension” 1979年苏联的Khachian提出“椭球法” 1984年印度的Karmarkar提出“投影梯度法”线性规划是研
3、究线性不等式组的理论，或者说是研究（高维空间中）凸多面体的理论，是线性代数的应用和发展。,1-1 线性规划基本概念生产计划问题 如何合理使用有限的人力，物力和资金，使得收到最好的经济效益。 如何合理使用有限的人力，物力和资金，以达到最经济的方式，完成生产计划的要求。,例1.1 生产计划问题（资源利用问题）胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个，生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。该厂每个月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。问该厂如何组织生产才能使每月的
4、销售收入最大？,解：将一个实际问题转化为线性规划模型有以下几个步骤： 1确定决策变量：x1=生产桌子的数量x2=生产椅子的数量 2确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大max z=50x1+30x2 3确定约束条件：4x1+3x2120（木工工时限制）2x1+x2 50 （油漆工工时限制） 4变量取值限制：一般情况，决策变量只取正值（非负值）x1 0, x2 0,数学模型max S=50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2 1202x1+ x2 50x1,x2 0线性规划数学模型三要素：决策变量、约束条件、目标函数,1-2 线性规划问题的数学模型例1 .2 营养配餐问题假定一个成年人每天
5、需要从食物中获得3000千卡的热量、55克蛋白质和800毫克的钙。如果市场上只有四种食品可供选择，它们每千克所含的热量和营养成分和市场价格见下表。问如何选择才能在满足营养的前提下使购买食品的费用最小？,各种食物的营养成分表,解：设xj为第j种食品每天的购入量，则配餐问题的线性规划模型为：min S=14x1+6x2 +3x3+2x4 s.t. 1000x1+800x2 +900x3+200x4 300050x1+ 60x2 + 20x3+ 10x4 55400x1+200x2 +300x3+500x4 800x1，x2 ， x3 ， x4 0,其他典型问题： 合理下料问题 运输问题 生产的组织
6、与计划问题 投资证券组合问题 分派问题 生产工艺优化问题,用于成功决策的实例： 美国航空公司关于哪架飞机用于哪一航班和哪些机组人员被安排于哪架飞机的决策 美国国防部关于如何从现有的一些基地向海湾运送海湾战争所需要的人员和物资的决策Chessie道路系统关于购买和修理价值40亿美圆货运汽车决策,用于成功决策的实例： 魁北克水利部门关于用哪几个水库来满足每天电力需求决策 农场信贷系统联邦土地银行关于如何支付到期债券和应发售多少新债券以获取资金（每年共计60亿美圆）来维持发展决策 北美长途运输公司关于每周如何调度数千辆货车的决策 埃克森炼油厂关于调节冶炼能力去适应关于无铅燃料生产的法律更改的决策,线
7、性规划问题的一般形式： Max(Min)S=c1x1+c2x2+cnxn s.t. a11x1+a12x2+.+a1nxn (=, )b1a21x1+a22x2+.+a2nxn (=, )b2.am1x1+am2x2+.+amnxn (=, )bmx1,x2.xn 0,线性规划问题隐含的假定： 比例性假定 可加性假定 连续性假定 确定性假定,线性规划问题隐含的假定： 比例性假定：决策变量变化引起的目标函数的改变量和决策变量的改变量成比例，同样，每个决策变量的变化引起约束方程左端值的改变量和该变量的改变量成比例。 可加性假定：每个决策变量对目标函数和约束方程的影响是独立于其他变量的，目标函数值是
8、每个决策变量对目标函数贡献的总和。,连续性假定：线性规划问题中的决策变量应取连续值。 确定性假定：线性规划问题中的所有参数都是确定的参数。线性规划问题不包含随机因素。,线性规划问题的标准形式(1)： Max S=c1x1+c2x2+cnxn s.t. a11x1+a12x2+.+a1nxn=b1a21x1+a22x2+.+a2nxn=b2.am1x1+am2x2+.+amnxn=bmx1,x2.xn 0 其中：bi 0(i=1,2,.m),线性规划问题的标准形式(2)：Max S =s.t. xj 0 (j=1,2,.m),线性规划标准型的矩阵形式(3)： Max S = CXs.t. AX=
9、bX 0,a11 a12 . a1n b1 A= a21 a22 . a2n b = b2 .am1 am2 . amn bn,c1 x1 0c2 x2 0 C= X= 0 = cn xn 0,如何将一般问题化为标准型： 1.若目标函数是求最小值 Min S = CX 令 S= - S, 则 Max S= - CX 2.若约束条件是不等式若约束条件是“”不等式,加一个松弛变量, 0是非负的松驰变量,3.若约束条件是“”不等式,Xi+1 0是非负的松驰变量,4.若约束条件右面的某一常数项 bi0 这时只要在bi相对应的约束方程两边乘上-1。 5.若变量 xj无非负限制，引进两个非负变量xj xj
10、 0 令xj= xj- xj（可正可负） 任何形式的线性规划总可以化成标准型,例1.3 将下列问题化成标准型: Min S = -x1+2x2-3x3 s.t. x1+x2+x3 7x1-x2+x3 2-3x1+x2+2x3 = 5x1,x2 0 x3 无非负限制,Max S = x1-2x2+3x3 -3x3 s.t. x1+x2+x3 -x3 +x4 =7x1-x2+ x3 -x3 -x5=2-3x1+x2+2x3 -2x3 =5x1, x2 , x3 ，x3 , x4，x5 0,对于标准型LP问题,可行解：满足约束条件（1-13）和（1-14）的解称为可行解。 基：A中任何一组m个线性无
11、关的列向量构成的子矩阵,称为该问题的一个基（basis）,与中的这些列向量对应的变量称为基变量（basic variable）,1-3 线性规划问题解的概念,最优解：若基本可行解又是最优解（也称基本最优解），这个基就称为最优基（optimal basis）。,基本解：对于基,令非基变量为零,求得满足（1-13）的解，称为基对应的基本解（basic solution）。,基本可行解：满足（1-14）的基本解称为基本可行解（basic feasible solution）；基本可行解所对应的基称为可行基（feasible basis）。,1-4 线性规划问题的图解法：,当决策变量个数n=2时，LP
12、问题可以通过在平面上作图的方法求解，称为图解法。图解法求解的目的： 1.判别线性规划问题的求解结局。 2.在存在最优解的条件下，把问题的最优解找出来。,图解法的步骤：,1.求可行解集合。分别求出满足每个约束包括变量非负要求的区域，其交集就是可行解集合，或称为可行域；,2.绘制目标函数图形。先过原点作一条矢量指向点（c1,c2)，矢量的方向就是目标函数增加的方向，称为梯度方向，再作一条与矢量垂直的直线，这条直线就是目标函数图形；,3.求最优解。依据目标函数求最大或最小移动目标函数直线，直线与可行域相交的点对应的坐标就是最优解。,一般地，将目标函数直线放在可行域中求最大值时直线沿着矢量方向移动求最
13、小值时沿着矢量的反方向移动,x1,x2,O,10,20,30,40,10,20,30,40,(3,4),(15,10),最优解X=(15,10),最优值Z=85,例1.11,2,4,6,x1,x2,2,4,6,最优解X=(3,1) 最优值Z=5,(3,1),min Z=x1+2x2,例1.12,(1,2),2,4,6,x1,x2,2,4,6,X（2）（3,1）,X（1）（1,3）,(5,5),min Z=5x1+5x2,例1.13,有无穷多个最优解 即具有多重解,通解为,01,当=0.5时 =(x1,x2)=0.5(1,3)+0.5(3,1)=(2,2),2,4,6,x1,x2,2,4,6,(
14、1,2),无界解(无最优解),max Z=x1+2x2,例1.14,x1,x2,O,10,20,30,40,10,20,30,40,50,50,无可行解 即无最优解,max Z=10x1+4x2,例1.15,由以上例题可知，线性规划的解有4种形式：,1.有唯一最优解(例1.11例1.12),2.有多重解(例1.13),3.有无界解(例1.14):产生原因：是由于在建立实际问题的数学模型中遗漏了某些必要的资源约束条件。,4.无可行解(例1.15):原因是模型本身错误，约束条件之间互相矛盾，应检查修正。,1、2情形为有最优解 3、4情形为无最优解,图解法得到的启示,1.求解线性规划问题时，解的情况
15、有：唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解。 2.若线性规划问题的可行域存在，则可行域是一凸集。 3.若线性规划问题的最优解存在，则最优解一定在某个顶点可达到。 4.解题思路是：先找出凸集的任一顶点，计算Z值，比较相邻顶点Z值，如大，转到相邻顶点，一直到找出使Z值最大的顶点为止。,1.通过图解法了解线性规划有几种解的形式 2.作图的关键有三点(1)可行解区域要画正确(2)目标函数增加的方向不能画错(3)目标函数的直线怎样平行移动,线性规划问题解的概念 线性规划标准型的矩阵形式： Max S = CX （1-9）s.t. AX=b （1-10）X 0 （1-11）,a11 a12 . a1n
16、 b1 A= a21 a22 . a2n b = b2 am1 am2 . amn bn,c1 x1 0c2 x2 0 C= X= 0= cn xn 0,解、可行解、最优解 满足约束条件（1-10）的X，称为线性规划问题的解。 满足约束条件（1-10）与（1-11）的X，称为线性规划的问题可行 解。 满足目标函数（1-9）的可行解X，称为线性规划的问题最优解。,基、基向量、基变量 设r(A)=m,并且B是A的m 阶非奇异的子矩阵（det(B)0),则称矩阵B为线性规划问题的一个基。 矩阵B=（P1，P2.Pm) ，其列向量Pj称为对应基B的基向量。 与基向量 Pj 相对应的变量xj就称为基变量
17、，其余的就称为非基变量。,基础解.基础可行解.可行基 对于某一特定的基B，非基变量取0值的解，称为基础解。 满足非负约束条件的基础解，称为基础可行解。 与基础可行解对应的基，称为可行基。,为了理解基础解.基础可行解.最优解的概念，用下列例子说明： 例1.4：max S = 2x1 + 3x2 （1-12）s.t. -2x1 + 3x2 6 （1-13-1）3x1 - 2x2 6 （1-13-2）x1 + x2 4 （1-13-3）x1, x2 0 （1-14）,x2,4,3,2,1,1,2,3,4,x1,O,-1,-1,-2,-2,-3,-3,-2x1+3x2=6,3x1 -2 x2=6,x1
18、 + x2 =4,A,Q1,Q2,Q3,Q4,B,x2,4,3,2,1,1,2,3,4,x1,O,-1,-1,-2,-2,-3,-3,A,B,x2,4,3,2,1,1,2,3,4,x1,O,-1,-1,-2,-2,-3,-3,-2x1+3x26,3x1 -2 x2 6,x1 + x2 4,A,Q1,Q2,Q3,Q4,B,满足约束条件（1-13）-2x1+3x2 6 （1-13-1）3x1 -2 x2 6 （1-13-2）x1 + x2 4 （1-13-3）与坐标系 x1, x2=0 （1-14） 的交点（O，A，B，Q1，Q2，Q3，Q4） 都是代表基础解。注意：点（4，0）（0，4）不满足（
19、1-13）,满足约束条件（1-13）-2x1+3x2 6 （1-13-1）3x1 -2 x2 6 （1-13-2）x1 + x2 4 （1-13-3）且满足 x1, x2 0 （1-14） 的交点（O，Q1，Q2，Q3，Q4） 都是代表基础可行解。 注意：点A，B不满足x1, x2 0 点（O，Q1，Q2，Q3，Q4）刚好是可行域的顶点。,x2,4,3,2,1,1,2,3,4,x1,O,-1,-1,-2,-2,-3,-3,-2x1+3x2 6,3x1 -2 x2 6,x1 + x2 4,A,Q1,Q2,Q3,Q4,B,可行域,x2,4,3,2,1,1,2,3,4,x1,O,-1,-1,-2,-
20、2,-3,-3,-2x1+3x2 6,3x1 -2 x2 6,x1 + x2 4,A,Q1,Q2,Q3,Q4,B,可行域,本问题解的情况： 基础解：点（O，A，B，Q1，Q2，Q3，Q4） 可行解：由点（O，Q1，Q2，Q3，Q4）围成的区域。 基础可行解：点（O，Q1，Q2，Q3，Q4） 最优解： Q3,解的集合：,非可行解,可行解,解的集合：,基础解,解的集合：,可行解,基础解,基础可行解,解的集合：,可行解,基础解,基础最优解,基础可行解,线性规划解的性质（几何意义） 凸集概念：设D是n维线性空间Rn的一个点集，若D中的任意两点x(1),x(2)的连线上的一切点x仍在D中，则称D为凸集。
21、 即：若D中的任意两点x(1),x(2) D，存在01 使得 x= x(1)+(1- )x(2) D,则称D为凸集,例1.5,X1,X2,X(1),X(2),X,图（1-7）,例1 . 5,X1,X2,X(1),X(2),-X(2),X(1) -X(2),图（1-7）,X,例1 . 5,X1,X2,X(1),X(2),X,X(1) -X(2),y= (X(1) -X(2) ) (0 1),X=X(2)+y = X(2)+ (X(1) -X(2) ) = X(1) +(1- )X(2),图（1-7）,例1 . 5,X1,X2,X(1),X(2),X,-X(2),X(1) -X(2),图（1-7）
22、,X=X(2)+y = X(2)+ (X(1) -X(2) ) = X(1) +(1- )X(2),y= (X(1) -X(2) ) (0 1),例1. 6（凸集）,例1. 7（非凸集）,例1.8（凸集性质） 二个凸集的交还是凸集,二个凸集的并不一定是凸集,两个基本概念： 凸组合：设x(1),x(2) x(k)是n维线性空间Rn中的k个点，若存在数u1,u2,.uk 且0 ui 1 (i=1,2,k), ui =1, 使得 x= u1 x(1)+ u2 x(2) + uk x(k) 成立，则称x为x(1),x(2) x(k)的凸组合。,两个基本概念： 顶点： 设D是凸集, 若D中点x 不能成为
23、D中任何线段上的内点，则称x为凸集D的顶点。 即：若D中的任意两点x(1),x(2) ，不存在数 （0 1） 使得x= x(1)+(1- )x(2) 成立，则称x为凸集D的一个顶点。,例1.9： 多边形上的点是顶点,圆周上的点都是顶点,线性规划的基本定理,定理1-1 线性规划问题的可行解集是凸集。（即连接线性规划问题任意两个可行解的线段上的点仍然是可行解。),线性规划的基本定理,定理1-2 线性规划问题的可行解x为基础可行解的充分必要条件是：x的非零分量所对应的系数矩阵A的列向量是线性无关。,线性规划的基本定理,定理1-3 线性规划问题的可行解集D中的点x是顶点的充分必要条件是：x是基础可行解
24、。,线性规划的基本定理,推论：可行解集D中的顶点个数是有限的。 推论：若可行解集D是有界的凸集，则D中任意一点x，都可表示成D的顶点的凸组合。,例1-10：,x1,x2,X(1),X(2),X(3),x,x1,x2,X(1),X(2),X(3),x,X,X= X(1) +(1- )X(3)(0 1),x1,x2,X(1),X(2),X(3),X,X,X = X +(1- )X(2)(0 1),因为x是X(1) ，X(3)连线上的一点，故 x = X(1) +(1- )X(3) (0 1) 又因为x是X ，X(2)连线上的一点，故X = X +(1- )X(2) (0 1) X = （ X(1)
25、 +(1- )X(3)） +(1- )X(2)= X(1) +(1- )X(2) +(1- ) X(3)=u1X(1) +u2X(2) +u3X(3) 其中 (0ui1)且u1 +u2 +u3 = +(1- )+(1- ) =1,x1,x2,X(1),X(2),X(3),X,X =u1X(1) +u2X(2) +u3X(3),线性规划的基本定理,定理1-4 若可行解集D有界，则线性规划问题的最优解，必定在D的顶点上达到。 说明1：若可行解集D无界，则线性规划问题可能有最优解，也可能无最优解。若有最优解，也必在顶点上达到。 说明2：有时目标函数也可能在多个顶点上达到最优值。这些顶点的凸组合也是最优值。（有无穷多最优解）,
