1、线性规划题型总结知识点（1）在坐标系中画不等式 AxBy C0(或0(0，若不等式成立，则和(x 0，y 0)同侧的点都满足不等式，从而平面区域被找到，否则，直线的另一侧区域为不等式Ax ByC0 所表示的区域，当 C0 时，常取特殊点（ 0，0）为代表，当C0 时，直线过（0，0） ，常选（1，0 ）或（0，1）加以判断这种方法可称为“直线定界，特殊点定域” （4） 求在线性约束条件下的线性目标函数 taxby 的最值问题时，应先作出线性约束条件所表示的平面区域即可行域，再作出直线 axby0，平移直线 axby0，此时，在经过可行域内的点且平行于 axby 0 的直线中，找出对应于 t 最
2、大（或最小）时的直线，最后求其最值生产实际中的许多问题都可以归结为线性规划问题来求解题型一：给出具体的变量 ,xy满足约束条件，求线性目标函数的最值。常用的方法：（1）画出变量所满足的可行区域，将目标函数变形，平行移动找出目标函数的最值；（2）直接找出这几条线的的交点，直接代入即可，这个方法只适用于封闭区域，若非封闭区域，只能采用第一用方法，画图。例 1、已知变量 ,xy满足约束条件241yx，则 3zxy的最大值为( )()A2()B ()C ()D【解析】选 B 约束条件对应 A边际及内的区域： 532,),2ABC 则 38,1zxy例 2、若 ,xy满足约束条件：023xy；则 xy的
3、取值范围为 _【解析】 的取值范围为 _,0约束条件对应 ABC边际及内的区域： 3(),(1,)2ABC则 3,0txy练习题：1、设变量 ,xy满足-10+25xy，则 +3xy的最大值为（ D）.A20 B35 C 45 D552、若 ,xy满足约束条件103xy，则 3zxy的最小值为 。答案： 13、 【2012 高考山东理 5】已知 变量 满足约束条件 ，则目标函数,xy241xy的取值范围是zxy（A） （B） 3,623,12（C） （D）16【答案】A4、已知变量 、 满足约束条件 ,则 的最大值为 （ ）xy21yx3zxyA12 B11 C3 D 15、 （2012 年高
4、考（课标文） ）已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 C 在第一象限,若点( x,y)在ABC 内部,则 的取值范围是 （ ）zxyA(1- ,2) B(0,2) C( -1,2) D(0,1+ )3 3 36、设函数 , 是由 轴和曲线 及该曲线在点 处的ln,0()21fD()yfx(1,0切线所围成的封闭区域,则 在 上的最大值为_2_.zxy非线性目标函数的的求法：（1）距离型目标函数：目标函数形式为“ ， ，2zxy2zxy”。22()()zxayb例 1、已知点 P（x，y ）的坐标满足条件 点 O 为坐标原点，那么|PO |的最小值4,1xy等于 ,最大
5、值等于 ._例 2、已知 0,2-yx1则 x2+y2的最小值是_.解析: ,-,画出可行域,得交点 A(1,2),B(3,4),则 x2+y2的最小值是 5.答案:5练习题：1、设 、 满足条件 ，则 的最小值 xy310xy 2(1)zxy2.设 是不等式组 表示的平面区域,则 中的点 到直线 距D21304xyD(,)Pxy10xy离的最大值_.3、若 是 表示的区域内的不同两点，则 的最大值是 。,MN106xy |MN4、如果点 P 在平面区域 上，点 Q 在曲线012yx最小值为 的那 么上 |,1)2(2yx5、已知 则 的最小值是 .0,xy2xy（2）斜率型目标函数:目标函数
6、为 型的，几何意义是可行域内的点与1,yx定点（0，0）,( )连线的斜率1,xy例 4.设实数 x, y 满足 .的 最 大 值 是则 xy,0324练习题：1、 设 满足约束条件 ，则 取值范围,xy04312yx31xy是 2、设变量 、 满足约束条件 ，则 最小值为 xy63xyy例 2、已知 x， y 满足 ，则 的最大值为_，最小值为032,15yxxy_题型二：求可行域的面积：关键是准确画出可行域，根据其形状来计算面积，基本方法是利用三角形面积，或切割为三角形例 1、不等式组 表示的平面区域的面积是 ( )2,0xy(A)4 (B)4 (C)2 (D)22解：可行域是 A(0.2
7、),B(2,4),C(2,0)构成的三角形，易得面积为 4例 2、若不等式组 表示的平面区域是一个三角形，则 的取值范围是 20xya ， ， ， a例 3、设二元一次不等式组 所表示的平面区域为 ，使函数190824xy， M的图象过区域 的 的取值范围是（ ） A B(01)xya， Ma13， 210，C D29， 09，例 4、若直线 xy上存在点 ),(y满足约束条件 mxy032，则实数 m的最大值为（ ）A 21 B1 C 23 D2解答：可行域如下： ）（ ,0）（ 0,3），（ 23-0),(mxy所以，若直线 xy2上存在点 ),(y满足约束条件 mxy032，则 m3，即
8、 1。练习题：1、不等式组 表示的平面区域的面积为 。236,-0xy .2、若不等式组 所表示的平面区域被直线 分为面积相等的两部34xy43ykx分，则 的值是k3、在平面直角坐标系中，若不等式组 （ 为常数）所表示的平面区域内 10xya的面积等于 2，则 的值为a4、使函数 的目标函数 ,在 取得最大值的()34yxf(0)zxby2,xy充要条件是 A B C D |ab|ab|a|ab题型三：若可行区域或者目标函数含有参量的情况，（1） 、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。 例 1、在约束条件 下，当 时，目标函数 的最大值的变化范围024xys35s32zxy是（）
9、A. B. C. D. 6,57,156,87,（2） 、已知最优解成立条件，探求目标函数参数的值或范围问题。例 1、已知变量 ， 满足约束条件 。若目标函数 （其中 ）xy142xyzaxy0a仅在点 处取得最大值，则 的取值范围为 。(3,)a例 2、已知实数 满足 如果目标函数 的最小值为 ，则xy， 1xym ， ， zxy1C实数 等于 m练习题：1、如果实数 满足 ，目标函数 的最大值为 12，最,xy430521yzkxy小值为 3，那么实数 为 k2、若直线 上存在点 满足约束条件 ,则实数 的最大值为 （ 2yx(,)y302xym）A-1 B1 C 32D2隐形线性规划问题
10、例 1、在平面直角坐标系 ，已知平面区域 且 ，则xOy(,)|1,Axy0,xy平面区域 的面积为（ ）A B (,)|(,B21C D214解析：令 ，作出区域是等腰直角三角形，可求出面12,0uvxuyv积 12s例 2、已知正数 abc， ， 满足： 4ln53lbcacb ， ， 则 ba的取值范围是 【答案】 7e，。【考点】可行域。【解析】条 件 4ln53lbcaccb ， 可化为：354acbcbe。设 =bxy，则题目转化为：已知 xy，满足3540xye，求 yx的取值范围。作出（ ，）所在平面区域（如图） 。求出 =xye的切线的斜率 e，设过切点 0Pxy，的切线为
11、0m， 则 0=ymex，要使它最小，须 。 的最小值在 0xy，处，为 e。此时，点 0Pxy，在 =xe上 ,AB之间。当（ xy，）对应点 C时， =452731xy， 的最大值在 处，为 7。 yx的取值范围为 e，即 ba的取值范围是 7e，。练习题：若 ，且当 时，恒有 ，则以 ,b 为坐标点0,ba1,0yx1byaxaP（ ，b）所形成的平面区域的面积等于_。题型四：知识点交汇问题:与不等式，函数，向量等知识进行综合命题例 1、已知：点 P 的坐标（x，y ）满足： 及 A（2，0） ，则43,51.xy| |cosAOP（O 为坐标原点）的最大值是 . 解： 即为 在 上的投
12、影长，由 故所求最|cosOPAOPA，Myx)25(53,04大值为 5例 2、设不等式组 20,yx，表示平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是（A） 4 （B） （ C） 6 （D） 4【解析】题目中 20yx表示的区域如图正方形所示，而动点 D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此 421P，故选 D。【答案】D练习题：1、 满足条件 ，那么 的最大值等于_,最小值等,xy41xyyx于_.2. 已知 A（3， ） ，O 为原点，点 的最大|,023),( OAPyxyxP则的 坐 标 满 足值是 ，此时点 P 的坐标是 3、x，y 满足 ， 目标函数 z=ax+by（a0，b0）的最大值为 12，则0,26yx的最小值为 2ab4 设 ,cxyz是正数,且 2210abc, 2240xyz, 20axbycz,则ab（ ）A 14B 3C 2D 34
