1、 函数的综合复习要点梳理1. 函数的单调性(1)设 那么2121,xbax上是增函数；()()0ffbaxfxff ,)(0)(21在上是减函数.1212xx,在(2)设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数；如果)(fy)(f)(xf，则 为减函数.0)(f注：如果函数 和 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 也是xg )(xg减函数;如果函数 和 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)(uf)(x是增函数.)(gfy2. 奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于
2、 y 轴对称，那么这个函数是偶函数注：若函数 是偶函数，则 ；若函数 是偶)(xfy)()(axfxf)(axf函数，则 .(af注：对于函数 ( ), 恒成立,则函数 的对称轴Rba是函数 ;两个函数 与 的图象关于直线 对称.2bax)xfy)(xfy2bx注：若 ,则函数 的图象关于点 对称;若)()(aff)0,2(a,则函数 为周期为 的周期函数.)(xf(xfya23. 多项式函数 的奇偶性10()nnP多项式函数 是奇函数 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.P多项式函数 是偶函数 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.xx函数 的图象的对称性()yf(1)函数 的图象关于直线 对称a
3、()()fxfa.(2fa(2)函数 的图象关于直线 对称()yfx2bxfmfbx.)fbmf4. 两个函数图象的对称性(1)函数 与函数 的图象关于直线 (即 轴)对称.()yfx(yfx0xy(2)函数 与函数 的图象关于直线 对称.()yfmxa()yfbmx2abxm(3)函数 和 的图象关于直线 y=x 对称.1xf若将函数 的图象右移 、上移 个单位，得到函数 的图象；f fy)(若将曲线 的图象右移 、上移 个单位，得到曲线 的图象.0),(yxf 0,bax5. 几个常见的函数方程(1)正比例函数 , .(fcx()(),(1fyfxyfc(2)指数函数 , .)a0(3)对
4、数函数 , .log,1)a(4)幂函数 , .(f()(),fff(5)余弦函数 ,正弦函数 ， ，)csxsingx()()fxyfgxy6. 几个函数方程的周期(约定 a0)（1） ，则 的周期 T=a；(af)(f（2） ，0)x或 ，(1(ff或 ,)xaf)x或 ,则 的周期 T=2a；21(,()012fafx)(xf(3) ，则 的周期 T=3a；)1)xff(4) 且 ，则(2121f1212()(),0|)ffxxa的周期 T=4a；)xf(5) ()3(4)fxaxaf,则 的周期 T=5a；(ffx(6) ，则 的周期 T=6a.(7. 分数指数幂 (1) （ ，且 ）
5、.1mna0,anN1(2) （ ，且 ）.n,8. 根式的性质（1） .()na（2）当 为奇数时， ；na当 为偶数时， .,0|9. 有理指数幂的运算性质(1) .(0,)rsrsaQ(2) .()(3) .,rrbbr注：若 a0 ，p 是一个无理数，则 ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.指数式与对数式的互化式.logbaN(0,1)N对数的换底公式 ( ,且 , ,且 , ).llmaa0m10N推论 ( ,且 , ,且 , , ).oglmnban1n010. 对数的四则运算法则若 a0，a1，M0，N0，则(1) ;l()llogaaN(2)
6、 ;oga(3) .ll()naR注：设函数 ,记 .若 的定义域为)0(og)(2acbxxfm acb42)(xf,则 ，且 ;若 的值域为 ,则 ，且 .对于 的情形,需要R0f0单独检验.例 1.（安徽） 设 ()fx是定义在 R上的奇函数，当 x时， ()fx，则()f（ ）（A） (B) （） （）3【答案】A【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法.属容易题.【解析】2(1)(1)ff.故选 A.1.（广东）设函数 ()fx和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ） A ()fx+|g(x)|是偶函数 B ()fx-|g(x)|是奇函数C|
7、| +g(x)是偶函数 D| |- g(x)是奇函数经典例题变式训练2.（湖北）已知定义在 R 上的奇函数 xf和偶函数 xg满足 2xaxgf1,0a且，若 ag2，则 2（ ）A. 2 B. 45C. 7D. 23.（辽宁）若函数 )(12)(axxf为奇函数，则 a=（ ） A 21B 3 C 43D14.（全国）下列函数中，既是偶函数又在 +（ 0， ） 单调递增的函数是（ ） （A）3yx(B) 1yx （C）2yx(D) 2xy5.（广东文 10）设 )(,)(hgf是 R 上的任意实值函数如下定义两个函数xgf和 x；对任意 ,)(f； )(xgff则下列等式恒成立的是（ ）A
8、hxhB )(xfgfC gxD )(xhfhf 方法总结经典例题例 2.（广东）函数1()lg()fxx的定义域是 （ ） A (,1) B , C 1,() D (,)【答案】C1 （2012 年西城区） 函数 的定义域是_ _21()logfx2 （2012 年西城区） 函数 的定义域是_ _.f3 （2012 年东城区） 已知函数 的定义域为 ，值域为 ，则1)(2xba,)(5,1在平面直角坐标系内，点 的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为（ ）,baA B C D8642例 3.（山东）函数2sinxy的图象大致是【答案】C变式训练方法总结经典例题【解析】因为12cosyx,所以
9、令12cos0yx,得1cs4x,此时原函数是增函数;令 0,得 4,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选 C正确.1.（陕西）设函数 ()fx（ R）满足 ()fxf， (2)(fxf，则函数()yfx的图像是 （ ）2 （2011 年海淀区） 函数 的图象是（ ）2sin,2yx3 （2011 年海淀区） 函数 的图象大致是（ ）()1xfe变式训练yxO262xO32 yxO22yxO2332A（ ） B（ ）C（ ） D（ ）Oyx Oyx Oyx OyxA B C D例 4.（天津 ）函数 23xf的零点所在的一个区间是（ ） 2,1 1,0 0,1 1,2【答案】B【解析】
10、解法 1因为 26f，130f，0f，所以函数 23xf的零点所在的一个区间是 ,故选解法 2 0可化为 23x画出函数xy和 3的图象，可观察出选项，不正确，且 02f，由此可排除，故选1.（天津文）函数 e2xf的零点所在的一个区间是（ ） 2,1 1,0 0,1 1,22 （2012 年丰台区） 若函数 在区间 内有零点，则实数 a 的2()log()fxax(,)取值范围是（ ）A B C D25(log,125(,l)25(0,log)251,log)3.（重庆）设 m，k 为整数，方程 xk在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k 的最小值为（ ）（A）-8 （B）8 (C)12
11、 (D) 13方法总结经典例题变式训练方法总结例 5.（天津）设函数21log,0xf若 faf，则实数 a的取值范围是（ ） 10,U 1,U 0【答案】C【解析】若 0a，则212logla，即 2loga，所以 1，若 则12l，即 0，所以 a， 0。所以实数 的取值范围是 1或 ，即 ,U故选 C1.（浙江）已知0),1(2xfxf，则 2f的值为（ ） A6 B5 C4 D22 （2012 年丰台区） 已知函数 若 ，则 a= 2log,(),().xf1()fa3 （2012 年东城区） 已知函数 那么 的值为 sin,0,()1)fxfx)65(f经典例题变式训练方法总结例 6
12、（天津）设 5log4a， 25log3b， 4log5c，则（ ） c a b 【答案】D【解析】因为 44log5l1c， 50log41， 50log31a，所以 2555l3ogba，所以 ac，故选1 （2012 年昌平区） 设 ，则（ ）4log ,2 ,3.03.03.0cbaA B C Dbccaacb2 （2011 年海淀区） 若 ，则 （ ）21.52(),(),lA B C Daccaccb3.（2011 年东城区） 设 ， ， ，则（ ）12log30.3blnA B C Dabcaccabbac经典例题变式训练方法总结例 6.（四川）函数 ()fx的定义域为 A，若
13、12,x且 12()fxf时总有 12x，则称()fx为单函数例如，函数 ()f=2x+1( R)是单函数下列命题：函数2fx（x R）是单函数；若 ()f为单函数， 12,A且 12x，则 12()fxf；若 f：AB 为单函数，则对于任意 bB，它至多有一个原象；函数 ()x在某区间上具有单调性，则 ()f一定是单函数其中的真命题是_ （写出所有真命题的编号）【答案】【解析】对于，若 12()fxf，则 12x，不满足；实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；对于，若任意 bB，若有两个及以上的原象，也即当12()fxf时，不一定有 12，不满足题设，故该命题为真；根据定义，命题不满足条
14、件1 （2012 年东城区） 对于函数 ，有如下三个命题：(lg21fx） 是偶函数； 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数；)2(xf ),2 在区间 上是增函数其中正确命题的序号是（ ）(f,2A B C D2 （2012 年丰台区） 函数 的导函数为 ，若对于定义域内任意 ，()fx()fx 1x，有 恒成立，则称 为恒均变函数给出下2x12()1212ff()f列函数： ； ； ； ；(=3fx2()3fx1=fxxfe经典例题变式训练其中为恒均变函数的序号是 （写出所有满足条件的函数的序号）()=lnfx1 （2012 年西城） 下列函数中，既是偶函数又在 单调递增的函数是（ ）(
15、0,)A B C Dyx|exy23yxcosyx2 （2012 年朝阳区） 函数 的一个零点在区间 内，则实数 的取值()2fa(1,2)a范围是（ ）A B C D(1,3)(1,)(0,3)(0,)3 （2012 年朝阳区） 函数 )(2xy的图象大致是（ ）4 （昌平区） 某类产品按工艺共分 10 个档次，最低档次产品每件利润为 8 元.每提高一个档次，每件利润增加 2 元. 用同样工时，可以生产最低档产品 60 件，每提高一个档次将少生产 3 件产品.则获得利润最大时生产产品的档次是（ ）A第 7 档次 B第 8 档次 C第 9 档次 D第 10 档次5 （东城区） 已知函数 的定义
16、域为 ，值域为 ，则在平面1)(2xf ba,)(5,1直角坐标系内，点 的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为,ba（ ）A B C D86426 （2012 年海淀区已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）()2fxxA 是偶函数，递增区间是 B 是偶函数，递减区间是()fx,0()f )1,(C 是奇函数，递减区间是 D 是奇函数，递增区间是)1(x0强化训练7 （海淀区） 若 ， 则 的定义域是（ ）)1lg(2)xf()fA B C D,1(,0)0,1(,)1,0(,(8 （2011 年海淀区） 若 ， 则 的定义域是（ ）2()1fx()fxA B C D0,1)0,1,0,1)(,
17、)9 （2011 年海淀区） 要得到函数 的图象，可以将（ ）()2xfA函数 的图象向左平移 1 个单位长度 2xyB函数 的图象向右平移 1 个单位长度 xC函数 的图象向左平移 1 个单位长度 2xyD函数 的图象向右平移 1 个单位长度 x10 （海淀区） 已知函数 在定义域 上是单调函数,若对任意 ，都有()f(0)(0,)x,则 的值是（ ）1()2fx15A5 B6 C7 D811 （2011 年朝阳区） 设 0x是函数 21()log3xf的零点若 0ax，则()fa的值满足（ ）A 0 B ()fa C ()0fa D ()f的符号不确定12 （2011 年朝阳区高） 已知函
18、数 3(42)(xxf ，其图象上两点的横坐标 1x， 2满足 21,且 121,则有( )A )(ff B (21xffC 21x D ),(的大小不确定 13 （顺义区）函数 在坐标原点附近的图象可能是（ ）cosy2O332xy2O332xy2O332xy2O332xA BCD14 （顺义区）已知函数 ，如果 ，则3()sin,(1,)fxx2(1)()0fmf的取值范围是 。 m15 （2011 年朝阳区） 已知函数12log,40,()cs.xf若方程 ()fxa有解，则实数 a的取值范围是 _ _答案： ,。16（顺义区）已知函数 ，若 恰有两个实数根，则21()45,xf()0fxa的取值范围是 。a17.（朝阳区） 设函数 ()1fx()Q的定义域为 ,b，其中0b若函数 在区间 ,ab上的最大值为 6，最小值为 3，则 ()fx在区间,a上的最大值与最小值的和为_ _18.（顺义区）已知下列四个命题： 函数 满足：对任意 ，有 ；xf2)(Rx21, )(21)(21xffxf 函数 , 均是奇函数；)(log2f(xg 若函数 的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且满足 ，)x )(4(xff那么 ；(2)ff= 设 是关于 的方程 的两根，则 .21,x )1,0(logakxa 1=2x其中正确命题的序号是 .
