1、1正比例函数一般地，形如 y=kx（k 是常数，k0）的函数，叫做正比例函数（proportional function） ，其中 k叫做比例系数也就是说，形如y=kx+b，且 b0 的函数是正比例函数。正比例函数图象和性质一般地，正比例函数 y=kx（k 是常数，k0）的图象是一条经过原点和（1，k）的直线我们称它为直线 y=kx.当 k0时，直线 y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随 x的增大 y也增大；当 k0 时，图像经过一、三象限；k0，y 随 x的增大而增大；k0时，向上平移；当 b0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第一、二象限；b0，y 随 x的增大而增大；k0时，将
2、直线 y=kx的图象向上平移 b个单位；当 b0 时 ， f(x)=ax+b/x 有 最 小 值 （ 这 里 为 了 研 究 方 便 ， 规 定 a0， b0） ， 也 就是 当 x=sqrt(b/a） 的 时 候 （ sqrt 表 示 求 二 次 方 根 ） 5奇 函 数 。 令 k=sqrt(b/a） ， 那 么 ： 增 区 间 ： x|x -k和 x|x k； 减 区 间 ： x|-k x0 的 基 础 上 的 ， 不 过 对 勾 函 数 是 奇 函 数 ， 所 以 研 究 出 正 半 轴图 像 的 性 质 后 ， 自 然 能 补 出 对 称 的 图 像 。 如 果 出 现 平 移 了
3、的 问 题 （ 图 像 不 再 规 则 ） ， 就先 用 平 移 公 式 或 我 总 结 出 的 平 移 规 律 还 原 以 后 再 研 究 ， 这 个 能 力 非 常 重 要 ， 一 定 要 多 练 ，争 取 做 到 特 别 熟 练 的 地 步 。 事 实 上 ， 利 用 将 对 勾 函 数 进 行 选 择 可 以 得 到 标 准 的 双 曲 线 方 程 。 也 就 是 说 ， 对 勾 函数 是 双 曲 线 ， 这 个 利 用 二 阶 矩 阵 的 变 幻 也 是 可 以 得 到 的 。 另 外 对 于 二 次 曲 线 ， 他 只 可 能 是 以 下 几 种 情 况 ： 圆 ， 椭 圆 ， 双
4、 曲 线 ， 抛 物 线 ， 或 者是 两 条 直 线 。 由 对 勾 函 数 的 图 像 看 出 来 ， 非 双 曲 线 莫 属 了 。 其 它 解 法面 对 这 个 函 数 f(x)=ax+b/x,我 们 应 该 想 得 更 多 ， 需 要 我 们 深 入 探 究 ： 它 的 单 调性 与 奇 偶 性 有 何 应 用 ？ 而 值 域 问 题 恰 好 与 单 调 性 密 切 相 关 ， 所 以 命 题 者 首 先 想 到 的 问 题6应 该 与 值 域 有 关 ； 函 数 与 方 程 之 间 有 密 切 的 联 系 ， 所 以 命 题 者 自 然 也 会 想 到 函 数 与 方程 思 想 的
5、 运 用 ； 众 所 周 知 ， 双 曲 线 中 存 在 很 多 定 值 问 题 ， 所 以 很 容 易 就 想 到 定 值 的 存在 性 问 题 。 因 此 就 由 特 殊 引 出 了 一 般 结 论 ； 继 续 拓 展 下 去 ， 用 所 猜 想 、 探 索 的 结 果 来 解决 较 为 复 杂 的 函 数 最 值 问 题 。 高 考 例 题2006 年 高 考 上 海 数 学 试 卷 （ 理 工 农 医 类 ） 已 知 函 数 y=x+a/x 有 如 下 性 质 ： 如 果 常数 a0， 那 么 该 函 数 在 (0, a 上 是 减 函 数 ， 在 ， a,+ ） 上 是 增 函 数
6、如 果 函 数 y=x+（ 2b)/x （ x0） 的 值 域 为 6,+ ） ， 求 b 的 值 ； 研 究 函 数 y=x2+c/x2 （ 常 数 c 0） 在 定 义 域 内 的 单 调 性 ， 并 说 明 理 由 ； 对 函 数 y =x+a/x 和 y =x2+a/x2（ 常 数 a 0） 作 出 推 广 ， 使 它 们 都 是 你 所 推广 的 函 数 的 特 例 研 究 推 广 后 的 函 数 的 单 调 性 （ 只 须 写 出 结 论 ， 不 必 证 明 ） ， 并 求 函 数F(x) =(x2+1/x)n+（ 1/x2+x)n（ x 是 正 整 数 ） 在 区 间 ,2上 的
7、 最 大 值 和最 小 值 （ 可 利 用 你 的 研 究 结 论 ） 当 x0 时 ， f(x)=ax+b/x 有 最 小 值 ； 当 x0, 由 均 值 不 等 式 有 ： f(x)=x+1/x=2 根 号 （ x*1/x)=2 当 x=1/x 取 等 x=1， 有 最 小 值 是 ： 2， 没 有 最 大 值 。 当 x0 f(x)=-(-x-1/x) 0,b0） 在 x0 上 的 单 调 性 设 x1x2 且x1， x2 （ 0， + ） 则 f(x1） -f(x2） =(ax1+b/x1） -（ ax2+b/x2） =a（ x1-x2） -b（ x1-x2） /x1x2 =（ x1-
8、x2） （ ax1x2-b） /x1x2 因 为 x1x2， 则 x1-x20 当x （ 0， （ b/a） ） 时 ， x1x2b/a 则 ax1x2-bb-b=0 所 以 f(x1） -f(x2） 0， 即 x （ （ b/a） ， + ） 时 ，f(x)=ax+b/x 单 调 递 增 。 7重 点 （ 窍 门 ）其 实 对 勾 函 数 的 一 般 形 式 是 ： f(x)=x+a/x(a0) 定 义 域 为 （ - ， 0） （ 0,+ ） 值 域 为 （ - ， -2 根 号 a 2 根 号 a,+ ） 当 x0， 有 x=根 号 a， 有 最 小 值 是 2 根 号 a 当 x0）
9、， 它 的 单 调 性 讨 论 如 下 ： 设 x10,x1x20， 所 以 f(x1） -f(x2） 0， 所 以 f(x1） -f(x2） 0， 即f(x1） f(x2） ， 所 以 函 数 在 （ -根 号 a,0） 上 是 减 函 数 当 00， 所 以 f(x1） -f(x2） 0，即 f(x1） f(x2） ， 所 以 函 数 在 （ 0， 根 号 a） 上 是 减 函 数 当 根 号 a0,x1x20， 所 以 f(x1） -f(x2） 0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k1，且 *nN负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作 。0当 是奇数时，
10、，当 是偶数时，ann)(|an2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：22)1,0(*nNmanm ,1*n0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1） ra sr ；),(Rsra（2） s)( ；（3） rb,0（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数)1,0(ayx且函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 12、指数函数的图象和性质a1 01 0|cosx|cosx|sinx|cosx|sinx|sinx|cosx|sinxcosxcosxsinx16. 个个个个个
11、个:O Oxyxy26sinx)(f Rx|cosxf |tanx)(f Zkx,21| 且cotxf R,|且secx)(f Zkx,21| 且cscxf ,|且8、同角三角函数的基本关系式： tancosicotsi1cotansin 1sesi2taec2t29、诱导公式： 2k把 的 三 角 函 数 化 为 的 三 角 函 数 ， 概 括 为 ：“奇变偶不变，符号看象限”三角函数的公式：（一）基本关系公式组三 公式组二xkcot)2cot(ananssi)i(xcot)t(ansi)i(公式组四 公式组五 公式组六 xcot)ct(anassi)i(xcot)2t(ansi)i(xco
12、t)t(anssi)i(公 式 组 一sinxc=1taxcosini2x+cs=1oeitaeta227（二）角与角之间的互换公式组一 公式组二sincos)cos( cosin2sii 222sin1csico sincosin)si( 2tan1taiii cossitan1t)tan( 21tt)t(公式组三 公式组四 公式组五2tan1si2tan1costat2, , , .4675cos1in 42615cos7in 3275cot1tan 3215cot7tancoscs21sinocosinsi21sinco2ssiisinco2nsscii sinco1sico12tan
13、sin)21cos(s)si(cttasin)21cos(cinotta2810. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质： xAysin（A、 0）定义域R R R值域 1,1,R R A,周期性222奇偶性奇函数偶函数奇函数 奇函数 当 非奇非,0偶当 奇函数,0单调性2,k上为增函数； 23,k上为减函数（）Zk,1k；上为增函数1,2k上为减函数（ Zk）k2,上为增函数（）Zk上为减1,k函数（ ）Z)(21),(Ak上为增函数； )(23),(Ak上为减函数（）Zk注意： 与 的单调性正好相反； 与 的单调性也同xysinxysi xycosxycos样相反.一般地，若 在 上递增
14、（减） ，则 在 上递减（增）.)(f,ba )(f,baZkx,21|且 ZkxR,|且 xycotxytanxycosxysinOyx29 与 的周期是 .xysinxycos 或 （ ）的周期 .)()(02T的周期为 2 （ ，如图，翻折无效）. 2tay 2T 的对称轴方程是 （ ） ，对称中心（ ） ； 的)sin(x kxZ0,k)cos(xy对称轴方程是 （ ） ，对称中心（ ） ； 的对称中心（kZ0,21)tan(xy）.0,2k xyxy2cos)s(cos 原 点 对 称当 ； .tan,1)(Zktan,1)(2Zk 与 是同一函数,而 是偶函数，则xycosx2i
15、)(xy)cos()()( xk.函数 在 上为增函数.（） 只能在某个单调区间单调递增 . 若在整xytanR个定义域， 为增函数，同样也是错误的.定义域关于原点对称是 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条)(xf件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要） ，二是满足奇偶性条件，偶函数：，奇函数： ）)(xf)(xff奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如： 是奇函数， 是非奇非偶.xytan)31tan(xy（定义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若 的定义域，则 一定有 .（ 的定义域，则x0)(xf0)(fx无此性质） xysin不是周期函数； 为周期函数（ ） ；xysinT是周期函数
16、（如图） ； 为周期函数（ ） ；coco的周期为 （如图） ，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： 21sxy.Rkff),(5)( yxy=cos|x图 象1/2yxy=|cosx+/图 象30 有 .abbabay cos)sin(sinco2 yb211、三角函数图象的作法：） 、几何法：） 、描点法及其特例五点作图法（正、余弦曲线） ，三点二线作图法（正、余切曲线）.） 、利用图象变换作三角函数图象三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等函数 yAsin（x）的振幅|A|，周期 ，频率 ，相位2|T1|2fT初相 （即当 x0 时的相位） （当 A0，0 时以上公式可去绝
17、对;x值符号） ，由 ysinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A| 1）或缩短（当 0|A| 1）到原来的|A|倍，得到 yAsinx 的图象，叫做振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换 （用 y/A 替换 y）由 ysinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0| |1）或缩短（| | 1）到原来的 倍，得到 ysin x 的图象，叫做周期变换或叫做1|沿 x 轴的伸缩变换(用 x 替换 x)由 ysinx 的图象上所有的点向左（当 0）或向右（当 0）平行移动 个单位，得到 ysin（x）的图象，叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移( 用 x 替换 x)由 ysinx 的图象上所有的点向上（当 b0）或向下（当 b0）平行移动b个单位，得到 ysinxb 的图象叫做沿 y 轴方向的平移 （用 y+(-b)替换 y）
