1、复变函数总复习,复变函数,3,复数的运算,4,计算幅角要注意z在复平面所在的象限,x,y,O,5,例,6,7,复变函数的一个重要方面, 就是说明实变函数的微积分的许多结论, 复变函数也照样用. 例如, 在实变函数中函数的导数有,则上面的变元x统统改成复数z也成立,8,在实变函数中, 一些函数可以按泰勒级数展开, 例如,9,在复变函数中结果也一样:,10,复变函数还可以展开为洛朗级数, 如,11,实变函数中的定积分经常用牛-莱公式计算的, 例如,在复变函数中同样也有,但积分的含义不同, 上式代表从复平面的0点 以任意路径积分到点i.,12,对实变函数的定积分, 如果上限和下限相等, 则积分值为零
2、, 例如,对复变函数也同样,13,但是在复变函数中,通常写成,C为通过点2+i的任意一条闭合曲线,14,因此, 我们就有,15,一般地, 只要n-1, 则函数zn的原函数就是,它是单值函数, 因此就有, 只要n-1, 函数zn沿任何闭合曲线的积分为0.,16,而当对于函数z-1, 麻烦在于, 它的原函数是Ln z , 它是一个多值函数, 假设z = reiq, 则 Ln z = Ln reiq = ln r + iq, 幅角是不唯一的. 这个时候,这要看积分路线有没有绕过原点, 是正绕还是反绕, 绕了几圈, 一般而言是2p i的整数倍.,17,因此就有,假设C为正向绕原点的一条闭合曲线, 则,
3、或更一般, 假设C为正向绕z0点的一条闭合正向曲线, 则,18,函数不解析的点为奇点, 如果函数f(z)在z0点不解析, 但是在z0的某个去心领域处处解析, z0就是f(z)的孤立奇点, 例如,z=1是它的一个三级极点, z=i都是它的一级极点.,19,如z0是f(z)的孤立奇点, 则f(z)在z0的去心邻域处可展开成洛朗级数,设C为此领域包含z0的正向简单闭曲线, 对f(z)沿C积分, 得,称c-1为f(z)在z0处的留数, Resf(z),z0=c-1,20,因此, 根据复合闭路定理, 设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,.,zn外处处解析. C是D内包围诸奇点的一条正向简
4、单闭曲线, 则,21,如果z0是f(z)的m级极点, 则,如果z0是f(z)的一级极点, 则,22,设,P(z)和Q(z)都在z0解析, 如P(z0)0, Q(z0)=0, Q(z0)0, 则z0为f(z)的一级极点, 而,积分变换,24,傅氏变换,25,单位脉冲函数及性质:,对任意连续函数f(t)有,26,性质: 若F f(t)=F(w), F g(t)=G(w),27,实际上, 只要记住下面四个傅里叶变换, 则所有的傅里叶变换都无须从公式直接推导而从傅里叶变换的性质就可导出.,28,拉氏变换和拉氏逆变换,29,常用拉氏变换对,30,拉氏变换的性质, 若L f(t)=F(s),31,拉氏逆变换的计算, 若s1,s2,.,sn是函数F(s)的所有奇点, 且当s时, F(s)0, 则,32,微分方程的拉氏变换解法 首先取拉氏变换将微分方程化为象函数的代数方程, 解代数方程求出象函数, 再取逆变换得最后的解. 如下图所示.,象原函数 (微分方程的解),象函数,微分方程,象函数的 代数方程,
