1、,1.1 函数 1.2 极限的概念 1.3 极限的运算 1.4 函数的连续性,第1章 函数极限与连续,结束,当自变量x取数值 时，与 对应的因变量y的值称为函数 在点 处的函数值,记为 或 .当x 取遍D内的各个数值时, 对应的变量y 取值的全体组成,定义1 设x与y是两个变量，若当变量x在非空数集D内任取一个数值时，变量x 按照某种对应法则f 总有一个确定的数值y 与之对应，则称变量y为变量x 的函数，记作,称D为该函数的定义域.记为Df 称x为自变量，称y为因变量.,1.1.1 函数的概念,数集称做这个函数的值域.记为Zf 。,1.1.2 函数的表示法,例1 已知某商品的总成本函数为：,例
2、2 某工厂全年16月原材料进货数量如下表，这里表达的是时间和原材料进货数量之间的关系,(1)公式法 用数学公式表示自变量和因变量之间的对应关系，是函数的公式表示法.如例1是用公式法表示函数.,(2)表格法 自变量x与因变量y的一些对应值用表格列出,(3) 图示法 用函数y=f(x)的图形给出自变量x与因变量y,之间的关系.,例3 需求函数与供给函数. ,如图.P表示商品价格,Q 表示需求量,供给量,E点 为需求和供给平衡点,说明 三种表示法各有所长，缺一不可，如三角函数，三角函数表，三角函数图像，都是表示三角函数，可以相互补充。,例4 求函数 的定义域,(1)函数的定义域和对应法则是函数的两个
3、主要要素。,注:,(2)如果两个函数具有相同的定义域和对应法则，则它们是相同的函数,(4)在研究由公式表达的函数时，我们约定：函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量的一切实数值所组成的数集.,(3)在实际问题中，函数的定义域是由实际意义确定的.,解 当分母 时,此函数式都有意义,因此函数的定义域为,例5 求函数 的定义域.,所以函数的定义域为 与 .,解 要使函数y 有定义，必须使,这两个不等式的公共解为,解 当 时,函数值,设有函数 ,问它们是否为同一个函数.,例6,由于 与 的定义域不同,所以它们不是同一个函数.,但是 的定义域,而 在点 无定义 其定义域为,在实际问题中,有时会遇到一个
4、函数在定义域的不同范围内，用不同的解析式表示的情形，这样的函数称为分段函数,例如符号函数,是一个分段函数，它的定义域为,分段函数是用几个公式合起来表示一个函数，而不是表示几个函数.,f (x)的定义域是0,2，,例7,当 时,当 时,定义 设y是u的函数，y = f (u)， ，而u是x的函数，并且 的值域包含f (u)的定义 域，即 ，则y 通过u 的联系也是x的函 数，称此函数是由y =f(u) 及 复合而成的复合 函数，记作,1.1.3 复合函数,并称 x 为自变量，称 u 为中间变量.,例8 分析函数 是由哪 几个函数复合而成.,解,复合而成,并易知其定义域为,例9 求由函数 组成的复
5、合函数并求其 定义域.,解 由于 的定义域为 与u=3x1的值域有公共部分，,由于 必须 ，从而 ，,故复合函数的定义域是 .,所以由它们可以组成复合函数,例10 设,解,(1)幂函数,幂函数 的定义域随 的不同而不同.,1.基本初等函数,( 是常数),当 为无理数时,规定 的定义域为,指数函数 的定义域为 .当a1时，它严格单调增加；当0a1时，它严格单调减少.对于任何的a , 的值域都是 ，函数的图形都过(0,1)点.,对数函数 是指数函数 的反函数，它的定义域为 .当a1时，它严格单调增加；当0a1时，它严格单调减少.对于任何限定的a， 的值域都是 ，函数的图形都过(1,0)点.,(2)
6、指数函数 是常数）,在高等数学中，常用到以e为底的指数函数 和以e为底的对数函数 (记作ln x), ln x称为自然对数.这里 e =2.718 2818 ， 是一个无理数.,(4)三角函数,常用的三角函数有：,正弦函数 y=sin x;,余弦函数 y=cos x;,y=sin x与y=cos x 的定义域均为 ，它们都是以 为周期的函数，都是有界函数.,数，并且在开区间 内都是无界函数.,正切函数 y=tan x;,余切函数 y=cot x;,tan x与cot x是以 为周期的周期函数，并且在其定义域内是无界函数.sin x ,tan x及cot x是奇函数，cos x是偶函数.,此外还
7、有正割函数y=secx,余割函数y=cscx,其中 .它们都是以 为周期的函,(5)反三角函数,三角函数y=sin x,y=cos x,y=tan x和y=cot x的反函数都是多值函数，我们按下列区间取其一个单值分支，称为主值分支，分别记作,反正弦函数,反余弦函数,反正切函数,反余切函数,2 初等函数,定义 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算或经过有限次复合运算所构成，并可用一个式子表示的函数，称 为初等函数.,初等函数都可以用一个公式表式,大部分分段函数不是初等函数,是非初等函数,定义3 设函数y=f(x)是定义在Df上的一个函数，其值域为Zf ,对任意y Zf ,如果有唯一确定的满足
8、y=f(x)的x Df与之对应，则得到一个定义在Zf上以y为自变量的函数，我们称它为函数y =f (x)的反函数，记作,1.1.5 反函数与隐函数,1 反函数,习惯上，常用x来表示自变量，y 表示因变量，所以我们可以将反函数改写成,在直角坐标系中的 图形与y=f(x)的图形是,关于直线y = x 对称的.,例11 设函数y=2x3，求它的反函数并画出图形.,解,于是得反函数,变量之间的函数关系，是由某个二元方程 给出的，这样的函数称为隐函数 例 有些隐函数可以改写成显函数的形式，而有些隐函数不能改写成显函数的形式，把隐函数改写成显函数叫做,隐函数的显化,2 隐函数,1 奇偶性,设函数y =f
9、(x) 的定义域D是关于原点对称的，即当 时， 有 .,则称f (x)为偶函数，偶函数的图形关于y 轴对称；,如果对于任意的 ，均有,则称函数f (x)为奇函数.奇函数的图形关于坐标原点对称.,如果对任意的 ,均有,1.1.6 函数的基本性质,例12 讨论下列函数的奇偶性:,解,设函数y=f (x), 如果存在正常数 T,使得对于定义域内的任何x均有 f (x + T)=f (x) 成立，则称函数y=f (x)为,显然，若T是周期函数f(x)的周期，则kT也是f (x)的周期(k=1,2,3 )，通常我们说的周期函数的周期就是指最小正周期.,2 周期性,周期函数，T为f (x)的周期.,例如，
10、函数y=sin x及y=cos x都是以 为周期的周期函数；,函数y=tan x及y=cot x都是以 为周期的周期函数.,解 设所求的周期为T，由于,例13,求函数 的周期，其中 为常数,并注意到 的周期为 ,只需,使上式成立的最小正数为,所以函数 的周期为,3 单调性,设函数y = f (x) 在区间I上有定义(即是函数y =f (x)的定义域或者是定义域的一部分).如果对于任意的，当 时，均有,则称函数y =f (x)在区间上单调增加(或单调减少).,单调增加(或单调减少)的函数又称为单调递增(单调递减)函数,统称为单调函数,使函数保持单调性的自变量的取值区间称为该函数的单调区间.,函数
11、 内是单调减少的，在区间 上是单调增加的,而在区间 内则不是单调函数.,单调增加的函数的图形是沿x 轴正向上升的；,单调减少的函数的图形是沿x 轴正向下降的；,例如，函数 内是单调增加的.,4 有界性,设函数y =f (x)的定义域为D，数集 ,如果存在正数M，使得对于任意的 ,都有不等式,成立，则称f (x)在X上有界，如果这样的M不存在，就称函数f (x)在X上无界.,如果M为f (x)的一个界，易知比M大的任何一个正数都是f (x)的界.,如果f (x)在x上无界，那么对于任意一个给定的正数M，X中总有相应的点 ，使 .,当函数y=f (x)在区间a,b上有界时，函数y =f (x)的图
12、形恰好位于直线y =M 和y = 之间.,这里取 = 1. 函数y = sin x 的图形位于直线y =1与y = 1之间.,例如，函数f (x)=sin x在 内是有界的.这是因为对于任意的 ，都有 成立，,应该注意，函数的有界性，不仅仅要注意函数的特点，还要注意自变量的变化范围.,例如，函数 在区间(1,2)内是有界的.,事实上，若取=1，则对于任何,而 在区间(0,1)内是无界的.,1.1.7 函数关系的建立,例14 某运输公司规定货物的吨千米运价为：在千米以内，每千米k元；超过千米，超过部分每千米 元,求运价P 和运送里程s 之间的函数关系,解 根据题意可列出函数关系如下,这里运价P和
13、运送里程s 之间的函数关系是用分段函数表示的,总成本函数,平均成本函数,1 总成本函数某商品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入(劳力、原料、设备等)的价格或费用总额，它由固定成本与可变成本组成,平均成本是生产一定数量的产品，平均每单位产品的成本在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件下，产品的总成本与平均成本都是产量的函数,1.1.8 常见的经济函数,2 总收益函数 总收益是生产者出售一定量产品所得到的全部收入，是销售量的函数设p为商品价格，为Q 销售量，为总收益，则有,总收益函数,平均收益函数,3 总利润函数 设某商品的成本函数为C，销售收益函数R为， 则销售某商品个单
14、位时的总利润函数为,例15 已知某产品的总成本函数为求当生产100个该种产品时的总成本和平均成本,平均成本为,4 需求函数与供给函数,解 由题意，产量为100时的总成本函数为,1 数列的概念,定义1 自变量为正整数的函数,将其函数值按自变量 n由小到大排成一列数,称为数列，将其简记为,称为数列的通项或一般项,1.2.1 数列的极限,1.2 极限的概念,(1),(3),(4),(2),即,数列,数列,数列,2.数列的极限,数列（1）当n无限增大时, 无限趋近于0，即数列（1）以0为它的变化趋向；,数列（2）当n无限增大时, un = 无限趋近于常数1,即数列（2）以1为它的变化趋向；,数列（3）
15、，当n无限增大时， 其奇数项为1，偶数项为-1，随着n 的增大，它的通项在-1,+1之间变动，所以当n 无限增大时，没有确定的变化趋向；,数列（4）当n 无限增大时，un也无限增大,定义2 如果当n无限地增大时，通项un无限地趋向于某个确定的常数a，则说当n趋于无穷大时，un 以a为极限，记成,但是，像数列 等,当n越来越大时，它们各自是否有确定的变化趋势？如果有，极限是什么？,直观上可以看出,单调增加或单调减少的数列统称为单调数列.,成立,则称数列 是单调减少的.,若有,3.单调数列与有界数列,数列(2) (4)是单调增加的，数列(1)单调减少的.,对于数列 ,若有,成立,则称数列 是单调增
16、加的;,对于数列 ，若存在正数M，使得对于一切的n都有,成立，则称数列 是有界的，否则称 是无界的.,容易验证数列(1)(2)(3)是有界的；而数列(4)是无界的.,无界数列一定是发散的.,注意 数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件.,例如，数列 是有界的，而 却是发散数列.,定理1 单调有界数列必有极限,1 .当x时,函数f (x)的极限,函数,当x+时,函数 f (x) 无限趋近于常 数1，此时我们称1为当x+时函 数f (x)的极限.,定义3 如果当自变量x无限增大时，函数f (x)无限趋近 于某个确定的常数A，则称常数A为函数f (x)当x+时 的极限，记为,或,1.2.2 函
17、数的极限,-1,1,当x-时,函数 f (x) 无限趋近于常数1，此时我们称1为 当x-时函数f (x)的极限.,定义4 如果当 无限增大时，函数f (x)无限趋近于某个确定的常数A，则称常数A为函数f (x)当x+时的极限，记为,(x),或,定理2,的充要条件是,2 当xx0时,函数f (x)的极限,当x1时, 的值无限趋近 于常数2，此时我们称当x趋近于1时， 函数,极限为2,定义5 设函数 f(x)在的某邻域内有定义（x0可以除外）, 如果当自变量x 趋近于x0 时,函数 f(x)的函数值无限趋近于某个确定的常数 A,则称A为函数 f(x) 当xx0时的极限，,或,考查函数,记为,2 在
18、定义5中，x 是以任意方式趋近于 的，但在有些问题中，往往只需要考虑点x 从 的一侧趋近于 时，函数f (x)的变化趋向,注: 1. 在 时的极限是否存在,与 在点 处有无定义以及在点 处的函数值无关,如果当 从 的左侧 趋近于 (记为 ）时, 以A为极限，则称A为函数 当 时的左极限，记为,或,如果当 从 的右侧 趋近于 （记为 ）时, 以A为极限，则称A为函数 当 时的右极,或 ( ),限，记为,注: 定理3常用来判断分段函数在分段点的极限是否存在,解:,因为,所以,定理4(唯一性定理) 如果函数在某一变化过程中有极限，则其极限是唯一的,2 函数极限的性质,定理5(有界性定理) 若函数f
19、(x)当x x0时极限存在， 则必存在x0的某一邻域，使得函数f (x)在该邻域内有界,定理6(两边夹定理) 如果对于x0的某邻域内的一切 x ( 可以除外)，有 ，且,则,1.无穷小量 定义7 若变量Y在某过程下以零为极限，则称变量Y在此过程下为无穷小量，简称无穷小.,1.2.3 无穷小量与无穷大量,例3,例4,时的无穷小量.,时的无穷小量.,因为 所以,因为 所以,例如函数 时的无穷小，但当 时不是无穷小。,当 时， 的极限不为零，所以当 时，函数 不是无穷小，而当 时 是无穷小量。,应该注意无穷小量是在某一过程中，以零为极限的变量，而不是绝对值很小的数。因此应明确指出其变化过程。,定理7
20、 在自变量的同一变化过程中(1) 有限个无穷小的代数和仍为无穷小.,(4) 有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小.,(3)常量与无穷小的乘积仍为无穷小.,(2) 有限个无穷小的乘积仍为无穷小.,2 .无穷小的性质,例5,解,注意 这个极限不能用极限的四则运算法则求得，因为 不存在.,所以,时的无穷小量.,为有界变量,3. 无穷大量,定义8 在自变量x的某一变化过程中,若函数值的绝对值 无限增大，则称 f(x)为此变化过程中的无穷大量，简称无穷大.记作,4 无穷小与无穷大的关系,简言之无穷小与无穷大的关系为：在自变量的同一变化过程中，无穷大的倒数是无穷小,无穷小(不等于0)的倒数是无穷大.,定理9
21、在自变量的同一变化过程中，若f (x)为无穷大, 则 为无穷小;反之,若f (x)为无穷小且f (x)不等于0,则为无穷大.,例如：,以后，遇到类似例6的题目，可直接写出结果.,例6,解,例7 考察,定理1 设 ,则,1.3.1 极限的运算法则,下面的定理，仅就函数极限的情形给出，所得的结论对数列极限也成立.,1.3 极限的运算,其中自变量x的趋势可以是 等各种情形.,定理1中的(1)和(2)可以推广到有限个函数的代数和及乘积的极限情况.结论(2)还有如下常用的推论.,推论1 设limf(x)存在，则对于常数c，有,推论2 设limf(x)存在，则对于正整数k，有,例1,解,一般地，设有多项式
22、(有理整函数),则有,即,例2,解,设有理分式函数,式(1)与式(2)说明对于有理函数求关于 的极限时，如果有理函数在点 有定义，其极限值就是在 点处的函数值，以后可以当做公式使用.,例3,解,例4,解,例5,解,例6,解,1.3.2 两个重要极限,重要极限1,其中的两个等号只在x=0时成立.,证,设圆心角 过点A作圆的切线与OB的延长线交于点C，又作,则sin x =BD，tan x=AC，,当 时,首先证明不等式,当 时有,即当 时,而当 时有 ,从而,即当 时有,这就证明了不等式 .,从而有,由夹逼准则，即得,例7,解,例8,解,例9,解,这是重要极限2常用的另一种形式.,重要极限2,例
23、10,解 令 ,则当 时, ,因此,例11,解,例12 设有本金1000元，若用连续复利计算，年利 率为8%，问5年末可得本利和为多少？,解 设复利一年计算一次，则一年末本利和为,若复利一年计算n次，则x年末本利和为,x,年末本利和为,所以,1.3.3 无穷小的比较,两个无穷小的和、差、积都是无穷小，那么，两个无穷小的商是否仍是无穷小呢？请看下面的例子.,这些情形表明，同为无穷小，但它们趋于0的速度有快有慢，为了比较不同的无穷小趋于0的速度，,我们引入无穷小量阶的概念.,此时也称 是比 低阶的无穷小.,(3)如果 ,则称 是比 阶的无穷小.记作,(2)如果 ,则称 与 是等价无穷小,记作,(1
24、)如果 是常数),则称 是同阶无穷小.,定义 设 时为无穷小(且 ).,所以当 时, 与x是等价无穷小,即,所以当 时, 是比x高阶的无穷小,即,例13,例14 因为,同理可知,当 时,所以当 时, 是同阶无穷小.,关于等价无穷小在求极限中的应用，有如下定理.,证,定理2,根据此定理，在求两个无穷小之比的极限时，若此极限不好求，可用分子、分母各自的等价无穷小来代替，如果选择适当，可简化运算.,用定理2求极限，需要预先知道一些等价无穷小. 一些常用的等价无穷小如下：,当 时,例15,解,例16,解,例17,解,注意：相乘(除)的无穷小都可用各自的等价无穷小代换，但是相加(减)的无穷小的项不能作等
25、价代换，例如,是完全错误的,1.4.1 函数连续性的概念,相应的函数的改变量（增量）: 函数的终值 与初值 之差 称为自变量的改变量，记为,1.改变量（增量）：,1.4 函数的连续性,当自变量由初值 变化到终值 时，终值与初值之差 称为自变量的改变量，记为,定义1： 设函数 在点 的某邻域内有定义，当自变量在点 处有增量 时，相应的函数有增量 ,如果当自变量的增量 趋于零时，函数的增量 也趋于零，即则称函数 在点 处连续，点 称为函数的连续点,2.连续,若记 ，则 ，且当 时，,故定义1又可叙述为,注：,定义2：设函数y = f (x)在点 的某邻域内有定义，若有 ,则称函数 在点 处连续.,
26、（1）定义1与定义2是等价的, 即,由左右极限定义可定义左右连续定义,（2）由定义2可知若函数 在点 处连续，则函数 在点 处的极限一定存在，反之不一定连续,（3）当函数 在点 处连续时，求 时，只需求出 即可,定义3：若函数 满足 ，则称函数 在点处左连续。同理可以定义右连续,3、左右连续,4、区间连续,定义4：若函数 在（a , b）内每一点都连续 ，则称函数 在（a , b）内连续。,由定理3可知：函数 在点 处连续既左连续又右连续即,证明 y = sin x在 内连续,例1,证,对任意,有,因为,所以,故 在 内连续,定义5 若函数y = f(x)在（a , b）内每一点都连续，且在左
27、端点a 处右连续，在右端点b处左连续，则称函数y = f (x)在a , b上连续。,1.4.2 函数的间断点及其分类,则一定满足以下条件,如果f(x)在点不能满足以上任何一个条件，则点 是函数 的间断点。,1.可去间断点：,如果函数在点 的极限存在，但不等于 ，即,则称 为 的可去间断点。,例2,解,所以x =1为可去间断点 重新定义新的函数：,则x=1成为函数的连续点,2.跳跃间断点：,例3,所以 x =1为跳跃间断点,左右极限存在不相等,当 时，函数值不断地在两点之间跳 动，左右极限均不存在,3.无穷间断点,f(x)在点 的左、右极限至少有一个是无穷 大，则称 为f(x)的无穷间断点,例
28、4 x=0为无穷间断点,4.振荡间断点,例5,x=0是其振荡间断点,间断点的类型：,第一类间断点:我们把左右极限都存在的间断点称为第一 类间断点.,第二类间断点:除第一类以外的间断点,即左右极限至少有一个不存在的间断点称为第二类间断点.,例6,解,函数在x= -1 , x = 0 , x = 1处没有定义,所以x= -1 , x = 0 , x = 1是函数的间断点,所以x = -1是函数的无穷间断点,所以x= 0是函数的跳跃间断点,(),(),所以x= 1是函数的可去间断点,解,分界点为 x =1,x =2,（i）当 x=1时,所以 x= 1 是函数的跳跃间断点,(),例7,（ii）讨论 x
29、=2,而f(2)=5,所以x= 2是函数的连续的点,因此,分段函数的分界点是可能间断点,设函数y = f(u)在点 处连续,u= f (x)在点 处连续,且 ,则复合函数 在点 处连续.,1.4.3 初等函数的连续性,定理1,单调连续函数的反函数在其对应区间上也是单调连续函数。,设f(x),g(x)均在点 处连续,则也在处连续,因此,基本初等函数在其定义域内连续.,定理2,定理3,即：,因此,一切初等函数在其定义区间内连续.,1.4.4 闭区间上连续函数的性质,定理4（最值定理）闭区间上的连续函数一定 有最大值和最小值。,注：,对于在开区间或在闭区间上有间断点的函数，结论 不一定成立。,定理5 （介值定理）,设函数f(x)在a,b上连续,且 ， 为介于f (a)与f (b)之间的任一实数,则至少存在一点 ，使得,推论：,如果函数f(x)在a,b上连续,且 则至少存在一点 ，使得,
