1、2019/10/3,1,同学们好,2019/10/3,2,2.1 数列的极限 (Limits of Sequences),二 收敛数列的性质,一 数列极限的定义,三 小结与思考判断题,CH2 极限、连续,2019/10/3,3,2.1.1数列概念,例如,2019/10/3,4,2.数列是整标函数,2019/10/3,5,定义2.数列单调性定义,单调增加,单调减少,单调数列,同样,定义3：数列有界性定义,2019/10/3,6,几何意义:,由于 |xn|MMxnM xnM, M.,故, 所谓xn有界, 就是xn要全部落在某个对称区间M, M内.,看图,2019/10/3,7,2.1.2数列极限的
2、概念,2019/10/3,8,图形演示,2019/10/3,9,图形演示,2019/10/3,10,图形演示,2019/10/3,11,图形演示,2019/10/3,12,图形演示,2019/10/3,13,图形演示,2019/10/3,14,图形演示,2019/10/3,15,图形演示,2019/10/3,16,图形演示,2019/10/3,17,图形演示,2019/10/3,18,图形演示,2019/10/3,19,图形演示,2019/10/3,20,图形演示,2019/10/3,21,通过上面演示实验的观察:,2019/10/3,22,2019/10/3,23,如果数列没有极限,就说数列
3、是发散的.,注意：,定义3 如果对于任意给定的正数 (不论它多么 小)总存在正数 ，使得对于 时的一切不等式 都成立, 那末就称常数 为数列 的极限，或者称数列收敛于 ,记为,2019/10/3,24,注,定义1习惯上称为极限的N定义，它用两个 动态指标和N刻画了极限的实质，用|xna| 定量地刻画了xn 与a 之间的距离任意小，即任给 0标志着“要多小”的要求，用n N表示n充分 大。这个定义有三个要素：10，正数，20，正整数 N，30，不等式|xna|（n N）,定义中的具有二重性：一是的任意性，二是 的相对固定性。的二重性体现了xn 逼近a 时要 经历一个无限的过程（这个无限过程通过的
4、任意 性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现， 而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通 过的相对固定性来实现）。,2019/10/3,25,1. 我们用符号“” 表示“任取”,或“对于任意的”,或“对于所有的” ,符号“” 称为全称量词.,2. 我们用符号“”表示“存在”.,符号“”称,为存在量词.,符号：,2019/10/3,26,几何解释:,2019/10/3,27,当 x = n, 则,相应的点都落 在绿色区域内,n,f(n),A,N,1,2,3,N+1,N+2,数列的极限演示,对一切 n N,自然数 N,A的邻域,2019/10/3,28,当 x = n, 则,A,N,1,2
5、,3,N+1,N+2,数列的极限演示,.,相应的点都落 在绿色区域内,对一切 n N,自然数 N,A的邻域,2019/10/3,29,当 x = n, 则,A,N,1,2,3,N+1,N+2,数列的极限演示,.,相应的点都落 在绿色区域内,对一切 n N,自然数 N,A的邻域,2019/10/3,30,当 x = n, 则,A,1,2,3,N+1,N+2,.,相应的点都落 在绿色区域内,对一切 n N,自然数 N,A的邻域,数列的极限演示,2019/10/3,31,当 x = n, 则,A,1,2,3,N+1,N+2,因此，数列的极限定义也称数列极限的 N定义,.,相应的点都落 在绿色区域内,
6、对一切 n N,自然数 N,A的邻域,数列的极限演示,2019/10/3,32,例1. 若xn=c (常数), 则,证:, 0. 由于|xnc|=|c c|= 0,取N=1, 当nN时, 有|xnc |=0,故,即常数的极限就是常数本身.,数列极限的定义未给出求极限的方法.,注意：,2019/10/3,33,例2,证,所以,2019/10/3,34,例3,证,注: 用定义证明数列极限存在时,关键是从主要不等式出发,由0,找到使主要不等式成立的N(并不在乎N是否最小).,2019/10/3,35,例4、,2019/10/3,36,所以取,2019/10/3,37,二、收敛数列的性质,1.收敛数列
7、的唯一性 定理1 收敛的数列只有一个极限.,2019/10/3,38,例5,不可能同时位于长度为1的区间内.,2019/10/3,39,定理2 收敛的数列必定有界.,2.收敛数列的有界性,2019/10/3,40,3.收敛数列的保号性,2019/10/3,41,2019/10/3,42,数列的子数列(略),例如 自然数列,2019/10/3,43,4.收敛数列与其子列的关系(略),证,2019/10/3,44,2019/10/3,45,定理5. 设数列 xn和 yn 的极限都存在. 且,则,(1),(2),(3) 设 C 为常数，有,(4) 当 b0 时，有,三、数列极限的运算法则,2019/
8、10/3,46,2019/10/3,47,定理4. 若,证：由于,注意到不等式 | | A | | B | | | A B |,从而 | | xn | | a | | | xn a | ,故,反之不对.,注意：若 ，则结论成立。见教材P32习题7,2019/10/3,48,例6,解,先变形再求极限.,2019/10/3,49,例7. 求,解：注意到,从而,所以，原式=,2019/10/3,50,1、夹逼（挤）准则（定理4）,2.1.4数列极限的存在准则,2019/10/3,51,1. 夹逼（挤）准则 (准则1),证:,由条件 (2) ,当,时,当,时,令,则当,时, 有,由条件 (1),即,故
9、,2019/10/3,52,注意:,(2)两者的极限相等.,特别, 若在夹逼定理中, yn 和 zn 中有一个为常数列, 并满足定理条件. 定理仍然成立.,即,若 a xn zn ,这一方法能解决很多较为困难的求极限问题.,2019/10/3,53,例8,解,由夹逼定理得,2019/10/3,54,例9 证明,证: 利用夹逼准则 .,且,由,2019/10/3,55,例10. 求,解：用夹逼定理求解，,记,适当放大和缩小，形成定理要求的连不等式,考虑将 xn,由于,所以,2019/10/3,56,2 单调有界准则,单调增加,单调减少,单调增加且有上界数列必有极限,单调减少且有下界数列必有极限,
10、即：,2019/10/3,57,例11,证,(舍去),2019/10/3,58,证明2: 首先注意到, 当ab0时,有,移项, 有,即,2019/10/3,59,2019/10/3,60,2019/10/3,61,为一无理数,2019/10/3,62,注：,2019/10/3,63,例13. 设x0=1,证明 xn 的极限存在，并求之.,证：,通常要证明某数列极限存在可考虑用:(1)单调有界数列必有极限.(2)夹逼定理(条件中往往有不等式).此例用(1),注意到 0 xn 2, 即 xn 有界.,且x1 x0,2019/10/3,64,同理，,=,即 xn 单调递增.,2019/10/3,65,因 xn 0 , 故 a 0.,2019/10/3,66,思考题,当 时，必有,成立,2019/10/3,67,思考题解答,的值,2019/10/3,68,2019/10/3,69,故极限存在，,备用题,1.设, 且,求,解：,设,则由递推公式有,数列单调递减有下界，,故,利用极限存在准则,2019/10/3,70,思考与练习,1. 如何判断极限不存在?,方法1. 找一个趋于的子数列;,方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.,2. 已知, 求,时,下述作法是否正确? 说明理由.,设,由递推式两边取极限得,不对!,此处,2019/10/3,71,2019/10/3,72,
