1、第一节 预备知识 第二节 极限与连续 第三节 偏导数与全微分 第四节 微分运算法则 第五节 方向导数与梯度 第六节 多元函数微分学的几何应用第七节 多元函数的Taylor公式与极值 *第八节 n元m维向量值函数的微分法 第九节 复变函数的导数与解析函数,第五章 多元函数微分学及其应用,定义2.1: 设 z=f(x,y)=f(M) 在点集E上有定义, M0 (x0, y0 ) 为 E 的一个聚点, 若对任给 存在 使对满足 的 M(x, y),有: 则称 A为 f(x, y)当 时的极限,记为:,2.1 多元函数的极限与连续性,一、极限,注：,（2）二元函数的极限也叫二重极限,例2 求证,证,当
2、 时，,原结论成立,注 1. 多元函数有类似于一元函数的极限运算法则, 如四则运算, 复合运算,夹逼定理等同样成立.2. 二重极限远比一元函数的极限复杂. 二重极限存在,指M(x,y)以任何方式趋于 时, 函数f (x, y)都无限接近于A.,若M(x,y)按两种不同的方式趋于 时, f(x,y)趋于两个不同的值, 则可断定极限不存在.,二、 连续,定义2.2:,解,取,故函数在(0,0)处连续.,当 时,例7 讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,注: 1.一元函数中关于连续函数的有关结论可推广到多元函数中, 如四则运算:多元连续函数的和, 差, 积均为连续函数,连续函数的商在分母不为零处仍连续.,2. 多元初等函数在其定义域内连续.有界闭区域上 的多元连续函数具有与 闭区间上的一元连续函数类似 的性质,如最大最小值定理,介值定理等.,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（1）最大值和最小值定理,（2）介值定理,2.2 复变函数的极限与连续,注：,
