1、1,数学分析复习（二） 多元函数的极限与连续,一、多元函数的极限,定义 设DRn,f:DR.点aRn是D的一个聚 点(aD),sR.如果0,0,当xD及,则称函数f在点a处有(重)极限，,或当x趋于a时,f(x)趋于s,记作,或,|f(x)-s|,2,定义 设DRn为函数f的定义域，P0为D的一 个聚点。,如果M0,P0的一个空心邻域,使当P,D时,则称,f在D上当PP0时，存在非正常极限+，记作,无穷小量的定义与性质.,3,命题： 设DRn,f:DR.点P0(x0,y0)Rn是D的一 个聚点(P0D),AR.P(x,y) D,4,5,性质: (1)四则运算法则 (2)归结原理 (3)唯一性、
2、局部有界性、局部保号性 (3)无穷小量性质,6,如何求多元函数的极限？,（1）由定义求多元函数的极限。,例1 证明:,证明:,例2 证明:,7,例3 证明:,证明：,8,此时，,9,(2)利用极限的四则运算和复合运算求极限.,(经变形后),10,11,(3)化为一元函数求极限.,如,12,(4)应用代换x=rcos,y=rsin(0r),使求,的问题，变为求,的问题。,但必须要求当r0的过程中，与的取值无关。,如,13,（5）利用无穷小量性质（无穷小量与有界量之积 仍为无穷小量)，,如,14,(6)夹逼准则：设DRn,P0D,且,则,例 求,解： 因为极限过程为x+,y+,可设x0,y0. 于
3、是,15,例 求,解：,所以,16,例 求下列极限： （1）,可设2x4,|y|8.,17,18,19,例 证明下列极限不存在:(利用归结原理的推论),20,21,二、多元连续函数定义性质（局部性质与有界闭集上的连续函数的性质）一致连续有界闭区域上连续函数的性质,22,(二)多元函数连续的定义 定义 设f 是定义在点集DRn上的n元函数， P0D（P0或者是D的聚点，或者是D的孤立点）。 若0,=(P0, )0,只要PU(P0,) D,就有,则称f关于集合D在点P0连续，简称f在点P0连续。,若P0是D的孤立点，则P0必为f关于D的连续点;,23,若P0是D的聚点,则f在P0点连续，要求满足：
4、 (1)f在P0点有定义f(P0); (2),(3),若f在D上每一点都连续，则称f在D上连续。,如果P0是D的聚点，而,不成立，,则称P0是f的不连续点（或间断点）。,特别，当上式左端的极限存在但不等于f(P0),称 P0是 f的可去间断点。,24,P.136:第1题:讨论下列函数的连续性:,而,及,所以,25,26,第9题:设f在R2上连续，且,证明: (1)f在R2上有界；（2）f在R2上一致连续。,证明：由于,存在M0,使当rM时有,而当x2+y2M2,在此有界闭区域上,连续函数f有界，即,取W=max|A|+1,K,则,27,（2）,当在有界闭区域,上函数f一致连续。,再证f 在R上一致连续.,28,从而,f 在R上一致连续.,29,第6题：设f(x,y)在开集GR2上对x连续，对y满 足Lipschitz条件：,证明： P0(x0,y0)G，由于f对x连续，G是开集， 从而存在U(P0,)G,从而f(x,y0)在x0连续，于是 0,10,当|x-x0|1时，有,当|x-x0|,|y-y0|，且,30,(x,y) G,必有(x,y0) 且,
