1、1,第二章 函数的极限与连续,2.1 数列的极限 2.2 函数的极限 2.3 极限的运算 2.4 极限存在的准则与两个重要极限 2.5 无穷小量与无穷大量 2.6 函数连续的概念,2,第二章 极限与连续,极限概念是微积分学的基本概念. 极限是研究变量 变化趋势的重要工具, 后面要用到极限的思想和方法来 研究函数的连续性、微分、积分. 连续性是函数的一种 重要性态.,2.1 数列的极限,定义1 按一定顺序排列的一列数 a1,a2,an, 叫做一 个数列, 数列中的每一个数叫数列的项, 第 n项 an 叫数 列的一般项或通项.简记为 an .数列也可称作整标函数.,一、数列,3,因为数列 an=
2、f (n) 可看成是定义在正整数集合上 的函数. 当自变量 n 按正整数 1,2,3, 依次增大的顺 序取值时, 函数值按相应的顺序排列成一串数:,称为一个无穷数列, 简称数列.,问题:什么是有界数列呢?,4,例1,5,从以上几例可以看出, 随着 n 逐渐增大时, 数列 有着各自的变化趋势. 当 n 无限增大时 , 数列(1)、(5) “无限接近”数 0; 数列(2)、(6)、(7) “无限接近” 数1; 数列(3) “无限增大”; 数列(4) 在数 0和 1间摆 动.在几何上, an 表示数轴上一列点,也可以把(n ,an ) 看成平面上的点., ,o,1,数列,o,n,1,6,n,o,1,
3、1,数 列,o,n,1,1,2, ,1,1,o,o, ,7,结论 当 n 无限增大时 ,数列的变化趋势有 三种情形： an 无限增大; an 的变化趋势不定; an“无 限接近”某个常数 A . 此时我们说数列 an 当 n 无 限增大时, 以常数 A 为极限.这便是数列极限的直观描 述.,o,n,1,1,数列,0, ,1,8,对数列(2)当,即无论给定多么小的正数, 从某项起, 以后每项都满 足 |an1|小于给定的正数. 下面以数列(2)来说明其含 意., ,1,2,9,由 的任意性, 不等式 |an-1| N 表示.,继续下去, 无论多么小的正数 都可以找到相应的一个 正整数使得从第 N
4、 项以后(n N)各项都满足 |an-1| 即,10,对 使得当 n N时, 恒有|an-1| 成立.,定义2 (“N”)对于数列 an及常数 A, 如果,从而当 n时 an=1+1/n 以1为极限,则称数列 an在 n时以常数 A为极限.也称数列收敛于A.记,否则说数列发散.,当 n N时, 有,11,例如数列(1), (5)和 (6) 收敛于 0; 数列(2), (7)收敛于1;数列(3), (4)发散.记为,注：定义中 是用来刻划an与A的接近程度的; an与A 要多么接近就有多么接近.,而N与有关.一般 越小, N越大; 由于数列极限是数列项的“变化趋势”,所以只需考查“充分大后面”即
5、(N项以后)各项是否满足不等式 |an-A|即可,12,因不等式 |an-A| N)可改写成 A- N), 则,几何意义,若把 an 看成数轴上的点, 在数轴上任意取定A的 邻域, aN 以后的所有点都落在 A 的 邻域内., ,A+,A,A,13,(2) 若把 (n,an) 看成平面上的点, 在平面上取两直线y=A 和 y=A+; 当n N时, 所有点 (n,an)都落在两直线所形成的带形区域内.如图,A,A+,A,N,n,o,14,(a) 由 |an-A| f () , 取 N = f () ; (b) N 不唯一. 求 N 可采用放大不等式.,例2 用数列极限定义证明,注：用 “N” 定义证明数列极限需注意:,15,16,性质 (1). 收敛 数列的极限唯一.(反证法证明)(2). 收敛数列必有界.(留作习题),
