1、1前 n 个正整数的平方和公式的推导已知，(n+1)3=n3+3n2+3n+1所以 (n+1)3-n3=3n2+3n+1依次有 n3-(n-1)3=3(n-1)2+3(n-1)+1(n-1)3-(n-2)3=3(n-2)2+3(n-2)+1(n-2)3-(n-3)3=3(n-3)2+3(n-3)+133-23=3*22+3*2+123-13=3*12+3*1+1以上的 n 个等式的两边分别相加得到：(n+3)3-1=3(12+22+32+n2)+3(1+2+3+n)+(1+1+1)所以(n+1)3-1=3(12+22+n2)+3n(n+1)/2+n因此 12+22+32+n2=(n3+3n2+
2、3n)-3n(n+1)/2-n/3=(2n3+3n2+n)/6=n(n+1)(2n+1)/6平 方 和 公 式 n(n+1)(2n+1)/6 即 12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/6 (注 ： n2=n 的 平 方 ) 编 辑 本 段 证 明 方 法证 法 一（ 归 纳 猜 想 法 ） ： 1、 N=1 时 ， 1=1（ 1+1） （ 21+1） /6=1 2、 N=2 时 ， 1+4=2（ 2+1） （ 22+1） /6=5 3、 设 N=x 时 ， 公 式 成 立 ， 即 1+4+9+x2=x(x+1)(2x+1)/6 则 当 N=x+1 时 ， 1+4+9+x2+（ x+
3、1） 2=x(x+1)(2x+1)/6+（ x+1） 2 =（ x+1） 2（ x2） +x+6（ x+1） /6 =（ x+1） 2（ x2） +7x+6/6 =（ x+1） （ 2x+3） （ x+2） /6 =（ x+1） （ x+1） +12（ x+1） +1/6 也 满 足 公 式 4、 综 上 所 述 ， 平 方 和 公 式 12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/6 成 立 ，得 证 。 证 法 二2(利 用 恒 等 式 (n+1)3=n3+3n2+3n+1） ： (n+1)3-n3=3n2+3n+1, n3-(n-1)3=3(n-1)2+3(n-1)+1 33-23=3*(22)+3*2+1 23-13=3*(12)+3*1+1. 把 这 n 个 等 式 两 端 分 别 相 加 ， 得 ： (n+1)3-1=3(12+22+32+n2)+3(1+2+3+.+n)+n, 由 于 1+2+3+.+n=(n+1)n/2, 代 入 上 式 得 ： n3+3n2+3n=3(12+22+32+n2)+3(n+1)n/2+n 整 理 后 得 ： 12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/6 a2+b2=a(a+b)-b(a-b) 证 法 三（ 见 下 图 ） ： 证 法 四（ 排 列 组 合 法 ， 见 下 图 ） ： 3
