平方和与立方和公式推导

1、专题平方和数列及立方和数列的前 n 项和的求解与证明参考公式 322abab立 方 和 公 式 ： 立 方 差 公 式 ：平方和数列的前 n 项求和证明 221136n证明： 22131nn33213nn321301把以上 n 个式子相加可。

2、自然数的平方和公式的推导方法总结自然数的平方和就是 ，它的结果是22213n ()N。对于这一结论的推导，方法多种多样，现将我所知道的方法1()26n一一总结如下，与大家共享。方法一：设数列 ，其中 ，则na221nn的一阶差数列记为 ，其中 ，首项为 ；na11()a14a的二阶差数列记为 ，其中2n，首项为 ；21()(1)nn215的三阶差数列记为 ，其中a3na，首项为 ；321(5)(2)nn 312a于是我们可知数列 为三阶等差数列。于是我们应用下面方法求可求出数列n的通项。na22221131()()()naa=5+ =5+2+2+2=32n 5nC(2)亦知当 时亦有 ，n15C故有 21*5,aN111232()()()n。

3、自然数平方和公式的推导与证明 新课标12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。 设：S=1 2+22+32+n2另设：S 1=12+22+32+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+(n+n)2，此步设题是解题的关键，一般人不会这么去设想。有了此步设题，第一：S1=12+22+32+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+(n+n)2中的12+22+32+n2=S，(n+1) 2+(n+2)2+(n+3)2+(n+n)2可以展开为(n 2+2n+12)+( n2+22n+22) +( n2+23n+32)+( n2+2nn+n2)=n3+2n(1+2+3+n)+ 12+22+32。

4、0051-平方和与立方和问题描述 给定一段连续的整数，求出他们中所有偶数的平方和以及所有奇数的立方和。输入 输入数据为一行，由两个整数 m 和 n 组成。两个整数之间有一个空格。输出 输出为一行，应包括两个整数 x 和 y，分别表示该段连续的整数中所有偶数的平方和以及所有奇数的立方和。你可以认为 32 位整数足以保存结果。最后加一个换行符号。输入样列 1 3输出样例 4 28答案：#include#includeint main()int a,b,i,m,n;m=0;n=0;scanf(“%d %d“,for(i=a;i=b;i+)if(i%2=0)m=m+i*i;elsen=n+i*i*i;printf(“%d %dn“,m,n);return 0;LDD。

5、自然数之和公式的推导法计算 1，2，3，n，的前 n 项的和：由 1 + 2 + + n-1 + nn + n-1 + + 2 + 1 （n+1）+（n+1）+ +（n+1）+（n+1）可知上面这种加法叫“倒序相加法”等差数列求和公式的推导一般地，称 为数列 的前 n 项的和，用 表示，即1、 思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。我们用两种方法表示 ：由+，得 由此得到等差数列 的前 n 项和的公式对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前 n 项和了。2、 除此之外，等差数列还有其。

6、1前 n 个正整数的平方和公式的推导已知，(n+1)3=n3+3n2+3n+1所以 (n+1)3-n3=3n2+3n+1依次有 n3-(n-1)3=3(n-1)2+3(n-1)+1(n-1)3-(n-2)3=3(n-2)2+3(n-2)+1(n-2)3-(n-3)3=3(n-3)2+3(n-3)+133-23=3*22+3*2+123-13=3*12+3*1+1以上的 n 个等式的两边分别相加得到：(n+3)3-1=3(12+22+32+n2)+3(1+2+3+n)+(1+1+1)所以(n+1)3-1=3(12+22+n2)+3n(n+1)/2+n因此 12+22+32+n2=(n3+3n2+3n)-3n(n+1)/2-n/3=(2n3+3n2+n)/6=n(n+1)(2n+1)/6平 方 和 公 式 n(n+1)(2n+1)/6 即 12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/6 (注 ： n2=n 的 平 方 ) 编 辑 本 段 。

7、 浙江宁波外国语试验学校就读初一的外甥回家过春节，大年初二作寒假作业的时候被 12+22+32+n2=？这道题难住了，拿来问全家人，包括他自己在雅戈尔西服厂任正、副老总的父母和岳母全家一大堆老、少大学生、硕士、博士思考了一下午都没有结论，碰上后来赶到的我，思考了近两个小时，才得出推导正确过程。想必此题具有一定的代表性，而且有了该公式推导，可以得到奇数自然数平方和、偶数自然数平方和、自然数立方和、奇数自然数立方和、偶数自然数立方和公式的推导，特写出来供大家参考。12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归。

8、12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n3-(n-1)3=1*n2+(n-1)2+n(n-1) =n2+(n-1)2+n2-n =2*n2+(n-1)2-n 23-13=2*22+12-2 33-23=2*32+22-3 43-33=2*42+32-4 n3-(n-1)3=2*n2+(n-1)2-n 各等式全相加 n3-13=2*(22+32+.+n2)+12+22+.+(n-1)2-(2+3+4+.+n) n3-1=2*(12+22+32+.+n2)-2+ 12+22+.+(n-1)2+n2-n2-(2+3+4+.+n) n3-1=3*(12+22+32+.+n2)-2-n2-(1+2+3+.+n)+1 n3-1=3(12+22+.+n2)-1-n2-n(n+1)/2 3(12+22+.+n2)=n3+n2+n(n+1)/2=(n/2)(2n2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 12+2。