1、 浙江宁波外国语试验学校就读初一的外甥回家过春节，大年初二作寒假作业的时候被 12+22+32+n2=？这道题难住了，拿来问全家人，包括他自己在雅戈尔西服厂任正、副老总的父母和岳母全家一大堆老、少大学生、硕士、博士思考了一下午都没有结论，碰上后来赶到的我，思考了近两个小时，才得出推导正确过程。想必此题具有一定的代表性，而且有了该公式推导，可以得到奇数自然数平方和、偶数自然数平方和、自然数立方和、奇数自然数立方和、偶数自然数立方和公式的推导，特写出来供大家参考。12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。其实，该求和公
2、式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。设：S=1 2+22+32+n2另设：S 1=12+22+32+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+(n+n)2，此步设题是解题的关键，一般人不会这么去设想。有了此步设题，第一：S 1=12+22+32+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+(n+n)2中的 12+22+32+n2=S，(n+1) 2+(n+2)2+(n+3)2+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+( n2+22n+22) +( n2+23n+32)+( n2+2nn+n2)=n3+2n(1+2+3+n)+ 12+22+32+n2，即S1=2S+n3+
3、2n(1+2+3+n)(1)第二：S 1=12+22+32+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+(n+n)2可以写为：S1=12+32+52+ (2n-1)2+22+42+62+(2n)2，其中：22+42+62+(2n)2=22(12+22+32+n2)=4S(2)12+32+52+(2n-1)2=(21-1)2+(22-1)2+(23-1) 2+ (2n-1) 2= (2212-221+1) +(2222-222+1)2+(2232-223+1)2+ (22n2-22n+1)2=2212+2222+2232+22n2-221-222-223-22n+n=22(12+22+32+
4、n2)-22 (1+2+3+n)+n=4S-4(1+2+3+n)+n(3)由(2)+ (3)得：S 1=8S-4(1+2+3+n)+n(4)由(1)与(4)得：2S+ n 3+2n(1+2+3+n) =8S-4(1+2+3+n)+n即：6S= n 3+2n(1+2+3+n)+ 4(1+2+3+n)-n= nn2+n(1+n)+2(1+n)-1= n(2n2+3n+1)= n(n+1)(2n+1)S= n(n+1)(2n+1)/ 6亦即：S=1 2+22+32+n2= n(n+1)(2n+1)/6(5)以上可得各自然数平方和公式为 n(n+1)(2n+1)/6，其中 n 为最后一位自然数。由(5)代入(2)得自然数偶数平方和公式为 2n(n+1)(2n+1)/3，其中 2n 为最后一位自然数。由(5)代入(3)得自然数奇数平方和公式为 n(2n-1)(2n+1)/3，其中 2n-1 为最后一位自然数。
