1、自然数之和公式的推导法计算 1，2，3，n，的前 n 项的和：由 1 + 2 + + n-1 + nn + n-1 + + 2 + 1 （n+1）+（n+1）+ +（n+1）+（n+1）可知上面这种加法叫“倒序相加法”等差数列求和公式的推导一般地，称 为数列 的前 n 项的和，用 表示，即1、 思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。我们用两种方法表示 ：由+，得 由此得到等差数列 的前 n 项和的公式对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前 n 项和了。2、 除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学
2、生要介绍）当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。例如：=这两个公式是可以相互转化的。把 代入 中，就可以得到引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第 k 项与倒数第 k 项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前 n 项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于 n 的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道 和n，不同点是第一个公式还需知道 ，而第二个公式是要知道 d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。自然数平方和公式的推导与证明（一）12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/6
3、，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。 一、 设：S=1 2+22+32+n2另设：S 1=12+22+32+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+(n+n)2，此步设题是解题的关键，一般人不会这么去设想。有了此步设题，第一：S 1=12+22+32+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+(n+n)2中的12+22+32+n2=S，(n+1) 2+(n+2)2+(n+3)2+(n+n)2可以展开为(n 2+2n+12)+( n2+22n+22) +( n2+23n+32)+( n2+
4、2nn+n2)=n3+2n(1+2+3+n)+ 12+22+32+n2，即S1=2S+n3+2n(1+2+3+n)(1)第二：S 1=12+22+32+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+(n+n)2可以写为：S1=12+32+52+ (2n-1)2+22+42+62+(2n)2，其中：22+42+62+(2n)2=22(12+22+32+n2)=4S(2)12+32+52+(2n-1)2=(21-1)2+(22-1)2+(23-1) 2+ (2n-1) 2= (2212-221+1) +(2222-222+1)2+(2232-223+1)2+ (22n2-22n+1)2=2212
5、+2222+2232+22n2-221-222-223-22n+n=22(12+22+32+n2)-22 (1+2+3+n)+n=4S-4(1+2+3+n)+n(3)由(2)+ (3)得：S 1=8S-4(1+2+3+n)+n(4)由(1)与(4)得：2S+ n 3+2n(1+2+3+n) =8S-4(1+2+3+n)+n即：6S= n 3+2n(1+2+3+n)+ 4(1+2+3+n)-n= nn2+n(1+n)+2(1+n)-1= n(2n2+3n+1)= n(n+1)(2n+1)S= n(n+1)(2n+1)/ 6亦即：S=1 2+22+32+n2= n(n+1)(2n+1)/6(5)以
6、上可得各自然数平方和公式为 n(n+1)(2n+1)/6，其中 n 为最后一位自然数。由(5)代入(2)得自然数偶数平方和公式为 2n(n+1)(2n+1)/3，其中 2n 为最后一位自然数。由(5)代入(3)得自然数奇数平方和公式为 n(2n-1)(2n+1)/3，其中 2n-1 为最后一位自然数。二、由自然数平方和公式推导自然数立方和公式设 S=13+23+33+n3.(1)有 S=n3+(n-1)3+(n-2)3+13.(2)由(1)+ (2)得：2S=n 3+13+(n-1)3+23+(n-2)3+33+n3+13=(n+1)(n2-n+1)+(n+1)(n-1)2-2(n-1)+22
7、)+(n+1)(n-2)2-3(n-2)+32)+.+(n+1)(12-n(n-n+1)(n-n+1+ n2)即 2S=( n+1)2(12+22+32+n2)-n-2(n-1) -3(n-2)-n (n-n+1) .(3)由 12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/ 6 代入(2)得：2S=(n+1)2n(n+ 1)(2n+1)/6-n-2n-3n-nn+21+32+n(n-1)=(n+1)2n(n+1)(2n+1)/6-n(1+2+3+n)+(1+1)1+(2+1)2+(n-1+1)(n-1)=(n+1)2n(n+1)(2n+1)/6-n2 (1+n)/2+12+1+22+2+(
8、n-1)2+ (n-1)=(n+1)2n(n+1)(2n+1)/6-n2(1+n)/2+12+22+(n-1)2+1 +2+ (n-1) .(4)由 12+22+(n-1)2= n(n+1)(2n+1)/6-n 2，1+2+(n-1)=n(n-1)/2 代入(4)得：2S=(n+1)3n(n+1)(2n+1)/6-n2+n(n-1)/2=n2(n+1)2/2即 S=13+23+33+n3= n2(n+1)2/4结论：自然数的立方和公式为 n2(n+1)2/4，其中 n 为自然数。三、自然数偶数立方和公式推导设 S=23+43+63+(2n)3有 S=23(13+23+33+n3)=8n2(n+
9、1)2/4=2n2(n+1) 2结论：自然数偶数的立方和公式为 2n2(n+1)2，其中 2n 为最后一位自然偶数。四、自然数奇数立方和公式推导设 S=13+23+33+(2n) 3由自然数的立方和公式为 n2(n+1)2/4，其中 n 为自然数代入左边有 n2(2n+1)2=23+43+63+(2n) 3+13+33+53+(2n-1)3=2n2(n+1)2+13+33+53+(2n-1)3移项得：1 3+33+53+(2n-1)3 =n2(2n+1)2-2n2(n+1)2=n2(2n2-1)结论：自然数奇数的立方和公式为 n2(2n2-1)，其中 2n-1 为最后一位自然奇数，即 n 的取
10、值。自然数平方和公式的推导与证明（二）这里的自然数指的是不包含 0 的传统自然数。12+22+32+42+.n2=? （n2 表示 nnn 2为了好打字）一、推导1、直接推导：1+2+3+4+n=(1+n)*n/2+ +2+3+4+n=(2+n)*(n-1)/2+ +3+4+n=(3+n)*(n-2)/2+ +. . .(i+1)+n=(n+i+1)*(n-i)/2 (i=0,n-1)| |S = (2*n3+3*n2+n-2S)/4两边求一下得所求 S此法较为直观正规2、用其他的公式推导：容易证明 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 +.+ nx(n+1)=1/3xn(n+1)(n+
11、2)(数学归纳法易证，而左式可写成1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + nx(n+1)=(1x1 + 2x2 + . + nxn)+(1+2+.+n)于是1x1 + 2x2 + . + nxn=1/3xn(n+1)(n+2)-1/2xn(n+1)=1/6xn(n+1)(2n+1)3、二项式推导：23=13+3*12+3*1+133=23+3*22+3*2+143=33+3*32+3*3+1.(n+1)3=n3+3*n2+3n+1sum up both sides substract common terms:(n+1)3=3*b+3*(n+1)*n/2+n+1= solve for
12、bb=12+22+.+n2此法需要较强的基本功，属奥妙之作4、立方差公式推导（此法高中生都能看懂吧）5、用现成恒等式推导二、证明1、数学归纳法12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/6 当 n=1 时,显然成立. 设 n=k 时也成立,即: 12+22+32+k2=k(k+1)(2k+1)/6 那么当 n=k+1 时,等式的左边等于: 12+22+32+k2+(k+1)2 =k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)2 =(k+1)k(2k+1)/6+(k+1) =(k+1)2k2+k+6k+6/6 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6 而等式的右边等于:(当 n=k+1 时) (k
13、+1)(k+1+1)(2k+2+1)/6 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6 即当 n=k+1 时,等式左边等于等式的右边 所以对于一切 n,等式都成立 此法给初中和小学生讲是没法了，现在的教育之痛，用某小学老师的话来说，小学生的题是出给家长作的，呜，砖家当道啊，有没有满足他们拔苗助长嗜好的奥数方法呢2、图形法计算 122 23 24 2。根据平方的含义和乘法的含义，我们可以将这个算式改写：12=11=1、2 2=22=22、3 2=33=333、4 2=44=4444，则122 23 24 2=1223334444。把这 10 个加数排写在一个三角形内（图 1），计算这个算式的和，就是计
14、算这个三角形内所有数的和。（其实学生如果会算自然数 n 项和，下面的说明就可省了，不过想个个学生成高斯，结果个个搞死了，呵呵）我们对图 1 进行两次“复制”，得到两个和图 1 完全相同的三角形，把其中一个逆时针旋转 60得到图 2，另一个顺时针旋转 60得到图 3。先把图 2 和图 3 重合，得到图 4。图 4 中，重合的两个图形相对应位置的两个数相加，它们的和有什么规律呢？我们发现，从上往下看，第一行两个数的和是 8，第二行两个数的和都是 7，第三行两个数的和都是 6，第四行两个数的和都是 5。再把图 4 和图 1 重合，得到图 5。从 图中可以看出，每个圆圈中都有三个数，这三个数的和都是9，9=241。而 10=1234=(14)42。图 5 中所有数的和应是图 1中所 有数的和的 3 倍，所以图 1 中所有数的和=9103=（241）(14)423=4 (14)（241）1/6。即 12223242=4 (14)（241）1/6。观察这个算式，用同样的思考方法，我们可推出这样的结论：122 23 24 2n 2=n (1n)（2n1）1/6这个不是证明的过程对小学生来说算是证明吧。
