1、1圆锥曲线中（椭圆离心率）的基本范围问题1. 已知点 在椭圆 内， 是椭圆的两个焦点， 求P21xy12,F的范围. 12F F FP QF FPPQP 2FFa故 1222. 已知点 在椭圆 上， 是椭圆的两个焦点，P)0(12bayx12,F求点 位于何处时 最大？（焦点三角形两个基本关系？）12FP解：设 ，在 中， ，12F122214cosPcF因为 ，所以 ，12Pa2214aA即 ，而 ，所以 12cosbF2112PFacos的最小值是在 时取得（ 在 上是减函数） ，即点Pacos0,P 为椭圆短轴上的顶点.23. 已知椭圆 上， 是椭圆的两个焦点，若在)0(12bayx12
2、,F椭圆上存在点 使 ，求椭圆离心率的范围.P12F解法一： 解 ，由上题 ， 12221cos1bPFa所以 ， . 故 202cosba32e3,2e解法二：设 ，则 ， ，则0,Pxy10ax0PFaex； 在 中， ，210Fae12FP2214cosc即 ，因为 ，所以 ， ，2124b0ax24ba23，又 故 .3e0e3,124. 已知椭圆 的长轴两端点为 、 ，如果椭圆上)0(2bayx AB存在点 ，使 求椭圆离心率的范围。 Q,1ABtan3b1,365. 已知椭圆 上， 是椭圆的两个焦点，若在)0(12bayx12,F3椭圆上存在点 使 ，求椭圆离心率的范围.P124F
3、解法一：设 ，则 ， ，0,xy0aex20PFaex由 得 . 而 ，所以 ，故124F055353,5e解法二：由 及 21xyab2216xcyxcy即 220b及 即 xcy2220axcayc联立解得 ，余同上.5ae6. 已知椭圆 与 轴正向交于点 ，若这个椭圆上总)0(12byxxA存在点 ，使 （ 为原点） ，求离心率 的范围。PAO e cAOPPF FOA设 ，由 ，得 ，即 ：,Pxy0P,0xya.220a又因为 ，所以 ，21xyb220abx所以 分解因式，得 320ax4， 所以 或 220xabxaxa22bac因为 ，所以 ，即 所以 .P2c2c12e变式：
4、垂直关系改为 0061或7. 设双曲线 的右顶点 ， 轴上 有一点 ，21(,)xyabAx(,0)Qa若双曲线上存在点 ，使 ，则双 曲线的离心率的取值范围PAQ是 61,2解：以 AQ 为直径的圆与双曲线还有除 A 外的公共点，联立 、 ，联立解得 224axy21xyab此方程一根为 （对应点 A 的横坐标） ，22230b a由韦达定理另一根为 ，所以32xab22bca8. 已知点 F 是双曲线 的左焦点，点 E 是该双曲)0,(12y线的右顶点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率 的取值范围是（ ）ABEeA(1， ) B ； C D )2,1()21,()21,(5解：因为ABE 是等腰三角形，故只要 即可. 所以 ，0145FEA1AFE即 ，得 2bac2e另解：因为 ，考察结论考虑取 1时ABE 的形状，再根据 的变2ee化与双曲线的形状间的关联做出选择.9. 设点 是双曲线 与圆 在,Pxy21(0,)xyab22xyab第一象限的交点， 是双曲线的左、右焦点，且 12,F123PF，则双曲线的离心率为 1010. 过双曲线 的左焦点 ，作圆21(,)xyab(,0)Fc的切线，切点为 E，延长 FE 交曲线右支于点 P，若224，则双曲线的离心率为 ； 1OEFP 10221PFa，23PFa
