1、椭圆的离心率专题训练（带详细解析）一选择题（共29 小题）1（ 2015? 潍坊模拟）椭圆的左右焦点分别为F1， F2，若椭圆C上恰好有6 个不同的点P，使得F1F2P 为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）ABCD2（ 2015?表示焦点在河南模拟）在区间1 ，5 和 2 ，4 分别取一个数，记为x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）a，b，则方程ABCD3（ 2015? 湖北校级模拟）已知椭圆（ a b 0）上一点A 关于原点的对称点为点 B， F 为其右焦点，若AFBF，设 ABF=，且，则该椭圆离心率e 的取值范围为（）ABCD4（ 2015? 西安校级三模）斜率为的直线 l
2、与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）ABCD5（ 2015? 广西模拟）设椭圆C：=1（a b 0）的左、右焦点分别为F1、F2，P 是 C上的点， PF FF ， PF F =30，则 C 的离心率为（）21212ABCD6（ 2015? 绥化一模）已知椭圆， F1， F2 为其左、右焦点，P为椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，F1PF2 的重心为G，内心 I ，且有（其中 为实数），椭圆 C的离心率e=（）ABCD7（ 2015? 长沙模拟）已知F1（ c， 0），F2（ c，0）为椭圆的两个焦点， P 为椭圆上一点且，则此椭圆离心
3、率的取值范围是（）ABCD8（ 2015? 朝阳二模）椭圆+=1（ a b 0）的左、右焦点分别是F1， F2，过 F2 作倾斜角为 120的直线与椭圆的一个交点为M，若 MF1 垂直于 x 轴，则椭圆的离心率为（）AB 2C 2（ 2）D9（ 2015? 新余二模）椭圆 C的两个焦点分别是F1，F2，若 C上的点 P 满足，则椭圆 C 的离心率e 的取值范围是（）ABCD或10（ 2015? 怀化二模） 设 F1，F2 为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足F1PF2 =120，则椭圆的离心率的取值范围是（）ABCD11（ 2015? 南昌校级二模）设A1，A2 分别为椭圆=1（ a b0
4、）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A（ 0，）B（ 0，） CD12（ 2015? 宜宾县模拟）设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点 F1 的直线与椭圆C 交于点 M，N，若 |MF2|=|F 1F2 | ，且 |MF1|=4 ， |NF1 |=3 ，则椭圆 的离心率为（）ABCD13（ 2015? 高安市校级模拟）椭圆C：+=1（ a b 0）的左焦点为F，若 F 关于直线x+y=0 的对称点A 是椭圆 C上的点，则椭圆C的离心率为（）ABCD一 l14（ 2015? 宁城县三模）已知F1，F2 分别为椭圆+=1（ a b 0）的左、右焦点，P为椭圆上
5、一点，且PF2 垂直于 x 轴若 |F 1F2|=2|PF 2 | ，则该椭圆的离心率为（）ABCD15（ 2015? 郑州二模）已知椭圆（a b 0）的两焦点分别是F1 ，F2，过 F1 的直线交椭圆于P， Q两点，若 |PF2 |=|F 1F2| ，且 2|PF 1 |=3|QF 1| ，则椭圆的离心率为（）ABCD16（ 2015? 绍兴一模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1， F2，O为坐标原点，M为 y 轴正半轴上一点，直线MF2 交 C 于点 A，若 F1 AMF2 ，且 |MF2|=2|OA| ，则椭圆 C 的离心率为（）ABCD17（2015? 兰州模拟）已知椭圆C的中心为O
6、，两焦点为F1、F2，M是椭圆 C 上一点，且满足|=2|=2| ，则椭圆的离心率e=（）ABCD18（ 2015? 甘肃校级模拟）设F1，F2 分别是椭圆+=1（ a b 0）的左右焦点，若在直线 x=上存在点 P，使 PF1F2 为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（）A（ 0，） B（ 0，） C（，1） D（， 1）19（ 2015? 青羊区校级模拟）点F 为椭圆+=1（ a b0）的一个焦点，若椭圆上在点 A 使 AOF为正三角形，那么椭圆的离心率为（）ABCD 120（ 2015? 包头一模）已知椭圆C：=1（ a b 0）和圆 O： x2+y 2=b2，若 C 上存在点 M，
7、过点 M引圆 O的两条切线，切点分别为E， F，使得 MEF为正三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A ， 1）B ， 1） C ，1） D（ 1，21（ 2015? 甘肃一模）在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆+=1（a b 0）上的一点A为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与y 轴相交于B，C 两点，若 ABC 是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A（，） B （， 1）C（， 1） D（ 0，）22（ 2015? 杭州一模）设F1、 F2 为椭圆 C：+=1（a b 0）的左、右焦点，直线l过焦点 F2 且与椭圆交于A，B 两点，若 ABF1 构成以 A 为直角顶点的
8、等腰直角三角形，设椭圆离心率为e，则 e2=（）A 2B 3C 11 6D 9623（ 2015? 宜宾模拟）直线y=kx 与椭圆 C：+=1（a b 0）交于 A、 B 两点， F 为椭圆 C 的左焦点， 且?=0，若 ABF（ 0， ，则椭圆 C的离心率的取值范围是（）A（ 0， B （ 0， C ，D ，1）24（ 2015? 南宁三模）已知F1（ c， 0），F2（ c，0）为椭圆=1（ a b 0）的两个焦点，若椭圆上存在点A ， B（ 0，P 满足 C ?=2c2，则此椭圆离心率的取值范围是（，1） D ，）25（ 2015? 张掖模拟）已知F1（ c，0）， F2（c， 0）是椭
9、圆=1（ ab 0）的左右两个焦点， P 为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（ABCD）26（2015? 永州一模） 已知两定点A（ 1，0）和 B（1，0），动点 P（ x，y）在直线 l ：y=x+2上移动，椭圆C 以 A， B 为焦点且经过点P，则椭圆C 的离心率的最大值为（）ABCD27（ 2015? 山东校级模拟）过椭圆+=1（ a b 0）的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆于另一个点B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点的取值范围是（）A（ 0，）B（， 1）C（ 0，）D（， 1）F，若0 k，则椭圆的离心率28（2015? 鹰潭一模）已知椭圆C1：=1（ a
10、 b0）与圆 C2： x2 +y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过 P 作圆的切线PA，PB，切点为 A，B 使得 BPA=，则椭圆 C1 的离心率的取值范围是（）ABCD29（ 2015?江西校级二模）已知圆22222（ 0 r 2），动圆O1：（ x 2）+y =16和圆 O2： x +y =rM与圆 O1、圆 O2 都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1、e2（e1 e2），则 e1+2e2 的最小值是（）ABCD参考答案与试题解析一选择题（共29 小题）1（ 2015? 潍坊模拟）椭圆的左右焦点分别为F1， F2，若椭圆C上恰好有6 个不同的点P，使得F1F
11、2P 为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）ABCD考点 ：椭圆的简单性质专题 ：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：分等腰三角形F 1F2P 以F1F2 为底和以 F1F2 为一腰两种情况进行讨论，结合以椭圆焦点为圆心半径为 2c 的圆与椭圆位置关系的判断，建立关于 a、c 的不等式，解之即可得到椭圆 C 的离心率的取值范围解答：解：当点P 与短轴的顶点重合时，F1F2P 构成以F1F2 为底边的等腰三角形，此种情况有2 个满足条件的等腰F 1F2P；当F1 F2P 构成以 F1F2 为一腰的等腰三角形时，以 F2P 作为等腰三角形的底边为例，F1F2=F1P，点 P 在
12、以 F1 为圆心，半径为焦距 2c 的圆上因此，当以 F1 为圆心，半径为 2c 的圆与椭圆 C 有 2 交点时，存在 2 个满足条件的等腰F 1F2P，在F1F2P1 中， F1F2+PF1 PF2，即 2c+2c 2a 2c，由此得知3c a所以离心率e当 e=时，F1F2P 是等边三角形，与中的三角形重复，故e同理，当 F1P 为等腰三角形的底边时，在e且 e时也存在2 个满足条件的等腰F1F2P这样，总共有6 个不同的点P 使得F1 F2P 为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e（，）（， 1）点评：本题给出椭圆的焦点三角形中，共有6 个不同点P 使得F1F2P 为等腰三角形，求
13、椭圆离心率 e 的取值范围着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题2（ 2015? 河南模拟）在区间1 ，5 和 2 ，4 分别取一个数，记为a，b，则方程表示焦点在 x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）ABCD考点 ：椭圆的简单性质专题 ：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：表示焦点在 x 轴上且离心率小于的椭圆时，（a，b）点对应的平面图形的面积大小和区间 1 ，5 和 2 ，4 分别各取一个数（ a，b）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解解答：解：表示焦点在 x 轴上且离心率小于， a b 0， a2b它对应的平面区域如图中阴影部分
14、所示：则方程表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为P=，故选 B点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关3（ 2015? 湖北校级模拟）已知椭圆（ a b 0）上一点A 关于原点的对称点为点 B， F 为其右焦点，若AFBF，设 ABF=，且，则该椭圆离心率e 的取值范围为（）ABCD考点 ：椭圆的简单性质专题 ：三角函数的图像与性质；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：首先利用已知条件设出椭圆的左焦点，进一步根据垂直的条件得到长方形，所以：AB=NF，再根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a，由离
15、心率公式e=由的范围，进一步求出结论解答：解：已知椭圆（ a b 0）上一点A 关于原点的对称点为点B， F 为其右焦点，设左焦点为：N则：连接AF， AN， AF， BF所以：四边形AFNB为长方形根据椭圆的定义：|AF|+|AN|=2a ABF=，则： ANF=所以： 2a=2ccos+2csin 利用 e=所以：则：即：椭圆离心率e 的取值范围为故选： A点评：本题考查的知识点：椭圆的定义，三角函数关系式的恒等变换，利用定义域求三角函数的值域，离心率公式的应用，属于中档题型4（ 2015? 西安校级三模）斜率为的直线 l 与椭圆交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个
16、焦点，则该椭圆的离心率为（）ABCD考点 ：椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题专题 ：计算题分析：先根据题意表示出两个焦点的交点坐标，代入椭圆方程，两边乘2a2b2，求得关于的方程求得e解答：解：两个交点横坐标是c， c所以两个交点分别为（c，c）（ c，c）代入椭圆=122两边乘 2a b则 c2（ 2b2+a2） =2a2b2222b=a cc2（3a22c2 ）=2a4 2a2c2222a4 5a c +2c4=0（ 2a2 c2）（ a2 2c2） =0 =2，或0 e 1所以 e=故选 A点评：本题主要考查了椭圆的简单性质考查了椭圆方程中a，b 和c 的关系5（ 2015? 广
17、西模拟）设椭圆C：=1（a b 0）的左、右焦点分别为F1、F2，P 是 C上的点， PF FF ， PF F =30，则 C 的离心率为（）21212ABCD考点 ：椭圆的简单性质专题 ：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设 |PF 2|=x ，在直角三角形PF1F2 中，依题意可求得|PF 1| 与 |F 1 F2| ，利用椭圆离心率的性质即可求得答案解答：解：设 |PF 2|=x ， PF2F1F2， PF1F2 =30，|PF 1|=2x ，|F 1 F2|=x，又 |PF 1|+|PF 2|=2a ， |F 1F2 |=2c2a=3x， 2c=x，C的离心率为： e=故选 A点
18、评：本题考查椭圆的简单性质， 利用三角形边角关系求得 |PF 1| 与 |PF 2| 及|F 1 F2| 是关键， 考查理解与应用能力6（ 2015? 绥化一模）已知椭圆， F1， F2 为其左、右焦点，P为椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，F1PF2 的重心为G，内心 I ，且有（其中 为实数），椭圆 C的离心率e=（）ABCD考点 ：椭圆的简单性质专题 ：压轴题分析：在焦点F1PF2 中，设P（ x0，y0），由三角形重心坐标公式，可得重心G的纵坐标，因为，故内心 I 的纵坐标与G相同，最后利用三角形F1PF2 的面积等于被内心分割的三个小三角形的面积之和建立a、 b、 c 的等式，即可解
19、得离心率解答：解：设 P（ x0， y0），G 为F1 PF2 的重心，G点坐标为G（，）， IGx 轴，I的纵坐标为，在焦点F 1PF2 中， |PF 1|+|PF 2|=2a ， |F 1F2|=2c= ? |F 1F2| ? |y 0|又I 为F1PF2 的内心，I的纵坐标即为内切圆半径，内心 I 把F1PF2 分为三个底分别为F 1PF2 的三边，高为内切圆半径的小三角形= （ |PF 1|+|F 1F2|+|PF 2| ） |? |F 1F2| ? |y 0|=（|PF 1|+|F 1F2 |+|PF 2| ） |即2c ? |y 0|=（ 2a+2c） | ， 2c=a，椭圆 C
20、的离心率e=故选 A点评：本题考查了椭圆的标准方程和几何意义， 重心坐标公式， 三角形内心的意义及其应用，椭圆离心率的求法7（ 2015? 长沙模拟）已知F1（ c， 0），F2（ c，0）为椭圆的两个焦点， P 为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（）ABCD考点 ：椭圆的简单性质；向量在几何中的应用专题 ：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设 P（ m， n），由222把 P（ m， n ）代入椭圆得到得到 n =2c m222222，把代入得到m2的解析式，由222的范围b m+a n =a bm0及 ma 求得解答：解：设 P（ m， n ），222=（ c m， n） ? （ c
21、 m， n） =m c +n ，22=2c2222m+n，n=2c m把 P（ m， n）代入椭圆222222，得 b m+a n =a b把代入得22222，m=0，a b 2a cb 22c 2， a2 c2 2c2，22222又 m a，a，0，故 a 2c0，综上，故选： C点评：本题考查两个向量的数量积公式，以及椭圆的简单性质的应用，属于基础题8（ 2015? 朝阳二模）椭圆+=1（ a b 0）的左、右焦点分别是F1， F2，过 F2 作倾斜角为 120的直线与椭圆的一个交点为M，若 MF1 垂直于 x 轴，则椭圆的离心率为（）AB 2C 2（ 2） D考点 ：椭圆的简单性质专题
22、：计算题分析：如图， RtMF2 F1中， tan60 = ，建立关于a、 c 的方程，解方程求出的值解答：解：如图，在 RtMF1 F2 中， MF2 F1=60， F1F2=2cMF2=4c， MF1=2cMF1+MF2=4c+2c=2a ? e=2，故选 B点评：本题考查直角三角形中的边角关系，椭圆的简单性质，一元二次方程的解法9（ 2015? 新余二模）椭圆 C的两个焦点分别是 F1，F2，若 C上的点 P 满足，则椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是（）ABCD或考点 ：椭圆的简单性质专题 ：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆C 的离心率 e 的
23、计算公式即可得出解答：解：椭圆 C上的点 P 满足， |PF 1|=3c，由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=2a ， |PF 2 |=2a 3c利用三角形的三边的关系可得：2c+（ 2a 3c） 3c，3c+2c2a 3c，化为椭圆 C 的离心率e 的取值范围是故选： C点评：本题考查了椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆的离心率的计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题10（ 2015? 怀化二模） 设 F1，F2 为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足F1PF2 =120，则椭圆的离心率的取值范围是（）ABCD考点 ：椭圆的简单性质专题 ：计算题分
24、析：先根据椭圆定义可知|PF 1|+|PF 2|=2a ，再利用余弦定理化简整理得cosPF1 F2= 1，进而根据均值不等式确定 |PF 1|PF 2| 的范围， 进而确定 cosPF1F2 的最小值，求得a 和 b 的关系，进而求得a 和 c 的关系，确定椭圆离心率的取值范围解答：1211），解： F （ c，0）， F （ c，0）， c 0，设 P（ x， y则 |PF 1|=a+ex 1， |PF2 |=a ex 1在 PF1F2 中，由余弦定理得cos120= =，2解得 x1 =2222221x1（ 0， a ， 0 a ，即 4c 3a0且 e e= 故椭圆离心率的取范围是e
25、故选 A点评：本题主要考查了椭圆的应用 当 P 点在短轴的端点时F 1 PF2 值最大， 这个结论可以记住它在做选择题和填空题的时候直接拿来解决这一类的问题11（ 2015? 南昌校级二模）设A1，A2 分别为椭圆=1（ a b0）的左、右顶点，若在椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A（ 0，）B（ 0，） CD考点 ：椭圆的简单性质专题 ：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据题意设P（asin ， bcos），所以根据条件可得到，b2 换上 a2c2 从而可得到，再根据 a，c 0，即可解出离心率的取值范围解答：解：设 P（asin ， bcos） ， A1（ a， 0）
26、， A2（ a， 0）；，；， a， c 0；解得；该椭圆的离心率的范围是（）故选： C点评：考查椭圆的标准方程，椭圆的顶点的定义，顶点的坐标，由点的坐标求直线的斜率，以及 b2=a2 c2，椭圆斜率的概念及计算公式，设出P 点坐标是求解本题的关键12（ 2015? 宜宾县模拟）设椭圆C的两个焦点为F1、F2，过点 F1 的直线与椭圆N，若 |MF2|=|F 1F2 | ，且 |MF1|=4 ， |NF1 |=3 ，则椭圆 的离心率为（）C 交于点M，ABCD考点 ：椭圆的简单性质专题 ：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设椭（ a b 0），运用椭圆的定义，可得|NF 2|=2a |N
27、F 1|=2a 3，|MF2|+|MF 1|=2a ，即有 2c+4=2a，取 MF1 的中点 K，连接 KF2，则 KF2 MN，由勾股定理可得 a+c=12，解得 a， c，运用离心率公式计算即可得到解答：解：设椭圆（ ab 0），F1（ c， 0）， F2 （c， 0），|MF2|=|F 1F2|=2c ，由椭圆的定义可得|NF2|=2a |NF1|=2a 3，|MF2|+|MF 1|=2a ，即有 2c+4=2a，即 a c=2，取 MF 的中点 K，连接 KF ，则 KF MN，122由勾股定理可得|MF2 | 2 |MK| 2=|NF2 | 2 |NK| 2，22即为 4c 4=（
28、 2a 3） 25，化简即为a+c=12，则离心率e=故选： D点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用和离心率的求法，考查运算能力，属于中档题13（ 2015? 高安市校级模拟）椭圆C：+=1（ a b 0）的左焦点为F，若 F 关于直线x+y=0 的对称点A 是椭圆 C上的点，则椭圆C的离心率为（）ABCD一 l考点 ：椭圆的简单性质专题 ：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出 F（ c， 0）关于直线x+y=0 的对称点A 的坐标，代入椭圆方程可得离心率解答：解：设 F（ c，0）关于直线x+y=0 的对称点A（ m，n），则，m= ， n=c，代入椭圆方程
29、可得，42化简可得e 8e +4=0，故选： D点评：本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力14（ 2015? 宁城县三模）已知F1，F2 分别为椭圆+=1（ a b 0）的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF2 垂直于 x 轴若 |F 1F2|=2|PF2 | ，则该椭圆的离心率为（）ABCD考点 ：椭圆的简单性质专题 ：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：12122e设 F （ c，0）， F （ c， 0），（ c 0），通过|FF |=2|PF| ，求出椭圆的离心率解答：解： F1， F2 分别为椭圆+ =1（ a b 0）的左、右焦点，设 F1（ c，0）， F2（ c
30、， 0），（ c 0），P 为椭圆上一点，且PF2 垂直于 x 轴若 |F 1F2|=2|PF 2| ，可得 2c=22222，即 ac=b =a c可得 e +e 1=0解得 e=故选： D点评：本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意通径的求法15（ 2015? 郑州二模）已知椭圆（a b 0）的两焦点分别是F1 ，F2，过 F1 的直线交椭圆于P， Q两点，若 |PF2 |=|F 1F2| ，且 2|PF 1 |=3|QF 1| ，则椭圆的离心率为（）ABCD考椭圆的简单性质点：专计算题；作图题；圆锥曲线中的最值与范围问题题：分由题意作图，从而设设点Q（ x0， y0
31、），从而由 2|PF 1|=3|QF 1| 可写出点 P（ c x0，析： y0）；再由椭圆的第二定义可得|PF 1 |= |MP| ， |QF1|=|QA| ，从而可得 3（ x0+）=2（cx0+），从而化简得到x0=，再由 |PF 2|=|F 1F2| 及椭圆的第二定22义可得 3a +5c 8ac=0 ，从而解得答：l 1， l 2 是椭圆的准线，设点Q（ x0 ，y0 ）， 2|PF 1|=3|QF 1| ，点 P（cx0，y0）；又 |PF 1 |=|MP| ， |QF1|=|QA| ， 2|MP|=3|QA| ，又 |MP|=cx0+，|QA|=x0+，3（ x0+） =2（cx0+），解得，x0 =， |PF 2 |=|F 1F2| ，（c+x0+）=2c；将 x0=代入化简可得，3a2+5c2 8ac=0 ，即 5 8 +3=0；解得，=1（舍去）或=；故选： A点本题考查了椭圆的性质应用及数形结合的思想应用，属于中档题评
