1、椭圆离心率的解法椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范围的处理，同学们很茫然，没有方向性。题型变化很多，难以驾驭。以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。一、 运用几何图形中线段的几何意义。基础题目：如图，O 为椭圆的中心，F 为焦点，A 为顶点，准线 L交 OA 于 B，P、Q 在椭圆上，PDL 于 D，QFAD 于 F,设椭圆的离心率为 e，则e= e= e= e= PF PD QF BF AO BO AF BAe= FO AODB F OBBBAPQ评：AQP 为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，。AO=a,OF=c,有；AO=a,BO= a2c有。题目 1：
2、椭圆 + =1(ab 0)的两焦点为 F1 、F 2 ，以x2a2 y2b2F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率 e？BAF2F1思路：A 点在椭圆外，找 a、b、c 的关系应借助椭圆，所以取 AF2 的中点 B，连接 BF1 ,把已知条件放在椭圆内，构造F 1BF2分析三角形的各边长及关系。解：F 1F2=2c BF 1=c BF 2= c3c+ c=2a e= = -1 3ca 3变形 1：椭圆 + =1(ab 0)的两焦点为 F1 、F 2 ，点 Px2a2 y2b2在椭圆上，使OPF 1 为正三角形，求椭圆离心率？ OOOOOOOOOOOOOOOOOOO
3、PF1F2 F2F22解：连接 PF2 ,则OF 2=OF 1=OP,F 1PF2 =90图形如上图，e= -1 3变形 2: 椭圆 + =1(ab 0)的两焦点为 F1 、F 2 ，AB 为x2a2 y2b2椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且 PF1 X 轴，PF 2 AB,求椭圆离心率？ BAF2F1PO解：PF 1= F 2 F1=2c OB=b OA=ab2aPF2 AB = 又 b= PF1 F2 F1 ba a2-c2a 2=5c2 e=点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关 a 与 c 的 方程式，推导离心率。二、运用正余弦定理解决图形中的三角形题目 2
4、：椭圆 + =1(ab 0)，A 是左顶点，F 是右焦点，x2a2 y2b2B 是短轴的一个顶点，ABF=90，求 e?FBA O解：AO=a OF=c BF=a AB= a2+b2a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 e2+e-1=0 e= e= (舍去)变形：椭圆 + =1(ab 0)，e= , A 是左顶点，F 是x2a2 y2b2右焦点，B 是短轴的一个顶点，求ABF？点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90引申：此类 e= 的椭圆为优美椭圆。性质：1、ABF=902、假设下端点为
5、B1 ,则 ABFB1 四点共圆。3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关 e 的方程式。题目 3：椭圆 + =1(ab 0)，过左焦点 F1 且倾斜角为x2a2 y2b260的直线交椭圆与 AB 两点，若F 1A=2BF 1,求 e?解：设BF 1=m 则AF 2=2a-am BF 2=2a-m在AF 1F2 及BF 1F2 中，由余弦定理得：两式相除 = e=a2 c2=m(2a-c)2(a2-c2)=m(2a+c) ： 2a-c2a+c 1223题目 4：椭圆 + =1(ab 0)的两焦点为
6、F1 （-c，0） 、x2a2 y2b2F2 (c,0)，P 是以F 1F2为直径的圆与椭圆的一个交点，且PF 1F2 =5PF 2F1 ,求 e?分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。解：由正弦定理： = = F1F2sin F1PF2 F1Psin F1F2P PF2sin PF1F2根据和比性质：= F1F2sin F1PF2 F1P + PF2sinF1F2P+sin PF1F2变形得： F1F2 PF2 + F1P= = sin F1PF2sin F1F2P +sin PF1F2= =e2c2aPF 1F2 =75PF 2F1 =15 e= =sin90sin75+sin15点
7、评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知e=sin F1PF2sin F1F2P +sin PF1F2变形 1：椭圆 + =1(ab 0)的两焦点为 F1 （-c，0） 、x2a2 y2b2F2 (c,0)，P 是椭圆上一点，且F 1PF2 =60，求 e 的取值范围？分析：上题公式直接应用。解：设F 1F2P=，则F 2F1P=120-e= = =sin F1PF2sin F1F2P +sin PF1F2 sin60sin +sin(120- ) e0) F1F2 为椭圆两焦点，x24 y24t2M 为椭圆上任意一点（M 不与长轴两端点重合）设PF 1F2 =,PF 2F1 = 若 b
8、 0)，斜率为 1，且过椭圆右焦x2a2 y2b2点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点， + 与 =(3,-1)共线， OAOA OBOB aa求 e?B(X2,Y2)A(X1,Y1)O法一：设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)b2x2+a2y2=a2b2y=x-c )(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0 x1+x2= y1+y2= -2c=2a2ca2+b2 2a2ca2+b2 -2b2ca2+b2+ =(x1+x2,y1+y2)与（3，-1）共线，则 OAOA OBOB -（x 1+x2）=3(y 1+y2)既 a 2=3b2 e= 法二：设 AB 的中点 N，则 2
9、 = + ONON OAOA OBOB - 得：=- 1=- (-3) 既 a2=3b2 y1-y2x1-x2 b2a2x1 +x2y1+y2 b2a2e=四、 由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。题目 6：椭圆 + =1(ab 0)的两焦点为 F1 （-c，0） 、x2a2 y2b2F2 (c,0)，满足 1 2 =0 的点 M 总在椭圆内部，则 e MFMF MFMF 的取值范围？F2MF1 O分析： 1 2 =0以 F1F2 为直径作圆，M 在圆 O 上， MFMF MFMF 与椭圆没有交点。解：c2c2 0b 0)的两焦点为 F1 （-c，0） 、x2a2 y2b2F2 (c,
10、0)，P 为右准线 L 上一点，F 1P 的垂直平分线恰过 F2 点，求 e 的取值范围？MPF2F1 O分析：思路 1,如图 F1P 与 F 2M 垂直，根据向量垂直，找a、b、c 的不等关系。思路 2：根据图形中的边长之间的不等关系，求 e解法一：F 1 （-c，0） F 2 (c,0) P( ,y0 ) M( , )a2c y02既( , ) 则 1 =-( +c, y0 ) b22c y02 PFPF a2c2 =-( -c, ) 1 2 =0 MFMF b22c y02 PFPF MFMF ( +c, y0 ) ( -c, )=0a2c b22c y02( +c)( -c)+ =0a2c b22c y022a2-3c20 e1解法 2：F 1F2=PF 2=2cPF 2 -c 则 2c -c 3ca2c a2c a2c3c2a 2 则 e1总结：对比两种方法，不难看出法一具有代表性，可谓通法，而法二是运用了垂直平分线的几何性质，巧妙的运用三角形边的大小求解的妙法。所以垂直平分线这个条件经常在解析几何中出现，对于它的应用方法，值得大家注意。离心率为高考的一个重点题目，多以选择题或解答题的第一问形式出现，望大家经过此系列题目能对它有一些认识和掌握。
