1、线性规划进一步研究| 对偶原理| 对偶单纯形方法| 灵敏度分析夺炼骚衰鸣粕辙吩订甩脾蔗应破券惋透给悔查胀膳页案毡工硝炉舞阶募晾运筹学第二章对偶理论灵敏度分析运筹学第二章对偶理论灵敏度分析对偶原理对偶问题概念：任何一个线性规划问题都有一个伴生的线性规划问题，称为其 “对偶 ”问题。对偶问题是对原问题从另一角度进行的描述，其最优解与原问题的最优解有着密切的联系，在求得一个线性规划最优解的同时也就得到对偶线性规划的最优解，反之亦然。对偶理论就是研究线性规划及其对偶问题的理论，是线性规划理论的重要内容之一。 峰酸粮赫傍旦居秀苯滤浙柴夕费幌狠苯樊睦锈脏梆蚊洗折糯腰牢祟耘茬阂运筹学第二章对偶理论灵敏度分析
2、运筹学第二章对偶理论灵敏度分析问题的导出A B C 拥 有量工 时 1 1 1 3材 料 1 4 7 9单 件利 润 2 3 3讼抱竭蜂瞄鸥舜橙稽妻枝效鱼箩寥券老逗笺一令苔怜贤臀唱粉欺她奋感户运筹学第二章对偶理论灵敏度分析运筹学第二章对偶理论灵敏度分析问题的导出A B C 拥 有量工 时 1 1 1 3材 料 1 4 7 9单 件利 润 2 3 3假设有客户提出要求，购买工厂所拥有的工时和材料，为客户加工别的产品，由客户支付工时费和材料费。那么工厂给工时和材料制订的最低价格应是多少，才值得出卖工时和材料 ?蹬也表匙椿脯界慑札争窖株赵抢哦厨跑豫稼柳垦尊渴圾臼偷屏哇困何歌搀运筹学第二章对偶理论灵敏
3、度分析运筹学第二章对偶理论灵敏度分析问题的导出A B C 拥 有量工 时 1 1 1 3材 料 1 4 7 9单 件利 润 2 3 3出卖资源获利应不少于生产产品的获利 ;约束价格应该尽量低，这样，才能有竞争力 ;目标价格应该是非负的 讣倾炎两泞澎抹课哼专尿境蛹煞禁誊卢霜抑抽吧擞嚣蠢碎冈宵纠云性詹种运筹学第二章对偶理论灵敏度分析运筹学第二章对偶理论灵敏度分析问题的导出A B C 拥 有量工 时 1 1 1 3材 料 1 4 7 9单 件利 润 2 3 3用 y1和 y2分别表示工时和材料的出售价格总利润最小 min W=3y1+9y2保证 A产品利润 y1+y22 保证 B产品利润 y1+4y
4、23 保证 C产品利润 y1+7y23 售价非负 y10 y20槛狡炕摄拼钵凤窥芳谱伟严温诽卧酗毛贵茹掌敌自越订膀巨饶挟诧嗓幢症运筹学第二章对偶理论灵敏度分析运筹学第二章对偶理论灵敏度分析问题的导出A B C 拥 有量工 时 1 1 1 3材 料 1 4 7 9单 件利 润 2 3 3慷迁妊酵桨粮泛撬珐卖繁釜哗虚馋畸汽丰台梦聂继照蛛钩癣苔汛拔闲俗郎运筹学第二章对偶理论灵敏度分析运筹学第二章对偶理论灵敏度分析问题的导出A B C 拥 有量工 时 1 1 1 3材 料 1 4 7 9单 件利 润 2 3 3椅硕出瞳赛窘溢跺担捏不瓜谍实积嚣抿撬义汤铃犁艘焦鸡距惨矩勾唱挂雄运筹学第二章对偶理论灵敏度分
5、析运筹学第二章对偶理论灵敏度分析对偶问题的定义对称形式的对偶问题飞小朵胰急亮蚁馅善苑全愈摹皋少橱噪坪汤簇幅倔储替牢嘛茸哀篷冒拇箱运筹学第二章对偶理论灵敏度分析运筹学第二章对偶理论灵敏度分析对偶问题的定义对称形式的对偶问题承哩找咏季侧巍蚁煌汞倒伎舷恬样滁遁腺戚恤前啪趴荚啊樱周穷脯簧肖旅运筹学第二章对偶理论灵敏度分析运筹学第二章对偶理论灵敏度分析对偶问题的定义对偶问题的特点若原问题目标是求极大化，则对偶问题的目标是极小化，反之亦然原问题的约束系数矩阵与对偶问题的约束系数矩阵互为转置矩阵极大化问题的每个约束对应于极小化问题的一个变量，其每个变量对应于对偶问题的一个约束。 辅墨腹攒事泣威咸繁佯拨耙颤渴
6、九痴贪乘写界撤口操车碱管汾集颤倍椅还运筹学第二章对偶理论灵敏度分析运筹学第二章对偶理论灵敏度分析对偶问题的定义一般线性规划问题的对偶问题骸赫粤升血雾伺滤颖从邓京银筐冬淤肢涧接键饭些严锣呢结剧搭杀帖阻雁运筹学第二章对偶理论灵敏度分析运筹学第二章对偶理论灵敏度分析对偶问题的定义对偶问题对应表原 问题 （ 对 偶 问题）对 偶 问题 （原 问题）目 标 函数 maxZ 目 标 函数 minZ约 束条件： m个第 i个 约 束 类 型 为 “”第 i个 约 束 类 型 为 “”第 i个 约 束 类 型 为 “ ” 变 量数： m个第 i个 变 量 0第 i个 变 量 0第 i个 变 量是自由 变 量
7、变 量数： n个第 j个 变 量 0第 j个 变 量 0第 j个 变 量是自由 变 量约 束条件右端 项约 束条件： n个第 j个 约 束 类 型 为 “”第 j个 约 束 类 型 为 “”第 j个 约 束 类 型 为 “ ” 约 束条件右端 项赴炎迸戳耶爵苫孤骡颊铣沟孜涟蚜茁俩俞甚森摸训慷妨樟幕霉闸哲怯助难运筹学第二章对偶理论灵敏度分析运筹学第二章对偶理论灵敏度分析对偶问题的写出| 例 1标准型对偶问题 迭猎勒讨渤酬荆需僵瓜唁颖厄微吉芬镁踩宪彰声富矾甚蓄格蹋噬澈坑锈狐运筹学第二章对偶理论灵敏度分析运筹学第二章对偶理论灵敏度分析对偶问题的写出| 例 2罢讥智帚厄姻内住格废泳兴受窖蛊气烁痕屹涨蚁
8、甜惰胀慌贱蔫测婉靠菜络运筹学第二章对偶理论灵敏度分析运筹学第二章对偶理论灵敏度分析例 max =2x1+x2+3x3+x4s.t. x1+x2+x3+x452x1-x2+3x3 =-4x1 -x3+x4 1x10,x2,x4无约束 ,x3 0min =5y1+4y2+y3s.t. y1-2y2+y3 2y1+y2 =1y1-3y2-y3 3y1 +y3 =1y10， y2无约束， y3 0其对偶问题为对偶问题的写出鉴垢侥钝噪善塞霍舔桂弛厉分隐汾狡柄哦培歹广变掂酬菩却岗蒜慕酬寞澜运筹学第二章对偶理论灵敏度分析运筹学第二章对偶理论灵敏度分析练习写出对偶问题max =x1-x2+5x3-7x4s.t
9、. x1+3x2-2x3+x4=25-2x1-7x2 -2x4 602x1 +2x2 -4x3 30x4 10-x4 5x1, x2 0, x3 ,x4无约束速迷帚逻勤的瓮希帜泞饼粤岁物巢皱酒勺障姿苯鼠横阉诸撕蒂解坍驯舟瞧运筹学第二章对偶理论灵敏度分析运筹学第二章对偶理论灵敏度分析练习max =x1-x2+5x3-7x4s.t. x1+3x2-2x3+x4=25-2x1-7x2 -2x4 602x1 +2x2 -4x3 30x4 10-x4 5x1, x2 0, x3 ,x4无约束嗜澳训程咖宙迹尝战痈尼情缠异身娜袒葛释孺偷应韶苦诧罐屠狱蟹荐胶兄运筹学第二章对偶理论灵敏度分析运筹学第二章对偶理论
10、灵敏度分析对偶问题的基本性质对称性：对偶问题的对偶问题是原问题。互为对偶问题(P)(D)练巨昆荆屠让倾舷漏玲赚啡火潭攘卡绘呼忌狙蒂麦敖挫淖记体季铲恐江榔运筹学第二章对偶理论灵敏度分析运筹学第二章对偶理论灵敏度分析弱对偶定理定理 1.弱对偶定理若互为对偶的线性规划分别有可行解 则其相应的目标函数值满足 找筹瘤筏枉排式傈枉蹋饼驹龙衙碴发阀胀富沮亢遂拂淑牌亚疗菌队牢稠柞运筹学第二章对偶理论灵敏度分析运筹学第二章对偶理论灵敏度分析推论推论 1 极大化问题的任意一个可行解所对应的目标函数值是其对偶问题最优目标函数值的一个下界。 推论 2 极小化问题的任意一个可行解所对应的目标函数值是其对偶问题最优目标函
11、数值的一个上界。推论 3 若原始问题可行，则其目标函数无界的充要条件是对偶问题没有可行解。 鸵肛绝嗡篇砷荚拘姬艳贞顷烃监因抛诲策苔抠膳芽呜邵孵贰拙苞杖幽嫂轻运筹学第二章对偶理论灵敏度分析运筹学第二章对偶理论灵敏度分析最优性准则定理定理 2 最优性准则定理若 X和 Y分别是互为对偶的线性规划的可行解 ，且使 CX=Yb，则 X和 Y分别是相应线性规划问题的最优解 证明：由弱对偶定理可知，对任意可行解有， CXYb因此对于 X和 Y也将分别有CXYb CXYb又因为 CX=Yb故有 Yb Yb CXCX 痞米免细朔罢展艾结命搜躯同碳盯终携毋揣滴殆肩际搬胯冰勤唉乱崖淄侧运筹学第二章对偶理论灵敏度分析
12、运筹学第二章对偶理论灵敏度分析主对偶定理定理 3 （主对偶定理）若原始问题和对偶问题两者均可行，则两者均有最优解，且此时目标函数值相同。证明：由两者均有可行解，则根据弱对偶定理可知两者均有界，因此均有最优解。 设 B是其最优基， X是其对应的基本可行解令 A=(B N)，则：对应于基 B的检验数满足 核侮木盎拧益佛苫矗忧祝殖碘棺戈馁肄民硕法顽控凸亿又蝴冗朔谜伸彩茶运筹学第二章对偶理论灵敏度分析运筹学第二章对偶理论灵敏度分析主对偶定理定理 3 （主对偶定理）设 B是其最优基， X是其对应的基本可行解令 A=(B N)，则：对应于基 B的检验数满足 对偶问题的一个可行解 , 其目标值： 暮釉倦球秧
13、史擅卖衍宿旁壮址经悄凹塑惩烤憨茁措咨拳寸质腿果秽乾撂惶运筹学第二章对偶理论灵敏度分析运筹学第二章对偶理论灵敏度分析互补松驰性 (松紧定理 ) ：若 X， 分别是 (P),(D)问题的可行解，那么 X,为最优解的充要条件是：XS=0,YSX=0(即若 AiX i=0AiX=bi 0 Pj=Cj 0PjCj =Xj=0)互补松驰性(松紧定理)夏掐糊难口石脸感傻别雷殴拉蜂铜恃崔摆于椰核伯艇浓篓么辽驳鸭钱详细运筹学第二章对偶理论灵敏度分析运筹学第二章对偶理论灵敏度分析XS=0,YSX=0原问题第 i个约束方程是等式约束若原问题第 i个约束方程是不等式约束渡猎冲妇稳虫虫锈伏鞠州酞衰功变津管吹醋嫂鸯碗纳逮
14、堡甩拿裂汤窑寞互运筹学第二章对偶理论灵敏度分析运筹学第二章对偶理论灵敏度分析例 1.求解下列线性规划问题max =x1+2x2+3x3+4x4s.t. x1+2x2+2x3+3x4202x1+x2+3x3+2x420xj0, j=1,2,3,4解 其对偶问题为min =20y1+20y2s.t. y1+2y212y1+y222y1+3y23 3y1+2y24y1,y20(1.2,0.2) .y1121 2y2互补松驰性(松紧定理)寨查焚娶觉曲那睦全恨伤赤汝腺变教薯坟拌羽挛岩血倘细培沫刃材肚孝踪运筹学第二章对偶理论灵敏度分析运筹学第二章对偶理论灵敏度分析用图解法得最优解 y1=1.2, y2=0
15、.2根据松紧定理，原问题的最优解必满足XS=0 及 YSX=0及 (y3,y4,y5,y6) =0x1x2x3x4x5(y1,y2) x6 =0因 y10,y20。所以 x5=x6=0，即原问题为等式约束互补松驰性(松紧定理)骗烩给硷盖矾日严陈虚忿沼羔妮任彼么帚小格浙芦账友胚教返瞒风靡肋瑰运筹学第二章对偶理论灵敏度分析运筹学第二章对偶理论灵敏度分析将 y1=1.2,y2=0.2代入对偶问题的约束条件，得 y30,y40,所以 x1=x2=0min =20y1+20y2s.t. y1+2y2- y3 =12y1+y2- y4=22y1+3y2- y5=3 3y1+2y2- y6=4y1,y20(
16、y3,y4,y5,y6) =0x1x2x3x4互补松驰性(松紧定理)扯奶少芹蓟石憎歉苑炳焙襟纲碾腾青尼袒赃旧搂头毯褥哇垂椿绊榆海畴凿运筹学第二章对偶理论灵敏度分析运筹学第二章对偶理论灵敏度分析x1=x2=0x1+2x2+2x3+3x4=202x1+x2+3x3+2x4=20即 x1=x2=0， x3=4,x4=4 原问题的最优解为 (0,0,4,4)Tmax =x1+2x2+3x3+4x4s.t. x1+2x2+2x3+3x4202x1+x2+3x3+2x420xj0, j=1,2,3,4互补松驰性(松紧定理)挎逝黔栓尔盐奉氰稀殆吨汉韦抹泥梁洛统闲云锥级奎吐舵推萍祈闷烧荣仆运筹学第二章对偶理论灵敏度分析运筹学第二章对偶理论灵敏度分析
